河北省邯郸市教师进修学校附属中学高二数学理联考试卷含解析

河北省邯郸市教师进修学校附属中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有一个回归直线方程为,则当变量增加一个单位时,下面结论正确的是(

)A.平均增加2个单位

B.平均减少2个单位C.平均增加3个单位

D.平均减少3个单位

参考答案：B2.设函数，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A.y=x B.y=2x C.y=－3x D.y=4x参考答案：C【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的斜率后求解切线方程．【详解】解：函数，若f(x)为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为：－3，曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为：y=－3x．故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．3.在△ABC中，已知3b＝2asinB，且cosB＝cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形

D．等边三角形参考答案：D4.已知实数，且满足，，则的最大值为（

）A．1

B．2

C．

D．参考答案：A略5.的展开式中，含的项的系数（

）

A.74

B.121

C.-74

D.-121参考答案：D略6.设是单位向量，且，则（-）的最小值为（）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.840和1764的最大公约数是（

）A．84

B．

12

C．

168

D．

252参考答案：

A8.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.设实数，则下列不等式一定正确的是(

)A. B.C. D.参考答案：D【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：由于a＞b＞0，，A错；当0＜c＜1时，ca＜cb；当c＝1时，ca＝cb；当c＞1时，ca＞cb，故ca＞cb不一定正确，B错；a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C错．，D对；故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10.已知的左、右焦点，是椭圆上位于第一象限内的一点，点也在椭圆上，且满足（为坐标原点），，若椭圆的离心率等于,则直线的方程是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B，则a=_______.参考答案：0或略12.向平面区域{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}内随机投入一点，则该点落在区域{（x，y）|x2+y2≤1}内的概率等于

．参考答案：【考点】几何概型．【专题】转化思想；数形结合法；概率与统计．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的几何面积，利用几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：平面区域{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}对应的区域为正方形ABCD，对应的面积S=2×2=4，区域{（x，y）|x2+y2≤1}对应的区域为单位圆，对应的面积S=π，则对应的概率P=，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应区域的面积是解决本题的关键．13.如图所示,二面角α-l-β为60°,A,B是棱l上的点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为

.参考答案：2a

.14.已知i是虚数单位，若复数，则

▲

参考答案：，所以。

15.已知点和圆上的动点P，则的取值范围是

.参考答案：16.设为椭圆的焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△为锐角三角形,则该椭圆离心率的取值范围是 参考答案：17.已知直线与关于轴对称，直线的斜率是

▲

参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，.（1）求与；

（2）设数列满足，求的前项和.参考答案：（1）设的公差为.因为所以解得或（舍），.故，.

（2）由（1）可知，，所以.故19.（12分）（2015秋?成都校级月考）已知曲线C：x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0．①求证：不论a取何实数，曲线C必过一定点A②当a≠2时，求证：曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上并写出此直线方程．③若a=1时，动点P到①中定点A及点B（﹣2，1）的距离之比为1：2，求点P的轨迹M，并指出曲线M与曲线C的公共点个数．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．

【专题】直线与圆．【分析】①曲线C即x2+y2﹣20+a（﹣4x+2y+20）=0，由，求得曲线C一定经过点A（4，﹣2）．②证明：当a≠2时，曲线C即（x﹣2a）2+（y+a）2=5（a﹣2）2，表示一个圆，且圆心在直线y=﹣x上．③设动点P（x，y），由题意可得=，化简可得（x﹣6）2+（y+3）2=20，故点P的轨迹是以F1（6，﹣3）为圆心，半径等于R1=2的圆．再根据a=1时，圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得点P的轨迹M与曲线C的公共点个数为2．【解答】解：①证明：曲线C：x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0，即x2+y2﹣20+a（﹣4x+2y+20）=0，由，求得，故曲线C一定经过点A（4，﹣2）．②证明：当a≠2时，曲线C即（x﹣2a）2+（y+a）2=5（a﹣2）2，表示以（2a，﹣a）为圆心、半径等于|a﹣2|的圆，且圆心在直线y=﹣x上．③设动点P（x，y）到①中定点A及点B（﹣2，1）的距离之比为1：2，即=，化简可得（x﹣6）2+（y+3）2=20，故点P的轨迹是以F1（6，﹣3）为圆心，半径等于R1=2的圆．a=1时，曲线C即（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，是以F2（2，﹣1），半径等于R2=的圆．再根据F1F2=2，大于半径之差而小于半径之和，故点P的轨迹M为圆F1，故曲线M与曲线C的公共点个数为2．【点评】本题主要考查圆的标准方程，轨迹方程的求法，圆和圆的位置关系，属于中档题．20.已知椭圆方程为，直线与椭圆交于、两点，点，

(1)求弦中点的轨迹方程；

(2)设直线、斜率分别为、，求证：为定值．参考答案：(1)将代入消去并整理得，

．

，

，，

，在椭圆内部部分．

（6分）

(2)

（12分）略21.一缉私艇在A处发现在北偏东45°方向距离12海里的海面上C处有一走私船正以10海里/小时的速度沿东偏南15°方向逃窜，缉私艇的速度为14海里/小时。若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追及所需时间和α角的正弦值。参考答案：解:

设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过