江西省上饶市2023届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题（解析版）

上饶市2023届第一次高考模拟考试

数学（理科）试题卷

命题人：缪泽明何建华周悦董乐华

1.本试卷分第I卷（选择题）和第∏卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每个小题K答案』后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的K答案》

标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它K答案X标号，写在本试卷上无效.

3.回答第∏卷时，将K答案》写在答题卡上，答在本试卷上无效.

4.本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,已知集合A={MD（A4）≥°},则4B=（）

A.{-2-l,l}B.{1,2}C.{-2,-l}D.{-1,1,2）

K答案DB

K解析》

K祥解》解一元二次不等式可求得集合A,根据集合的交集运算即可求得K答案Il.

K详析H由（x-l）（x+4）20可得χ≤T或χ21,故A={x∣x≤T或x≥l},

而8={-2,-l,l,2},故A8={1,2},

故选：B

2.若复数z=±U,则∣z∣=（）

2-1

A.巫^B.立C.√5D.逑

55、5

K答案，A

K解析》

13

K祥解D根据复数运算法则计算可得z=g+gi,利用模长公式即可得出结果.

［详析』由Z=有可得Z=高扁=Fr-=S+M'

故选:A

3.设等差数列｛α,,｝前〃项和为S“，若%+%=%，S3=T2,则4=()

A.OB.1C.2D.3

K答案HC

K解析D

R祥解Il设等差数列｛4｝的公差为"，利用等差数列的性质可求得d=l,即可求得K答案Il

K详析D设等差数列｛4｝的公差为",

由。3+。7=。4可得4+4=。4，故4=0,

由S3=-12可得4+%+q=34=-12,故”,=-4,

所以d=4~—=1,所以％=%+2d=2

4

故选：C

4.(¢-2)6的展开式中常数项为

X

A.-240B.-160C.240D.160

K答案》c

K解析D

K祥解》求得二项式的通项(+∣=(-2)"C"E3',令「=4,代入即可求解展开式的常数项，即可求解.

K详析』由题意，二项式(/一上)6展开式的通项为&=G(X2)6-r(_*y=(_2)P；产-3"

XX

当r=4时，7；=(-2)4。；=240,即展开式的常数项为240,故选C.

Kf点石成金D本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关

键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

y≤χ

5.若实数＞满足约束条件,x+yZl,则z=3x+y的最大值为()

2x-y≤2

A.3B.7C.8D.10

K答案》c

R解析』

K祥解》作出可行域，确定目标函数取到最大值的点，代入可得K答案》.

K详析》由题意可行域如图，由图可知z=3x+y在点A处取到最大值;

♦y<X/、

联立']C可得4(2,2),所以Z=3x+y的最大值为8.

、“一

故选：C.

6.己知点A是抛物线/=∕ny(m>O)上的一点，5(2,0),F是抛物线的焦点，且=则m的值

为()

A.1B.2C.√2D.2及

K答案HD

K解析D

R祥解》根据抛物线标准方程可得尸O,a，设出点A的坐标利用向量的坐标运算即可计算出加的值.

K详析》易知R(O,：),由点A在抛物线V=Zny上，可设A(XO,福)

〜C、,UllUUU一FrΛ∩2mʌʌ(XC2)

又5(2,0),由EA=A8可得∙⅞,------T=2—x0,------

Im4Jlkm)

01

Wl√V√，≡≡(χ8=

、m4m

又加＞(),可得,〃=20.

故选：D

7.已知Sina=弓，α为钝角，tan(α-∕7)=g,则tan£=()

A.ɪB.-IC.2D.-2

K答案，B

K解析』

K样解》首先求出CoSα,从而求出tanc,再根据匕116=1211]£-（。-£）]利用两角差的正切公式计算

可得.

K详析11解：因为Sina=Xɪ,所以CoSa=±Jl-si∏2a=±述,因为α为钝角,

55

2√5入Sina1

所以CoSa=--------,则rπtanα=--------=一一,

5cosa2

tana-tan（α-^）

所以tan夕=tan[α-（α一夕）]

l+tanatan（α一尸）

故选：B

8.矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通

衢，连南接北，通江达海，包容八方.某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部位于同一水平高

TrTTTr

度的共线三点A,B,。处测得铜雕顶端P处仰角分别为二，且AB=3C=20m,则四门通天

643

的高度为（）

P

A.lʒʌ/ðmB.lθʌ/ðmC.ðʌ/ðmD.ʒʌ/ðm

K答案HB

K解析W

K祥解D设P的投影为。，且Po=Xm,利用锐角三角函数表示出CO、BO、AO,再在BOC^ΛBOA

中分别用余弦定理得到方程，解得即可.

TT

K详析工解：设P的投影为0,且PO=Xm,在RtZkPOC中，ZPCO=-,

3

X

所以CO=耳，

TT

在RtZsPOB中，NPBO=―,所以Bo=%,

4

在RtZ∖A40中，ZPAO=-,所以AO=瓜，

6

2

240∩一土、、

在，50C和ABOA中分别用余弦定理得/2/Cr+ʊʊ3X2+400-3%2,

cosZOBC+cosZOBA=-----------+-----------------=N0

40x40X

解得X=IOj^或X=-IOJ^（舍去），即四门通天的高度为Ioj^m.

故选：B

9.在正方体ABC。一AB'C'D'中，AB=4,E为棱BC的四等分点（靠近点6）,尸为棱A'D的四等分

点（靠近点A）,过点C',E，/作该正方体的截面，则该截面的周长是（）

ʌ9√225D8√225,8√240C4√240

A.-------1----B.-------1----Cr.------1----D.-------1----

42323333

K答案UC

K解析D

K样解》根据正方体的特征，作出过点C',E，F的该正方体的截面，计算相关线段的长，即可求得K答

案L

K详析D设G为AB的三等分点，靠近B点，连接GE,并延长交QA延长线于P,

设〃为A'A的三等分点，靠近A'点，连接£口,并延长交DA延长线于Q,

48

则.GBES^P,由于6E=1,G6=-,4G=-,故AP=2,

ZG433

10

同理求得AQ=2,故P,Q两点重合，则PG=2GE=2.

T

故PE=PG+GE=∕+g=5,而支C=J42+32=5,故PE=FC,

同理可得PE=EC',即四边形PECF为平行四边形,

连接用,则五边形G"R7E即为过点C',E，E所作的正方体的截面,

8√2

由题意可知CF=CE=5,GE=FH=-,HG

3

故该截面的周长是5+5+』+°+述=竺+述，

33333

故选：C

10.已知函数/(x)=COSdX+夕］满足若F(X)在［0,0至少有两个零点，则实数4的

最小值为()

3πC.2

A.—B.2πD.3π

22

K答案HC

K解析D

K祥解》先根据条件求出8,然后求出零点，根据零点个数确定

K详析11因为/(一^］=/(竺］，所以cos(e-g］=cos(e+萼，解得。=kι一二,&∈Z;

所以/(x)=CoSKX+EqJ=±cos[1xqJ;

271Tl3

令1X-%∙=々招+万,％]∈Z,则X=π+∕4π,⅛1∈Z；

当&=IO时,X=Tl；当&]=1时，X——71;

2

所以实数。的最小值为二5兀.

2

故选：C.

22

11.已知双曲线之一斗∙=l(α>0∕>0)的左、右焦点分别为£,F2,过K作圆光2+y2=/的切线，交双

ab^

曲线右支于点M,若/耳M耳=45,则双曲线的离心率为()

A.√3B.2C.√2D.√5

K答案RA

R解析』

R祥解11设切点N,连接ON,作尸2作用N_LMN,垂足为A,由IOM=α,得到田A∣=28,

在直角三角形AM❷A中，可得Igl=2拉“，得至IJlMl=2H2α,再由双曲线的定义，解得匕=缶，

利用双曲线的离心率的定义，即可求解.

K详析D设切点为N,连接ON,作F2作鸟N_LMN,垂足为A,

由IoNl=α,且ON为△££A的中位线，可得EAl=2α,忻Nl=JC2一=》,

即有忻A∣=2匕,

在直角三角形AgA中，可得网用=2缶，即有IMKI=»+为，

由双曲线的定义可得IMKlTMEl=»+2。­2缶=2α,可得b=00,

所以C=JZ市=Ga，所以e=?=百，故选A.

U点石成金口本题考查了双曲线的几何性质一一离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值

范围)，常见有两种方法：①求出α,c，代入公式e=一；②只需要根据一个条件得到关于α,Ac的齐次式,

a

转化为。，C的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围).

1144

12.设°=三，昨c=-ln-,则()

3"-e133

A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

K答案』A

K解析，

K样解D若x=g,则α=x-l,C=Jdnx,令/(x)=xlnx-(x-l),利用导数研究函数的单调性，即

可判断c>”,再由二项式定理得到1+令g(x)=X-SinX,XG(°，5)，利用导数说明函数的单

(兀、

调性，即可得到x>sinx,x∈0,-,从而得到。>>，即可得解.

I2J

K详析X解：若X=g,则Q=X-1,C=XlnX,令J。)=xlnX-(X-1),则/"(x)=InX+I-I=Inx,

当x>l时∕<χ)>0,当0<x<l时r(χ)<0,

所以/(x)在。,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减，又7(1)=0,所以∕(g)>∕(ι),

441

所以一In->一，即c>〃，

333

\0/［、。

又(用6

÷<0÷∙∙∙÷<9>C仁+=3>e,

咱∖jJ喘7

1111

所以l+2>e6,所以上>e$—1,

33

令g(x)=x-sinx,Xe(O,5),则g'(x)=I-CoSX>0,所以g(x)在［θ,］J上单调递增,

所以g(χ)>g(o)=o,即x>sinx,ɪ∈I0,ɪ1.

又sin'<',所以，>e6_1>e'"6一1,即〃>人,

663

所以b<α<c.

故选：A

第∏卷

本卷包括必考题和选考题两个部分.第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答.第

（22）题-第（23）题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把K答案》填在答题卡上.

13.已知平面向量α,。满足同=2网=2,它们的夹角为则由一25＞（。+力）=.

R答案H1

K解析》

R祥解X由数量积的定义求出a・b，再根据数量积的运算律计算可得.

K详析H因为同=2忖=2,所以W=1,又向量0与人的夹角为三，

所以“∙b=同|卜os；=2xIxg=I,

zrrxzrrxrrrrrʌrrr2

所以（α_2）•（“+/?）=。2_々.0—2/^∖a[-a∙b-2h=22-l-2×l2≈1.

故R答案H为：1

14.已知一个圆锥底面积为16兀，体积为16π,则该圆锥侧面积为.

K答案D20兀

K解析》

K祥解D设该圆锥的底面圆半径为r,高为人,根据面积和体积可求出r,力，继而算出母线长，即可求出K答

案』

K详析》设该圆锥的底面圆半径为r，高为力，

πr2=16π（.

r=4

由底面积为16π,体积为16π可得＜1,解得L、，

-×16π∙∕2=16πh=3

3

所以圆锥母线长为=

所以该圆锥侧面积为Jχ8兀χ5=20兀

2

故K答案》为：20π

15.已知数列｛/｝中，4=1,嗅="也.（_1）"-1+”也.（_1）",n∈N+,记数列｛4｝前〃项和为

ɑ,22

Sn，则Sg=--------------

K答案H-5-5√2

工解析H

R祥解X由题意可得出该数列奇数项是以4=1，公比为-2的等比数列，偶数项是以4=JI,公比为-2

的等比数列，由等比数列的前〃项和公式即可得出K答案1.

R详析,因为3=—^-∙(-i)"τ+-√-∙(-D"=(-i)"τ-√--------一=(-ιr'∙√2,

怎22{22J

所以%1=-2,令〃=ι,则-1=J5,所以a,=J2,

册%-

则该数列奇数项是以％=1,公比为-2的等比数列，

偶数项是以％=3，公比为—2的等比数列，

§8=(4+%+%+%)+(生+。4+。6+/)

_1-(-2)4+g_1_(-2)[_-15+√2-16√2

1+21+2-3-

=-5-5√2.

故K答案D为：-5-5√2∙

16.三个元件“，b,C独立正常工作的概率分别是q，P2,P3[0<Pi<P2<I↑<∖),把它们随意接入如

图所示电路的三个接线盒工，T2,7；中(一盒接一个元件)，各种连接方法中，此电路正常工作的最大概

率是.

T2

r1

Tx~=~~

-⊂1-a-

——r~^~ι——

K答案HPtP3+P2P3-PtP2P3

K解析D

R祥解》根据题意可知电路正常工作的条件为Z正常工作，T2,Ti中至少有一个正常工作，然后利用独

立事件乘法公式分类讨论T∣,T2,T,接入的元件不同的情况下电路正常工作的概率，结合‹，2，6的

大小关系判断最大概率.

R详析H由题意，元件”,b,C不正常工作的概率分别为（1一片），（1一4），（1一《）

电路正常工作的条件为τ∣正常工作，T2,73中至少有一个正常工作，

（1）若T∣,T2,£接入元件为〃，b,C或“，Jh,

则此电路正常工作的概率是年［1一（1一£）（1一吕）］=46+片6—4£6；

（2）若T∣,T2,T3接入的元件为人，a,C或6，c,a,

则此电路正常工作的概率是鸟∙［ι一（1一《）（1一6）］=42+鸟鸟—PiP2P,；

（3）若T∣,T2,方接入的元件为J〃，6或C,b,a,

则此电路正常工作的概率是A∙［1—（1-［）（1—£）］=［A+6A-PiP2P,

因为0＜《＜鸟＜Q＜1,

P,P2+PiP.-PiP2Pi<PtP2+P2Pi-PfP2P3<PiP3+P2P.-P∖PE,

所以此电路正常工作的最大概率是PtP3+P2P3-PiP2Pi.

故R答案H为：PiP3+P2P.-PtP2P3

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.如图，平面四边形ABC。中，ADJ-AB,AB=I,BC=垃,NABC=匣，COSNDBC=叵

410

（1）求Ar）的长；

（2）证明：ACJ.BD.

（答案D（OAD=2

（2）证明见K解析》

K解析H

K祥解II(I)先求出sin/DBC=MO,然后利用两角差的余弦公式得到CoSNA50=在，接着在

105

RtZvlBD中即可求解；

(2)以A为原点，AB为X轴正半轴建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，可得到AC∙8O=0,即可

得证

K小问1详析］

因为cosNDBC=—,0<ZDBC<π，cos2NDBC+sin2ZDBC=1，

10

所以Sin/08C=之叵，

10

..C,,___(3π∕c°M一夜Tio√23√Iθ√5

所pc以rcos/-AλBdDγ—cos------/DBC-..........P-----..........——,

I4)2102105

所以在RtΔABD中，BD—---------=加,AD=J5-1=2

cosZABD

K小问2详析』

以A为原点，AB为X轴正半轴建立平面直角坐标系，

A(0,0),8(1,0),0(0,2),C(l+√2cos-,√2sin-),即C(2,l),

所以AC=(2,1),30=(-1,2),

ACBD=O,:.ACYBD.

18.为了解某高校学生每天的运动时间，随机抽取了IoO名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生

每天平均运动时间的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于40分钟的学生称为“运动族”.

(I)用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于20分钟，求该学生是“运动族”的概率；

(2)从样本里的“运动族”学生中随机选取两位同学，用随机变量X表示每天平均运动时间在40-50分钟

之间的学生数，求X的分布列及期望.

25

R答案U(1)—

72

(2)分布列见详析，期望为1.6

K解析H

R祥解》(1)由频率分布直方图先求出。，再根据条件概率求出该学生是“运动族”的概率；

(2)样本中共有“运动族”学生25人，运动时间在40-50分钟学生为20人，根据超几何分布写出其的分

布列及数学期望即可.

K小问1详析》

由频率分布直方图可知，10χ(0.01+0.018+0.022+0.025+0.020+α)=l,解得α=0.005.

设某学生每天平均运动时间不低于20分钟事件A，P(A)=O.72；

该学生是“运动族”为事件B,P(AB)=O.25,

所以该学生每天平均运动时间不低于20分钟的条件下是“运动族”的概率

K小问2详析H

由题意可知，样本中共有“运动族”学生25人，运动时间在40-50分钟学生为20人,

所以X=O,1,2.

P(X=O)=旨=■P(X=I)=鲁4P(x=2)=m=4

X的分布列为

XOI2

1ɪ19

P

30330

E(X)=OXLIx1+2x更=S

''303305

19.如图，四棱锥A-BCDE中，。是边长为4后的正三角形，平面ABC与矩形BCoE所在的平面

互相垂直，且AEJ_%>.

D

A

B

(1)求BE的长；

(2)求二面角6—AE-D的平面角的余弦值.

K答案U(1)4(2)一®

10

K解析H

R祥解Il(I)建立空间直角坐标系，利用垂直关系求出BE的长:

(2)利用平面的法向量求出二面角的余弦值.

K小问1详析』

分别取BC,OE的中点O,M,连接OA,OM,

因为.ABC是边长为4近的正三角形，所以O4L8C,且OA=2«；

在矩形BCOE中，。,M均为中点，所以OMLBC；

又因为平面ABC与矩形BCOE所在的平面互相垂直，平面ABCC平面BCDE=BC,

所以QWl.平面4BC；

以。为坐标原点，OAOaOM所在直线分别为χ,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设BE=a,则A(21,0,0),网0,2A,0),E(0,2a,a),D(0,-2&M)；

AE=(-2√6,2√2,a],BD=(θ,-4√2,0),

因为AELBZ)，所以AEB。=/—16=0,

所以α=4,即BE的长为4.

K小问2详析?

由(1)知，AB=(-2√6,2√2,0),=(-2√6,2√2,4),£＞Eɪ(θ,4√2,0)；

/、f∕ι∙AB=Of*-2√6x+2√2γ=0

设平面ABE的一个法向量为〃=(x,y,z),则＜，＜LL.

[/:-AE=O[-2√6x+2√2y+4z=0

令X=1,可得〃=(l,G,θ);

同理可求平面AED的法向量团=(2,0,")，

∣m∙∕ι∣2_√io

设二面角5—A石一。的平面角为。，易知。为钝角，CoSe=-

∖m∖∖n∖2×√W^10

χ/V22

20.已知椭圆。：二+会=1（。＞人＞0）的离心率为彳，焦距为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过椭圆的右焦点尸的动直线/与椭圆交于「、。两点（点P在X轴上方），4、4为椭圆的左、右

∖OMI

顶点，直线AP,&Q与y轴分别交于点M、N,。为坐标原点，求苏j的值.

22

K答案，(1)—+ɪ=1

95

IoMlI

(2)

IONI-M

K解析U

K祥解D（1）根据题意，列出关于α,Ac的方程组，求解即可得K答案》

____J_____

⑵由题意，设直线/的方程为x="U+2,P(xl,yi),。(%,方)，则,＞θ-必＜0,联立彳95^

X=my+2

3%

玉+3

利用韦达定理可得阳=；5(,+%)，易得M(O，工］，N,,l\OM_\

'由I。”化简即

4-3%

X?一3

可得K答案》.

R小问1详析』

2

a3

由题意，有〈，解得α=3,b3C=2,

2c=4

a2^b2+c2

22

所以椭圆。的方程为工+匕=1；

95

K小问2详析H

由椭圆可得右焦点F(2,0),

由题意，点P在X轴上方且过点F(2,0),则直线/的斜率不为0,

0

设直线/的方程为X=My+2,PaM,Q(χ2,y2),则y>0,y2<>

I22

JJ

,可得(加2+2)y2+4my-5=0,

由,95

x=my+2

-4mx%=L⅛,

所以…=R,

m~+-m^+-

55

y+V4m5/、

所以1大7=与，即呼M=Z(X+%)，

由4(—3,0),A2(3,0),

所以心,「=」三，则直线AP的方程为y=」;(X+3)，

I玉+3x1+3

令X=0,得y=/⅞,所以M(O,且三］,

%+3I%l+3J

所以"2。=一三，则直线4。的方程为y=T±(χ一3),

—3%，所以二还

令χ=°'得y=HN0,

I9-3

3χ

x1÷3y（々—3）_M（机％τ）_WXy2-Xl

所以商FT=

-3工%（玉+3）必Wx+5）W）Iy2+5%|

九2-3

2%）fM+5%∣J

励+%）+5%FX+25%∣5

IoMIɪ

所以

IoNl5

Rr点石成金口方法『点石成金』：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

(1)设直线方程，设交点坐标为(χ,χ),(χ2,%);

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或y)的一元二次方程，必要时计算△:

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为玉+龙2、X1》2(或X+%、My2)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

21.已知/(x)=e*-αx,g(x)=e*(l-SinX).

(1)讨论/(x)单调性；

(2)若α∈(0,3),∕z(x)=/(x)-g(x),试讨论∕z(x)在(0,π)内的零点个数.(参考数据：』°48[)

K答案X(I)K答案》见K解析〉

(2)当O<α≤l时，MX)在(0,π)上仅有一个零点，当l<α<3时，〃(x)在(0,兀)上有2个零点.

K解析』

K样解》(1)求出函数的导数，讨论〃的范围，判断导数正负，可得K答案H；

(2)求出〃(X)=y(x)—g(χ)的导数，再次求导，分O<α≤l和α≥l讨论/(0)=1—0的正负，判断函

数的单调性，进而结合零点存在定理判断函数零点的个数.

R小问1详析]

由已知可知f'(x)=ex-a,

当a≤0时，/")>O,/(x)在R上单调递增；

当α>()时，令/'(x)=O,则X=In4,

当尤∈(-∞,lnα)时，r(x)<。/(尤)在(-∞,Ina)单调递减,

当x∈(lnα,+oo)时，/^Λ-)>0,/在(Ina,+0。)单调递增.

综上，当α<0时，/(x)在R上单调递增，

当α>0时，/(x)在(-8,Ina)单调递减，/(x)在(Ina,+8)单调递增.

R小问2详析]

由已知〃(X)=e*-4x-e*(l-SinX),h!(x)=e`(sinx+cosx)-a,

令H(x)=e*(sin尤+cosx)—α,则H'(x)=2e'cosx,

当X∈(0,$时，H'(x)>0,∕∕(x)在(0,ɪ)上单调递增；

当xw(∙∣■,兀)时,ΛΓ(x)<0,∕(x)在弓,兀)上单调递减,

π

∕z,(θ)=l-a,=eɪ-ɑ>0,Λ,(π)=-eπ-a<0,

①当0<a≤l时，1一a»0,"(())≥0,存在唯一的∕∈(],τι),使得"(ΛO)=O,

当XW(O,%)时,(X)>0,/Z(X)在(0,%)上递增：当x∈(∙¾,π)时，(X)在(下,π)上递减，

因为Zz(O)=O,所以〃伍)>(),又因为〃(兀)=-sι<0,

由零点存在性定理可得，∕z(x)在(0,兀)上仅有一个零点；

,

②当l<α<3时，/z(0)=l-a<0,3x⅛∈(0,^),x2∈(pπ),使得"(％)="(Λ2),

当XW(O,再)和xe®,兀)时,(X)单调递减，

当Xe(Al,Λ2)时，∕z'(x)>O,∕z(X)单调递增,

ππɔ

因为Zz(O)=O,所以∕Z(Λ,)<O,又因为

所以〃(%)>吟>0，

而〃(π)=-oπ<0,由零点存性定理可得，力(£)在(司,工2)和(W，兀)上各有一个零点，即〃(X)在(0,兀)

上有2个零点，

综上所述，当O<α≤l时，〃(X)在(0,兀)上仅有一个零点，

当l<α<3时,MX)在(0,兀)上有2个零点.

RL点石成金D难点［点石成金』：解答〃(X)在(0,π)内的零点个数问题，难点在于设出

H(X)=e'(sinx+cosx)-α,求导后,要进行分类讨论，判断函数单调性，结合零点存在定理，判断零点

个数.

请考生在第22.23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注

意所做题目必须与所涂题目一致，并在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做

的第一题计分.

K选修4-4：坐标系与参数方程》

V*=ʌ/2-∣-1CoSct

22.在直角坐标系Xoy中，直线/的参数方程为1一(♦为参数).以坐标原点为极点，X轴的

y=tsina

Q

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为"=---------直线/与曲线C相交于A,5两

5-3cos2θ

点，M(√2,0).

(1)求曲线。的直角坐标方程；

(2)若AM=2M3,求直线/的斜率.

r2

R答案X(1)—+/=1；

4-

⑵±更

2

R解析』

"羊解II(I)根据极坐标与直角坐标直角的转化，运算求解；

(2)联立直线/的参数方程和曲线C的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.

R小问1详析)

884

••02=-------------=----------------------------------------------=--