弹性力学 第2章 应力

弹性力学蒋玉川2010.5.17主要内容第1章绪论第2章应力分析第3章应变分析第4章Hook定律第5章弹性力学问题的解法第6章柱体的扭转第7章平面问题直角坐标解第8章平面问题极坐标解第9章能量原理及其变分法第10章薄板弯曲第2章应力分析2024/3/183

§2-1基本概念

§2-2一点的应力状态

§2-3

应力分量的坐标变换式

§2-4主应力应力状态的不变量

§2-5应力状态的图解法

§2-6八面体和八面体应力

§2-7平衡微分方程

第2章应力分析本章用静力学观点研究物体在外力作用下的平衡状态，介绍应力的概念及其性质。包括：斜截面的应力、坐标变换公式、主应力状态、应力张量不变量及其在塑性力学中的应用；八面体上的应力及其应力张量分解为球形应力张量和偏斜应力张量，最后导出应力应满足的平衡微分方程；本章不涉及材料的力学性质，所得结论对各种连续介质均普遍适用。§2.1基本概念外力的不同作用方式，一般可分为体积力和表面力，简称体力和面力。体力是指分布在物体整个体积内的外力。

(a)

极限矢量F就是M点所受体力的集度。在坐标轴x、y、z上的投影分别为fx、fy、fz，称为M点的体力分量。规定沿坐标轴正方向的分量为正，沿坐标轴负方向的分量为负。体力的因次是[力]·[长度]-3。

zyxo(a)MFFDVDxfzfyf

面力是指分布在物体表面上的外力。例如，液体压力、风力和接触力等，都是面力，即

(b)zyxo(b)zpxpypADPM

极限矢量就是M点所受面力的集度。在坐标轴x、y、z上的投影分别为px、py、

pz

，称为M点的面力分量。规定沿坐标轴正方向的分量为正，反之为负，面力的因次是[力]·[长度]-2。图2-2(c)

极限矢量p就是截面m-m上M点的总应力或全应力。p的方向与ΔQ的极限方向一致。

且将全应力p分解成：（2-1）

应力的因次是[力]·[长度]-2

在外力作用下，物体内部或部分之间将产生“附加内力”简称为内力。确定内力的方法是截面法。§2.2一点的应力状态

研究一点的应力状态，就是确定过该点不同方向截面上应力的大小和方向，建立它们之间的关系，这对于解决物体在弹性或塑性阶段的强度问题，尤其是建立复杂应力状态下的强度理论，是很重要的。1、一点的应力状态

图2-3xoMyz

一般来说，物体内同一截面上不同点的应力是不同的，过同一点不同方向截面上应力的总体称为该点应力状态.图2-4

如图2-4所示。显而易见，微分体的六个面上共有九个应力分量，即：

oyxz

为了使物体同一截面（假设剖开后任意一部分上的截面）上的每个应力分量具有相同符号，对于各应力分量的符号采用下述规定。

如果单元体截面的外法线方向沿着坐标轴正方向，则此截面成为正面。反之，截面的外法线方向沿着坐标轴负方向，则称为负面。

规定正面上的应力分量以沿坐标轴正方向者为正，沿坐标负方向者为负；

负面上的应力分量以沿坐标轴负方向者为正，沿坐标轴正方向者为负。图2-4所有应力分量均按正的画出。

(2-2a)同理：

(2-2b)(2-2c）

式（2-2）就是切应力互等定理。该定理表明，作用在相互垂直的两截面上的切应力大小相等。

应力张量通常用记号σij表示，则有：应用切应力互等定理，应力张量σij又可表示为：（2-3）

可见应力张量是一个对称的二阶张量。

已知一点的六个应力分量，可以确定该点任意斜截面上的应力。如图所示,截取一微分四面体，显然，截面ABC上的应力可以认为是过M点任意斜截面上的应力。2﹑斜截面的应力公式

设截面ABC的外法线N与各坐标轴正向的夹角分别为(N,x)，(N,y)，(N,z)，则其方向余弦分别为：

如果三角形ABC的面积为dA，那么根据平面图形面积投影定理，可得三角形OBC，OAC，OAB的面积为ldA，mdA，ndA。研究微分四面体的平衡，

两边除以dA移项后，并注意应用切应力互等定理，得(2-4)式的第一式

（2-4）

或缩写成矩阵形式（2-5a）斜截面的应力分量为

或按下标记法与求和约定写为

式中i：自由指标，同一项只出现一次

，同一方程中，各项的自由指标应相同。j：哑指标，表示求和，同一项重复出现，又称为爱因斯坦求和约定。（2-5b）

令斜截面的正应力为σN，切应力为τN，则pN将的各分量px，py，pz向N方向投影即得将上式展开

由图2-5可见：因此，斜截面上的切应力由下式确定。

（2-7）

由此可见，已知物体内任意一点处的六个应力分量，则应用式（2-6）和（2-7）可求得该点任意斜截面上的正应力和切应力。也就是说，已知一点处的六个应力分量，则该点的应力状态就完全确定了。

应力的边界值与面力分量间的关系表达式，即物体的应力边界条件

（2-8a）或:

（2-8b）

以上公式在推导过程中没有涉及物体材料的物理性质，因此上述各式，不仅适用于弹性力学，也适用于塑性力学等。2024/3/1818应力不仅随位置改变而变化，而且随截面方位改变而变化。同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。讨论应力分量在坐标变换时的变化规律。§2.4应力状态3§2.3应力分量的坐标变换式

Mxyzx′y′z′

设新坐标系x′，y′，z′对旧坐标x，y，z的轴的方向余弦分别为，l1,m1,n1;l2,m2,n2;

l3,m3,n3

。用矩阵表示为

显然新坐标系的各坐标平面可分别看作是旧坐标的斜截面。例如，y′Mz′平面是外法线为x′轴的斜截面。根据(2-4)式可得该截面上的总应力Px′

沿原坐标轴方向的三个应力分量为(2-10a)或写成(2-10b)

将分别投影于方向，可得沿新坐标系的正应力，切应力和。即(2-10c)将式（2-10b）代入式

(2-10c)，即有：

(2-11)

同理，可求得在以和轴为外法线方向的斜截面上的正应力和切应力分别为(2-12)

和

因此，在新坐标系中，表示M点的应力状态的应力张量表示为(2-14a)(2-13)将式(2-14)展开后,见书上式(2-15).或采用张量的坐标变换定义式(2-14b)

因此，已知一点处的应力分量,可以求得在新坐标系下的应力分量。当新旧坐标系下的应力分量σ'ij和σij和满足(2-14b)式时,σij称为二阶应力张量。这种坐标变换关系可以推广到更高阶的张量，即

为n阶张量的定义式。且张量的阶数就是自由指标的个数。

(2-14b)§2.4主应力应力状态的不变量主平面图.2-7Nxoyz

如图2-7所示，如果主应力在轴方向的应力分量分别为

为了建立复杂应力状态下的强度条件，必须研究物体内任意点的主应力和主方向。

(a)

过一点切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力，主平面的外法线方向称为主方向。

将(a)式代入式（2-4）,移项整理后得：

(2-15)

式(2-15)是求主平面的方向余弦的线性方程组。而它们不能同时为零。

(2-16)

由齐次方程组(2-15)可见，如果要使有非零解，则系数行列式的系数必须等于零。令：(2-17)其中：主元之和代数主子式之和应力张量元素构成的行列式主应力特征方程展开应力状态特征方程——确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。I1、I2、I3

分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。§2.6主应力4特征方程有三个实数根s1，s2，s3分别表示这三个根，代表某点三个主应力。对于应力主方向，将s1，s2，s3分别代入和

l2+m2+n2=1则可求应力主方向。§2.6主应力5主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。因此特征方程的三个根是确定的。特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。根据三次方程性质可以证明。任意一点三个应力主方向是相互垂直的——三个应力主轴正交的。应力不变量性质坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。§2.6主应力6不变性实数性正交性主应力正交性证明：下面证明下述结论：1.

若s1≠s2≠s3，特征方程无重根；

应力主轴必然相互垂直；2.

若s1＝s2≠s3，特征方程有两重根；

s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3.

若s1=s2=s3，特征方程有三重根；三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴。§2.6主应力7设s1，s2，s3

的方向分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则

分别乘以l2，m2，n2

分别乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可得§2.6主应力8如果

s1≠s2≠s33个应力主方向相互垂直如果

s1=s2≠s3可以等于零，也可以不等于零。s3与s1和s2的方向垂直，而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。s3的垂直方向都是s1和s2的应力主向。§2.6主应力9〖例2.1〗已知一点的应力状态为

确定主应力的大小和最大主应力相对于原坐标轴的方向余弦。应力的单位为

.因此，方程（2-18）成为

以上三次方程既可以通过数值方法求解，也有许多手算的方法求解上述问题。方程的三个根为和

为了获得最大主应力对应的方向余弦，在此应用方程(2-15)，将相关的应力值(例如:σ1=9Mpa)代入，我们有

使用上面任意两个方程和，的值就可以确定。这样对应的方向余弦就很容易确定。例2.2证明应力张量的第二不变量，当坐标变换时为一不变量证明：由二阶张量的定义式并结合如上正交关系：于是得证。§2.5应力状态的图解法

已知三个主应力σ1，

σ2，

σ3

时，可以用几何的方法来表示方向余弦为l,m,n的任意斜微面N上的σN和τN。

将三个坐标轴放在主方向上，于是有

该截面上的正应力为(2-21)全应力沿着坐标轴的三个分量(a)

该截面上总应力应为yzxoM斜截面上的切应力由(2-7)式可得而且

(c)(2-22)联解(2-21)、(2-22)和(c)可解出(d)式(d)略做变化，可改写成如下形式(b)(e)考虑到，则由式(e)可得(f)

式(f)表明:斜截面上应力点，且位于图2-9中的阴影之内。oO1O2O3G图2-9应力园AB

图2-9是三向应力状态时的应力圆，由图可见阴影部分内所有点的横坐标都小于B点，并大于A点的横坐标值。且所有点的纵坐标都小于G点的纵坐标值。于是正应力和切应力的极值分别为2024/3/1840ALDBO

库伦准则：岩石的抗剪强度等于岩石本身剪切摩擦的粘结力和剪切面上法向力产生的摩擦力。如果平面上的实际应力所确定的应力园落在AL之下，则说明该点应力小于材料的强度，未破坏。摩尔应力圆的应用在主切应力所在截面上的正应力为

将上式代入式(d),并应用式(2-23)可求得主切应力所在截面的方向余弦为：

(2-24)最大切应力方位(2-23)

因此，主切应力的作用面必通过与此切应力无关的主轴向，并且与其它两个主轴成π/4的夹角，如图2-10所示，τ13通过σ2轴并与σ1，σ3分别成450的夹角。图2-10主切应力方位.又因为，所以最大切应力为

（2-26）

而且，，因此，三个主切应力只有两个是独立的，其中两个较大的主切应力决定着塑性材料的屈服与破坏，即余茂宏的双剪应力强度准则。或称为十二面体剪应力强度准则。§2.6八面体和八面体应力

如图2-11所示，在坐标系的八个象限中，分别选取三个方向余弦平方值相等的等倾面，这八个平面形成一个正八面体，简称八面体，各面上的应力称为八面体应力。

且

所以

xyzM113322图2-11

八面体应力八面体单元

上述各式表明：八面体的正应力和切应力都是不变量，用它们来描述材料的某些力学性质很方便，并且它们具有明确的物理意义。

当物体内任意一点的应力为时，称为静水应力状态。令该点的平均正应力为，即，在一般情况下，一点的应力状态可以分解为两部分其中：

定义为球形应力张量，简称应力球张量。

定义为偏斜应力张量，简称应力偏张量。

应力偏张量也是一种可能单独存在的应力状态,故它也有自己的不变量.其中:I1,J2,J3在弹塑性力学中是一组很重要的不变量,I1表示平均应力或静水应力,J2反映剪应力大小或者物体的形状改变,J3表示剪应力方向.

上式表明：物体内任意点处的应力张量可以分解为应力球张量和应力偏张量。应力球张量表示各向均匀受力的应力状态，又称为静水应力状态。球张量只能引起物体体积的改变，不能引起物体形状的改变；而应力偏张量只能引起物体的形状改变。

实验表明：塑性材料的屈服与破坏主要是由物体的形状改变(畸变)引起的，与体积变化无关，而脆性材料(岩土、混凝土)的破坏不仅与形状改变有关，而且与体积变化有关。因此，在塑性力学中，常常把一点的应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，以便于分析问题。引入KroneKer符号，则一点应力状态表示为

§2.7平衡微分方程如图所示，作用于正六面体的体积力为

微分面负面上作用的正应力分量微分体正面上作用的正应力分量就应为略去含有二阶以上的高阶微量各项可得其余各面上作用的应力分量都可以依此类推。如图所示。

将上式展开后经化简得式(2-35)的第一式，同理，由可得到类似的方程，共计三个微分方程，即(2-35a)或记为张量的形式

求和约定对于含有导数的表达式也同样适用。式(2-35)就是物体内各点的应力分量和体力分量必须满足的静力平衡方程，即纳维叶(Navier)方程。(2-