第六章应力应变分析

第六章应力应变分析第1页，课件共67页，创作于2023年2月应力应变分析§.1一点处的应力状态§.2应力张量的表示方法§.3平面应力状态§.4应力圆§.5三向应力状态§.6应变状态(与平面应力状态对应的)§.7应力应变关系第2页，课件共67页，创作于2023年2月§.1一点处的应力状态内力是截面上的分布内力的等效力系载荷集度称为上的平均应力将分解为与法向和切向的力，第3页，课件共67页，创作于2023年2月内力与应力的概念第4页，课件共67页，创作于2023年2月则称为正应力（法向应力）

称为剪应力（切应力）M点在截面上的正应力M点在截面上的剪应力第5页，课件共67页，创作于2023年2月应力的量纲第6页，课件共67页，创作于2023年2月一点处所有各方位截面上的应力的集合称为该点的应力状态，一点处的应力与其集度以及的法向相关,因此可用两个并在一起的矢量表示,并且在不同的坐标系中满足一点的坐标转换关系，这在数学上成为张量，描述应力的张量称为应力张量第7页，课件共67页，创作于2023年2月§.2应力张量的表示方法取一包围该点的微元体（单元体）其各棱边相互垂直，各棱边的长分别为第8页，课件共67页，创作于2023年2月或由于单元体很小其上的应力可看作均匀分布各面上的应力可用3*3的矩阵表示第9页，课件共67页，创作于2023年2月（i,j=1,2,3）应力分量,应力张量。按上述约定假设应力的方向对正应力，则是拉应力为正。考虑单元体力矩对轴的平衡方程有：（不考虑体力偶）第10页，课件共67页，创作于2023年2月同理上述关系称为剪应力互等定理设表示轴与轴的方向余弦。第11页，课件共67页，创作于2023年2月则可以证明应力张量可用来描述一点的应力状态坐标变换矩阵第12页，课件共67页，创作于2023年2月§11.3平面应力状态若单元体上不为零的应力分量都位于同一平面内称为平面应力状态。例如当物体的表面不受力时在表面取出单元体第13页，课件共67页，创作于2023年2月例如外力作用在板平面内的薄板第14页，课件共67页，创作于2023年2月设不为0的应力分量都位于xy平面内第15页，课件共67页，创作于2023年2月一点的应力状态应给出各方位截面上的应力情况，截面上的应力,其与轴正向的夹角以逆时针方向为正初始单元体：第16页，课件共67页，创作于2023年2月显然：由将代入

第17页，课件共67页，创作于2023年2月由同理可得(a)(b)第18页，课件共67页，创作于2023年2月第19页，课件共67页，创作于2023年2月(c)式有两个解将(c)式代入(b)式有单元体上剪应力为0的截面称为主平面第20页，课件共67页，创作于2023年2月主平面上的正应力称为主应力主应力为各方程截面上正应力的极值一个为极大值一个为极小值、以主平面为单元体的各面称为主单元体第21页，课件共67页，创作于2023年2月第22页，课件共67页，创作于2023年2月同理可求出的极值及第23页，课件共67页，创作于2023年2月例已知初始单元体上的应力（Mpa）求主单元体上的应力并画出主单元体解：第24页，课件共67页，创作于2023年2月第25页，课件共67页，创作于2023年2月§11.4应力圆一点处平面应力状态的图解法，直观各方位的应力情况一目了然。第26页，课件共67页，创作于2023年2月由(a)(b)第27页，课件共67页，创作于2023年2月上两式两边平方后相加

第28页，课件共67页，创作于2023年2月则上式在应力坐标中为一圆称为应力圆莫尔圆圆心坐标：半径：第29页，课件共67页，创作于2023年2月因此，当连续变化至时，坐标绕应力圆的圆心转一周

应力圆的画法：建应力坐标系，取比例尺,定点或由圆心,半径——画圆

应力圆上一点，由绕圆心转过角，对应截面上的应力

第30页，课件共67页，创作于2023年2月第31页，课件共67页，创作于2023年2月应力圆画法第32页，课件共67页，创作于2023年2月证明：第33页，课件共67页，创作于2023年2月同理可以证明：

及的方位极值点的方位与主平面方位相差对应的应力

第34页，课件共67页，创作于2023年2月任意两相互垂直截面上的正应力之和由(a)式第35页，课件共67页，创作于2023年2月例确定主平面方程画出主单元体及其上的应力，并在应力圆上标出图示截面上的应力单位：

第36页，课件共67页，创作于2023年2月解：第37页，课件共67页，创作于2023年2月主单元体：

第38页，课件共67页，创作于2023年2月例2已知应力圆画出初始单元体及其应力主单元体及应力单位解：初始单元体

第39页，课件共67页，创作于2023年2月半径

主单元体：第40页，课件共67页，创作于2023年2月§.5三向应力状态

将三个主应力按代数量的大小顺序排列

因此根据每一点的应力状态可以找到3个相互垂直的主应力第41页，课件共67页，创作于2023年2月第42页，课件共67页，创作于2023年2月三向应力圆

空间任意方程截面上的应力，与三向应力圆所夹阴影面中某点的应力坐标表示。

一点处最大的剪应力

第43页，课件共67页，创作于2023年2月三向应力圆第44页，课件共67页，创作于2023年2月单向、双向、三向应力状态第45页，课件共67页，创作于2023年2月例：求

解：

在，平面内

第46页，课件共67页，创作于2023年2月三向应力圆如图

第47页，课件共67页，创作于2023年2月注意：不是同一平面的应力不能用平面应力状态方法求解。

第48页，课件共67页，创作于2023年2月§.6应变状态

（与平面应力状态对应的）一点的变形有线应变和剪应变，单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的变形

在，坐标下

第49页，课件共67页，创作于2023年2月第50页，课件共67页，创作于2023年2月在，坐标下，方向到方向夹角

令，各个方位应变的情况称为一点的应变状态与平面应力状态的分析类似有

第51页，课件共67页，创作于2023年2月第52页，课件共67页，创作于2023年2月应变花：可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范围）主应力与主应变的方位是重合的。第53页，课件共67页，创作于2023年2月虎克定律

比例系数称为材料的弹性模量

比例系数称为泊松比

§.7应力应变关系1、单向应力状态第54页，课件共67页，创作于2023年2月2、纯剪应力状态第55页，课件共67页，创作于2023年2月在线弹性范围内

剪切虎克定律

——剪切弹性模量

可证明

第56页，课件共67页，创作于2023年2月只有作用时3、广义虎克定律第57页，课件共67页，创作于2023年2月第58页，课件共67页，创作于2023年2月对主单元体

例：已知一构件表面一点的应变

求该点的主应力和最大剪应力第59页，课件共67页，创作于2023年2月解：设

则

第60页，课件共67页，创作于2023年2月整理后

第61页，课件共67页，创作于2023年2月例2已知，求设

解：

第62页，课件共67页，创作于2023年2月取一单元体体积受应力作用变形变形后的体积

4、体积变形第63页，课件共67页，创作于2023年2月单位体积的改变量

——体积应变

第64页，课件共67