2023年广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列四个实数中，最小的实数是（）

A.-2023B.0C.0.999D.1

2.数据显示，中国已实现“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，全国冰雪运动参与人数达

到3.46亿人.数据“3.46亿”用科学记数法表示是（）

A.3.46×IO9B.3.46×IO8C.34.6×IO7D.346×IO6

3.下列运算正确的是（）

A.a8—a7=aB.α8÷α4=a2C.a2∙a3=a6D.（—a3）2-a6

4.我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的

祝贺.比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不

是中心对称图形的是（）

®BOOD

5.如图所示，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，Zl=20°,

/2=30°,则43的度数为（）

A.130oB.120oC.110°D,50°

6.用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有（）

D.4个

7.下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛的成绩（平均数和方差）：

成绩

甲乙丙T

选手

平均数（环）9.49.59.49.5

方差6.36.86.76.6

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则选择较适宜

)

A.甲B.乙C.丙D.T

8.某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分.在这

次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了.道题.（）

A.17B.18C.19D.16

9.如图，四边形ABCD为。。的内接四边形，若四边形OBCD为菱

形，则NBA。的度数为（）

A.45°

B.60°

C.72°

D.36°

10.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线X=1,其部分

图象如图所示，下列说法中：①ɑbc>0；②4a—2b+c<0;③若

力（一号，丫1）、。（-2,、2）是抛物线上的两点，则有、2<月；④若nɪ,n（nɪ<n）

为方程α（x-3）（X+/）=2的两个根，m>一1且n<3；以上说法正确的

有（）

A.①②③④B.②③④C.②④D.②③

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11.因式分解：a2—4a=.

12.若两个相似三角形的相似比为4：3,则它们的面积比是一.

13.若实数Ti满足(m—4)2+∙√M+3=0,则ʌ/τ∏2+n2的值是_.

14.如图，创新小组要测量公园内一棵树AB的高度，其中一名

小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶4的仰角为45。,

己知测角仪的架高CE=1.2米，则这棵树的高度为米.

15.如图所示，等边AABC的边长为4,点F在AABC内运动，运动过程

始终保持乙4FB=90°,则线段CF的最小值为

三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题分）

先化简，再求值：（ɑ+b）（a-b）+b（a+2b）-（a+b）2,其中α=-/讶，b=ΛΛ%.

17.（本小题分）

如图所示，菱形ABCD中，点M、N分别是边BC、DC上的点，BM=IBC,DN=∣DC,连接

AM.AN,延长AN交线段BC延长线于点E；

（1）求证：AABM三AADN；

（2）若菱形ABCD边长为6,则线段CE的长是

18.（本小题分）

为落实中小学课后服务工作的要求，某校开设了四门校本课程供学生选择：4（合唱社团）、B（

陶艺社团）、C（数独社团）、。（硬笔书法），七年级共有120名学生选择了C课程.为了解选择C课

程学生的学习情况，张老师从这120名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（

百分制，单位：分）分成六组，绘制成频数分布直方图.

(1)80〜90分这组的数据为：81、89、84、84、84、86、85、88、83,则这组数据的中位数

是—分、众数是一分；

(2)根据题中信息，可以估算七年级选择C课程的学生成绩在70〜90分的人数是—人；

(3)七年级每名学生必须选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，第一门都选了课

程C.他俩决定随机选择第二门课程，请用列表法或树状图的方法求他俩同时选到课程A或课程

B的概率.

▲频数

(学生人数)

19.(本小题分)

我国古代数学著作《九章算术中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数.

甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、

乙二人，各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱

的|,那么乙也共有钱50,问甲、乙二人各带了多少钱？

(1)求甲、乙两人各带的钱数；

(2)若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数(单位：元)恰好等于甲、乙两人各带的

钱数，已知作业本的单价为2.5元/本.由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打

八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？

20.(本小题分)

如图所示，CE是。。的直径，AC为。。的切线，D为Oo上的一点，∆DCE=^∆A,延长AD交

CE的延长线于点B,连接CD,若BE=OE=6.

(1)求证：4D为。。的切线；

(2)求图中阴影部分的面积.

21.(本小题分)

如图,在平面直角坐标系中，一次函数%=kx+h(fc≠0)的图象与反比例函数为=7(m≠O)

的图象相交于第一、三象限内的4(3,5),8(α,-3)两点，与X轴交于点C.

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式:

(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标;

(3)直接写出当月＞、2时，X的取值范围.

22.(本小题分)

数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通

过观察、测量、思考、猜想出的一些结论.但是所猜想的结论不一定都是正确的.人们从已有的

知识出发，经过推理、论证后,如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理

的前提，数学中称之为定理.

图I图3

(1)推理证明:

在八年级学习等腰三角形和直角三角形时，借助工具测量就能够发现：“直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半”，当时并未说明这个结论的正确性.九年级学习了矩形的判定和性质

之后,就可以解决这个问题了.如图1,在Rt4力BC中，若CD是斜边48上的中线，则CD=

请你用矩形的性质证明这个结论的正确性.

(2)迁移运用：利用上述结论解决下列问题：

①如图2,在线段BC异侧以BC为斜边分别构造两个直角三角形4ABC与ACBD,E、F分别

是B。、AC的中点，判断E尸与ZC的位置关系并说明理由；

②如图3,OZIBCD对角线4C、BO相交于点0,分别以AC、Bn为斜边且在同侧分别构造两个

直角三角形A4CE与ABOE,求证：OABC。是矩形.

23.(本小题分)

如图，抛物线经过4(—4,0),B(-l,0),C(0,2)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线AC下方的抛物线上有一点。，使得AOCA的面积最大，求点。的坐标以及ADCA的

面积的最大值.

(3)点P是抛物线上一个动点，过P作PMIX轴于M,是否存在P点，使得以A,P,M为顶点

的三角形与aoac相似？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

答案和解析

1.【答案】A

解：•••-2023<0<0.999<1,

最小的实数是-2023.

故选:A.

根据选项中的数据，可以比较它们的大小，从而可以解答本题.

本题考查实数大小的比较，解答此类问题的关键是明确负数小于0小于正数.

2.【答案】B

解:3.46亿=346000000=3.46×IO8.

故选：B.

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为aX10%其中l≤∣α∣<10,n为整数，且n比原来的

整数位数少1，据此判断即可.

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为αX10n,其中1≤∣α∣<10,确定α与n的

值是解题的关键.

3.【答案】D

解：A、与cl7不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；

B、a8÷a4=a4,故本选项错误，不符合题意：

C、a2-a3=a5,故本选项错误，不符合题意；

D.(-α3)2=a6,故本选项正确，符合题意；

故选：D.

根据合并同类项法则，同底数幕相乘，底数不变，指数相加；幕的乘方，底数不变，指数相乘；

同底数基相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解.

本题考查合并同类项、同底数事的乘法、事的乘方、同底数塞的除法，熟练掌握运算性质和法则

是解题的关键.

4.【答案】C

解：力、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

8、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；

。、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误.

故选C.

根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折

叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

5.【答案】A

解：如图所示，

•••z.4=Zl+z2,

.∙.Z4=20°+30°=50°,

AB//CD,

.∙.43+44=180°,

43=180o-Z4=180°-50°=130°；

故选：A.

根据三角形外角性质求出N4,根据平行线性质得出42=44,代入求出即可.

本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补.

6.【答案】C

解：圆锥不可能得到长方形截面，

故能得到长方形截面的几何体有：圆柱、长方体、四棱柱，一共有3个.

故选：C.

根据圆柱、长方体、圆锥、四棱柱的形状判断即可，可用排除法.

本题考查几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线，注意：截面的形状既与被截的几何体有

关，还与截面的角度和方向有关.

7.【答案】D

解：•••乙和丁的平均数较大，

•••从乙和丁中选择一人参加竞赛，

•••丁的方差较小，

••・选择丁参加比赛，

故选：D.

首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛.

此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏

离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各

数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

8.【答案】B

解：设小明答对了X道题.

则：5x-1×(20-x)≥85,

解得：X≥17.5,

小明至少答对了18道题.

故选:B.

根据题意可得，关系式为：5X答对的题数-Ix其余题数≥85,进而得出答案.

此题主要考查了一元一次不等式的应用，找到相应的不等关系是解决问题的关键，

9【答案】B

解：•••四边形ABCD为。。的内接四边形，

ʌ∆BAD+∆BCD=180°,

由圆周角定理得：乙BOD=2乙BAD,

•••四边形。8CD为菱形，

•••Z.BOD=/.BCD，

.∙.∆BAD+2∆BAD=180°,

解得：LBAD=60°,

故选:B.

根据圆内接四边形的性质得到ZBAD+/BCD=180。，根据圆周角定理得到NBOD=2/BAD,根

据菱形的性质得到NBOD=乙BCD,计算即可.

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是

解题的关键.

10.【答案】D

解：•••抛物线开口向下，

.∙.α<0,

♦.・抛物线对称轴为直线X=-?=1，

2a

・•.b=-2a>0,

:抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，

ʌc>O,

•••abc<0,故①错误；

・抛物线的对称轴是直线X=1,与X轴的一个交点为(3,0),

••・抛物线与％轴的另一个交点为(—1,0),

当X=-2时，y<0,

.∙.4a-2b+c<0,故②正确；

・抛物线开口向下，

二离对称轴越近的点，函数值越大，

∙.∙l-(-i)<l-(-2),

・・・力>、2,故③正确；

•：mfn(m<九)为方程“(%-3)(%+/)=2的两个根，

，把?n,n看作二次函数y=α(x-3)(%+I)与直线y=2的交点的横坐标，

ʌ-1<m<n<3,故④错误.

，说法正确的有②③.

故选：D.

利用抛物线的开口方向、对称轴的位置、抛物线与y轴交点的位置即可判断α,b,C的符号；根据

抛物线的对称轴和与X轴的一个交点坐标可算出另一个交点的坐标为则当％=-2时，根

据函数图象即可判断4α-2b+c<0;利用二次函数的性质即可判断为，力的大小关系；把m，∏

看作二次函数丫=。0-3)(》+，)与直线丫=2的交点的横坐标，结合函数图象即可判断m,H的取

值范围.

本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与X轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特

征.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),①二次项系数α决定抛物线的开口方向和大小：当α>0时，

抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；Ial还可以决定开口大小，Ial越大开口就越小.②

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>O),对称轴在y轴左

侧；当a与b异号时(即ab<O),对称轴在y轴右侧.(简称：左同右异)③常数项C决定抛物线与y轴

交点：抛物线与y轴交于(0,c).④抛物线与X轴交点个数：∆=b2-ac>0时，抛物线与X轴有2个

交点；4=一ac=0时，抛物线与久轴有1个交点；∆=b2-ac<0时，抛物线与X轴没有交点.

IL【答案】a(a-4)

解：原式=a(a-4).

故答案为：a(a—4).

直接找出公因式提取公因式分解因式即可.

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

12.【答案】16：9

解：•••两个相似三角形的相似比为4：3,

它们的面积比=φ2=16：9.

故答案为：16：9.

根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到它们的面积比.

本题考查了相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方.

13.【答案】5

解：V(m—4)2+√n+3=0,

ʌm—4=0,n+3=0,

.,.m=4,n=—3,

・•・Vm2+n2=V42÷32=√25=5•

故答案为：5.

根据偶次方的性质和算术平方根的非负性得出τn,n的值，再根据算术平方根的定义即可得出答案.

此题考查了算术平方根和算术平方根的非负性，能求出小、n的值是解此题的关键.

14.【答案】11.2

解：如图，过点C作CDlAB于D,

则四边形CEBO是矩形，

•••BD=CE=1.2m,CD=EB=10τn,

在RtZMCC中，Z.ACD=45°,

.•・△力CD是等腰直角三角形，

：.AD=CD=10τn,

.∙.AB=AD+BD=10+1.2=11.2(m).

即树的高度为11.2τn∙

故答案为：11.2.

过点C作CDIAB于。，则四边形CEBD是矩形，证△力C。是等腰直角三角形，得AD=CD=IOm,

即可得出答案.

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是通过添加辅

助线，构造直角三角形解决问题.

15.【答案】2日一2

解：取AB中点M,连接MF,MC,

∆AFB=90°,

.∙.FM=^AB=l×4=2,

••・△ABC是等边三角形，

.∙.CMIAB,

.∙.CM=早力B=2√^>

VCF+FM≥CM,

.∙.CF≥CM-FM=2-3-2,

.∙∙CF的最小值是2C-2.

故答案为：2二一2.

取AB中点M,连接MF,MC,由直角三角形的性质得到FM的长，由CF+FM≥CM,即可求出CF

的最小值.

本题考查求线段最小值的问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边关系，关

键是通过作辅助线得到CF+FM≥CM.

16.【答案】解：原式=a2—b2+ab+2b2—a2—2ab—b2

=-abf

当Q=1,b=-2时，

原式=-1×(-2)=2.

【解析】直接利用乘法公式化简，进而计算得出答案.

此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键.

17.【答案】3

【解析】(1)证明：在菱形ABCD中，AB=AD=CD=BC,乙B=乙D,

22

•・∙BM=”C,DNwDC,

・・・BM=ON,

在△ABM和44ON中，

AB=AD

Z.B=乙D,

BM=DN

•••△4BM三AADN(SAS);

(2)解：在菱形中，AD//BC,

:•乙D=乙ECN,乙DAN=乙NEC,

.MADNfECN,

ʌCE:AD=CN：DN,

2

•・,DN=WDC,

・・・CN：DN=1：2,

,・,菱形/BCD边长为6,

，AD=6,

ʌCE=3,

故答案为：3.

(1)根据菱形的性质可得AB=AD=CD=BC,/.B-Z.D,进一步可得BM=DN,根据SaS可证

ΔτlβM≤ΔADN；

(2)根据菱形的性质可得40〃BC,进一步可证A40NSAECN,根据相似三角形的性质可得CE：

AD=CN：DN,即可求出CE的长.

本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的

性质是解题的关键.

18.【答案】848464

解：(1)把这些数从小到大排列为：81、83、84、84、84、85、86、88、89,

则这组数据的中位数是84分，

•••84出现了3次，出现的次数最多，

二众数是84分；

故答案为：84,84；

(2)根据题意得：

120X蛋=64(人)，

答：估算七年级选择C课程的学生成绩在70〜90分的人数是64人；

故答案为：64；

(3)根据题意列树状图如下：

开始

ABD

∕zN∕T∖∕T∖

ABDABDABD

共有9种等可能的结果数，其中他俩同时选到课程4或课程B的概率有2种，

则他俩同时选到课程4或课程B的概率是副

7

(1)根据中位数和众数的定义分别进行求解即可;

(2)用总人数乘以70〜90分的人数所占的百分比即可；

(3)画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他俩同时选到课程Z或课程B的结果数，然后根据

概率公式计算.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果Ti,再从中选出符合

事件A或B的结果数目皿，然后利用概率公式计算事件4或事件B的概率.

19.【答案】解：(1)设甲有钱》,乙有钱y,

fx+∣y=50

根据题意，得h2,

(Jx+y=50

解得仁宵，

答:甲有钱37.5,乙有钱25；

(2)37.5÷2.5+25÷2.5=25(本)，

(37.5+25)÷(2.5X0.8)=31.25,取正整数31本,

31-25=6(本),

答：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本.

【解析】(1)设甲有钱》,乙有钱y,根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙

得到甲所有钱的I，那么乙也共有钱50,列二元一次方程组，求解即可；

(2)分别求出单独购买和合起来购买的数量，进一步求解即可.

本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键.

20.【答案】（I）证明：如图，连接。D∙

∙∙∙OD=OC,

・・

∙Z.ODC=∆OCD9

VZJDCE=∣z½,乙DCE÷Z-ODC+∆COD=180°,

・•・∆A÷∆COD=180°,

・•・Z,ACO+∆ADO=360°-180°=180°,

・・・4C为。。的切线，

・・・∆ACO=90°,

・•・/.ADO=90°,

ʌODLAB,

•・,。。是半径，

・・・4。为0。的切线；

(2)解：VBE=OE=6,

.∙.OB=20。，

•・,乙ODB=90°,

・・・乙B=30°,

BD=>Γ~3OD=6√-3,

-ABf4C是。。的切线，

：•

AD=AC1

4。C是等边三角形，

o

-∆A+∆DOC=ISO9

・•・乙DoC=120°,

V∆ACD=60o,Z.ACB=90°,

ΛZ.DCB=(B=30°,

ΛCD=DB=60，

ɪ]2062

∙∙S阴=S四边形AOOC_S扇形DOC=2×i×6×6^-¾J-=36√3-12π∙

【解析】(I)连接。D，证明ODIAB,M可得结论；

(2)证明△ADC是等边三角形，求出DB=CO=6，弓，再根据S照=S四边形ADOC-S扇形DOC,求解

即可.

本题主要考查切线的性质和判定及扇形的计算，掌握切线问题中的两种辅助线的作法及扇形的面

积公式是解题的关键.

21.【答案】解：(1)把4(3,5)代入=三(m羊°)，可得沉=3x5=15,

・••反比例函数的解析式为=*

把点B(0,-3)代入，可得。=一5,

ʌ8(—5,—3).

把4(3,5),B(-5,-3)RΛy1=kx+b,可得

；.一次函数的解析式为%=X+2；

(2)一次函数的解析式为｝Λt=X+2,令X=0,则y=2,

二一次函数与y轴的交点为P(0,2),

当P,B,C共线时时，PB-PC=BC最大,P即为所求,

令y=0,则X=-2,

.∙.C(-2,0),

ʌBC=J(-5+2尸+32=3。.

(3)当yι>y2时，—5<X<0或X>3.

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的

解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键.

(1)利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据一次函数为=x+2,求得与y轴的交点P,此交点即为所求；

(3)根据直线在反比例函数图象的上方，找到X的取值范围.

22.【答案】(1)证明：如图，延长CD到点E,使DE=CD,连接4E,BE,

图I

•••CO为斜边AB上的中线,

ʌAD=BD,

•・•CD=DE,

.∙∙四边形ACBE是平行四边形，

∙.∙∆ACB=90°,

ACBE是矩形，

••・AB=CE,

.∙.CD=1AB-,

(2)①解：EF垂直平分力C,理由如下:

连接4E,CE,

在RtAABD中，点E为斜边8。的中点,

：.AE=^BD,

在RtABCC中，点E为斜边8。的中点,

.∙.CE=^BD,

：•AE=CE,

•・•点F为AC的中点，

.∙.EF垂直平分AC；

②证明：连接E。，

BC

图3

•••四边形ABCC是平行四边形，

•••点。为力C、BD的中点，

V∆AEC=90°,点。为力C的中点，

.∙.EO=^AC,

•:乙BED=90。，点。为BD的中点，

.∙.EO=∖BD,

ʌAC=BD,

∙∙∙MBCD为矩形.

【解析】(I)延长CD到点E,使DE=CD,连接4E,BE,利用矩形的性质得MCBE是矩形，则4B=CE,

即可证明结论；

(2)①连接4E,CE,利用(I)中结论可得AE=T8D,ce=∖bd'则AE=CE,再根据等腰三角形

的性质可得结论：

②连接EO,利用(I)中结论可得E。=^4C,EO=^BD,贝∣J4C=BD,根据对角线相等的平行四

边形为矩形即可证明.

本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角

形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键.

23.【答案】解：(1)