2023-2024学年辽宁省沈阳市数学九年级上册期末质量检测试题含解析

2023-2024学年辽宁省沈阳市数学九上期末质量检测试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A,再在他所在的这一侧选点5,C,O,使得A8_LBC,CDLBC,

然后找出A。与BC的交点E,如图所示.若测得5E=90m,EC=45m,CD=60m,则这条河的宽A3等于（）

A

-----r---、----

---口I___X_

B~E∖LJC

X

D

A.120mB.67.5mC.40mD.30m

2.如图，将Rt/ABC绕直角项点C顺时针旋转90。，得到∕A∙B9,连接AA，，若/1=20。，则NB的度数是（

A.70°B.65°C.60oD.55°

3.关于X的一元二次方程（加一2）/+2工+1=0有实数根，则m的取值范围是（）

A.m≤3B.m<3

©・加〈3且加。2D.m≤3且加。2

4.在放AABC中，NC=90°,若斜边AB是直角边BC的3倍，则包TB的值是（）

A.-B.3C.—D.2√2

34

5.中国一带一路给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018

年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x,可列方程为（）

A.300（l+x）2=1500B.300（l+2x）=1500

C.30（）（l+x2）=1500D.300+2x=1500

6.如图，点A,B,C都在Oo上，NA=NB=20°,则NAoB等于（）

A.40oB.60oC.80oD.100°

7.对于函数y=L,下列说法错误的是（

）

X

A.它的图像分布在第一、三象限B.它的图像与直线y=一χ无交点

C.当x>0时，y的值随X的增大而增大D.当x<0时，y的值随X的增大而减小

8.如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（）

主视图左视图

帕视图

A.长方体B.圆锥C.圆柱D.三棱柱

9.顺次连接平行四边形四边的中点所得的四边形是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形

10.某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m,那么他的高度上升了（）

A.50mB.IOOmC.120mD.130m

11.如图，在。O中，弦AB为8mm,圆心O到AB的距离为3mm,则。O的半径等于（)

A.3mmB.4mmC.5mmD.8mm

12.下列各点中，在反比例函数V=L图像上的是（）

X

A.（1,-1）B.（-1,1）C.（√2,^）D.（-√2,^）

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，在AABC中，点D,E分别在边AB,AC±,若DE〃BC,AD=2BD,则BC等于

A

14.已知"?是方程f+2x—1=0的一个根，则代数式（m+l）2的值为.

15.如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形.当

水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是______厘米.

16.如图，AABC中，点。在AC边上.若ΔA6CΔAO8,AB=3,AC=4,则AO的长为.

17.时钟的时针不停地旋转，从上午6时到上午10时，时针旋转的旋转角是_______度.

18.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是IOmm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,

如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为—mm.

三、解答题（共78分）

19.（8分）爸爸有一张“山西大剧院”的演出门票，计划通过“掷筹码”的游戏将门票奖励给哥哥或者弟弟，游戏规

则如下：准备两个质量均匀的筹码，在第一个筹码的一面画上“x”，另一面画上“。”；在第二个筹码的一面画上

“。”，另一面画上.随机掷出两个筹码，当筹码落地后，若朝上的一面都是“。”，则哥哥获得门票；否则,

弟弟获得门票.你认为这个游戏公平吗？说明理由.

20.（8分）已知抛物线y=%2+b%一3（匕是常数）经过点A（-1,0）.

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标.

(2)若点尸(mj)在抛物线上，且点P关于原点的对称点为严.

①当点P'落在该抛物线上时，求加的值；

②当点P，落在第二象限内，取得最小值时，求〃?的值.

21.(8分)某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克.已知甲种水果进价每千克5元，售价每

千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元.

(1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？

(2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变.若要本次购进的水

果销售完毕后获得利润2090元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了2机％,售价比第一次提高了机％；

乙种水果的进货量为100千克，售价不变.求，〃的值.

22.(10分)计算：2cos30°+(π-3.14)0-√∫2

23.(10分)如图，已知RtZ∖ABO,点B在X轴上，NABO=90。，NAOB=30。，OB=2√3，反比例函数y=∙^(x>θ)

的图象经过OA的中点C,交AB于点D.

k

(1)求反比例函数y=—的表达式；

X

(2)求4OCD的面积；

(3)点P是X轴上的一个动点，请直接写出使AOCP为直角三角形的点P坐标.

24.(10分)阅读下列材料后，用此方法解决问题.

解方程：X3+4X2+X-6=0.

解：Tx=I时，左边=1+4+1—6=O=右边.

：,X=I是方程X5+4/+%一6=0的一^↑-解.

可设％3+4X2+x-6=(x-1)(J?+mx+")贝!|：

xi+4X2+%-6=X3+mx2Λ-nx-x1-mx-n=xi+(/«-1)%2+(n-m}x-n

w-1=4

m-5

n-m-∖Λ<

n-6

-n=-6

.∙.ɪɜ+4χ2+x—6=(X-D(X2+5x+6)

又∙∙∙∕+5χ+6可分解为(x+2)(x+3)

二方程χ3+4f+χ-6=(X-I)(X+2)(x+3)=0的解满足X-I=O或x+2=0或χ+3=0.

二%=1或X=-2或X=-3.

(1)解方程丁+2%2一%一2=0；

(2)若χ=l和x=-2是关于X的方程丁+/心2+巾+4=0的两个解，求第三个解和加，〃的值.

25.(12分)甲口袋中装有2个小球，它们分别标有数字1、2,乙口袋中装有3个小球，它们分别标有数字3、4、5.

现分别从甲、乙两个口袋中随机地各取出1个小球，请你用列举法(画树状图或列表的方法)求取出的两个小球上的数

字之和为5的概率.

26.某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期

间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款万元，X个月结清.)，与X的函数关系如图所示，根据

图像回答下列问题：

个y(万元)

30x(月)

(I)确定y与X的函数解析式，并求出首付款的数目;

(2)王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元?

(3)如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【解析】VZABE=ZDCE,ZAEB=ZCED,

Λ∆ABE^∆DCE,

.ABBE

"'~CD~~CE'

'."BE=90m,EC=45m,CZ)=60m,

.∙.A3=*=12。⑺

故选A.

2、B

【分析】根据图形旋转的性质得AC=A'C,ZACA,=90°,NB=NA'B,C,从而得NAA'C=45°,结合Nl=20°,

即可求解.

【详解】T将RtZIABC绕直角项点C顺时针旋转90。，得到［A，Bt,

ΛAC=A,C,ZACA,=90°,ZB=ZA,B,C,

ΛZAA,C=45o,

VZ1=20°,

.∙.NB'A,C=45o-20°=25°,

ΛZA,B'C=90o-25°=65°,

ΛZB=65o.

故选B.

【点睛】

本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关

键.

3、D

【解析】试题分析：Y关于X的一元二次方程(，〃—2)f+2x+l=0有实数根，••.〃?一2。0且ANO,即

22-4(m-2)×l≥0,解得m≤3,，m的取值范围是/"≤3且/律。2.故选D.

考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的定义.

4、D

【分析】先求出AC,再根据正切的定义求解即可.

【详解】设BC=x,贝!JAB=3x,

由勾股定理得，AC=2JIr,

,nAC2√2xC后

ta∏B=-τ-=-------=2√2，

DCX

故选D.

考点：1.锐角三角函数的定义；2.勾股定理.

5、A

【详解】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为X,

那么根据题意得2018年年收入为：300(l+x)2,

列出方程为：300(l+x)2=1.

故选A.

6、C

【分析】连接OG根据等边对等角即可得到NB=NBCaZA=ZACO,从而求得NACB的度数，然后根据圆周角定

理即可求解.

【详解】连接OC.

'：OB=OC,

：.ZB=ZBCO,

同理，ZA=ZACO,

：.ZACB=ZA+ZB=40o,

：.ZAOB=2ZACB=80°.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，正确作出辅助线，求得NACB的度数是关键.

7、C

【解析】A.k=l>O,图象位于一、三象限，正确；

B.•.、=-X经过二、四象限，故与反比例函数没有交点，正确;

C.当χ>0时，y的值随X的增大而增大，错误；

D.当x<0时，y的值随X的增大而减小，正确，

故选C.

8、B

【分析】根据几何体的三视图，可判断出几何体.

【详解】解：V主视图和左视图是等腰三角形

.∙.此几何体是锥体

∙.∙俯视图是圆形

...这个几何体是圆锥

故选B.

【点睛】

此题主要考查了几何体的三视图，关键是利用主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状.

9、D

【解析】试题分析：顺次连接四边形四边的中点所得的四边形是平行四边形，如果原四边形的对角线互相垂直，那么

所得的四边形是矩形，如果原四边形的对角线相等，那么所得的四边形是菱形，如果原四边形的对角线相等且互相垂

直，那么所得的四边形是正方形，因为平行四边形的对角线不一定相等或互相垂直，因此得平行四边形.故选D.

考点：中点四边形的形状判断.

10、A

【分析】根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值，根据AC、BC的比值和AB的长度即可求得AC的值，即可解题.

【详解】解：如图，

根据题意知AB=130米，tanB=——=1：2.4,

BC

设AC=x,则BC=2∙4x,

则X2+(2.4x)2=1302,

解得x=50(负值舍去)，

即他的高度上升了50m,

故选A∙

【点睛】

本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，属于基础题.

11,C

【分析】连接OA,根据垂径定理，求出AD,根据勾股定理计算即可.

【详解】连接OA,

VOD±AB,

1

ΛAD=-AB=4,

2

由勾股定理得，OA=√AD2+OD2=5»

故选c.

【点睛】

本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

12、C

【分析】把每个点的坐标代入函数解析式，从而可得答案.

【详解】解：当尤=1时，γ=l≠-l,故A错误;

当为=—1时，y=-l≠l,故B错误；

1万

当x=√i时，y=-μ=-,故C正确；

√22

当X=—JΣ时'y=—≠,故D错误;

√222

故选C.

【点睛】

本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、2；1

【分析】根据DE〃BC得出^ADES∕∖ABC,结合AD=2BD可得出相似比即可求出DE：BC.

【详解】解：VDE/7BC,

Λ∆ADE<^∆ABC,

DEAD

•9•_一,

BCAB

VAD=2BD,

.AD2

,.――--

AB3

ΛDE:BC=2：L

故答案为：2：1.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定及性质，属于基础题型，解题的关键是熟悉相似三角形的判定及性质，灵活运用线段的

比例关系.

14、2

【分析】根据方程的根的定义，得加2+2〃?一1=0,结合完全平方公式，即可求解.

【详解】∖∙m是方程/+2X-I=O的一个根,

∙,∙m2+2m—1=0»即：m2+2m=1

.∙.+=m2+2w+1=1+1=1.

故答案是：1∙

【点睛】

本题主要考查方程的根的定义以及完全平方公式,，掌握完全平方公式，是解题的关键.

48

15、——

5

【分析】先由勾股定理求出M,再过点B作班A尸于尸，由ACBESMB4的比例线段求得结果即可.

【详解】解：过点3作斯，A尸于尸，如图所示：

∙.∙BC=6厘米，CD=16厘米，CE=ɪCD

2

二CE=8厘米，

∙.∙NC=90°,

由勾股定理得：BE=y∣BC2+CE2=√62+82=10-

ZBCE=/FBE=900,

:./EBC=ZABF,

/BCE=/BFA=90°,

:.NCBES江BA,

B•E_____B_C

'AB~

„106

§0——=9

16BF

48

.∙.BF-

^5^,

故答案为：—.

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键.

16、-

4

【分析】根据相似三角形对应边成比例即可求得答案.

【详解】ΔASC~AAOB,

.ABAC

'~~AD~~AB,

AB=3,AC=4,

34

.*._______—一____，

AD3

9

解得：AD=-

4

9

故答案为：⅛

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，找准对应边是解题的关键.

17、120

【分析】先计算时钟钟面上每两个数字之间的度数，从上午6时到上午1()时共旋转4个格，即可求得答案.

【详解】钟面上每两个数字间的度数为360÷12=30，

•••从上午6时到上午1()时共旋转4个格，

.∙.30×4=120，

故答案为：120.

【点睛】

此题考查钟面的度数计算，确定钟面上每两个数字事件的度数是解题的关键.

18、8

【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为

所求.

【详解】连接OA,过点O作ODJ_AB于点D,

贝!jAB=2AD,

T钢珠的直径是IOmm,.∙.钢珠的半径是5mm.

Y钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,.∙.OD=3mm.

在Rt∆AOD中，•；AD=√OA2-OD2=√52-32=4mm,

：•AB=2AD=2×4=8mm

【点睛】

本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键.

三、解答题（共78分）

19、游戏不公平，理由见解析.

【分析】首先根据题意列表，然后由表格求得所有等可能的结果，由当概率相等时，这个游戏是否公平，即可求得答

案.

【详解】解：游戏不公平，理由如下：

随机投掷两个筹码的结果列表如下：

O△

二

X（X,O）(χ,∆)

O（0,O）(0,△)

由上表可知，投掷筹码的结果共有4种，每种结果出现的可能性相同，其中，筹码朝上的一面都是“。”的结果有1种,

其他结果有3种.

13

即哥哥获得门票的概率为“弟弟获得门票的概率为“

1,3

,：—＜一,

44

.∙.游戏不公平.

【点睛】

本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.

2

20、(1)y=(%-l)-4,顶点的坐标为(1,-4);(2)①町=g,m1=-g;②tn=>

【分析】(1)把坐标代入求出解析式，再化为顶点式即可求解；

(2)①由对称性可表示出P，的坐标，再由P和F都在抛物线上，可得到m的方程，即可求出m的值；

②由点P，在第二象限，可求出t的取值，利用两点间的距离公式可用t表示再由带你P，在抛物线上，可消去

m,整理得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最小值时t的值，则可求出m的值.

【详解】(1)Y抛物线y=f+及一3经过点A(TO),

.∙.O=l-⅛-3,解得b=-2,.∙.抛物线的解析式为y=χ2-2x-3.

∙.∙y=*2—2x—3=(x—l)2—4,.∙.顶点的坐标为(1,T).

(2)①由点P(m,f)在抛物线y=/一2χ-3上，^t=m1-2m-3.

YP关于原点的对称点为P',有P'(τw,τ).

—t-(~mf-2(-m)-3,即t=-tτr—2m+3，

∙*∙m2—2m—3=~nT—2m÷3,

解得见=6，In)=—ʌ/ɜ.

②由题意知P'(τ加,τ)在第二象限，.∙.一根<0,-t>Q,即〃z>O,t<O.

则尸(加J)在第四象限.

V抛物线γ=x2-2x-3的顶点坐标为(1,Y),.∙.Y≤/<O.

过点P‘作P'”J_x轴，〃为垂足，则H(τ%0)∙

VA(—1,0),t=nr-2m-'ii

ʌP'H2=t2>AH'=(-m+l)^-m2-2m+1-1+4.

当点A和H不重合时，在RrAP'A//中，P'/^=P,H2+AH2.

当点A和〃重合时，AH=O,P'A2=P'H2.符合上式.

.∙.p'A1P'H2+AH2>即P'A?=r+r+4(→4≤r≤0).

记y'=∕+f+4(T<r≤0),则V=I+；)+?,

.∙.当「=—_L时，》取得最小值.

2

把f=—代入r=，/？—2，〃—3,得—彳=，〃~—2机—3,

22

曲俎2-√U2+√14

解得码=——-——，

m2=——-——，

由m>0,可知m=2一拒不符合题意,.∙.∕”=2±2叵

22

【点睛】

此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质.

21、(1)第一次购进甲种水果200千克，购进乙种水果10千克；(2)机的值为1.

【分析】(1)设第一次购进甲种水果X千克，购进乙种水果y千克，根据该超市花费220()元购进甲、乙两种水果共350

千克，即可得出关于X,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)根据总利润=每千克的利润X销售数量，即可得出关于,"的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】(1)设第一次购进甲种水果X千克，购进乙种水果y千克,

Jx+y=350

依题意，得:

5x+8y=2200

X=200

解得：<

y=150

答：第一次购进甲种水果20()千克，购进乙种水果1()千克.

(2)依题意，得：[10(l+∕n%)-5]×200(l+2∕n%)+(12-8)×100=2090,

2

整理，得：0.4Z71+40∕∕J-690=0,

解得：m∣=l,"12=-11(不合题意，舍去).

答：机的值为1.

【点睛】

考核知识点：一元二次方程应用.理解：总利润=每千克的利润X销售数量.只有验根.

22、l-√3∙

【分析】分别根据特殊角的三角函数值、零指数幕的运算法则和二次根式的性质计算各项，再合并即得结果.

【详解】解：原式=2χ立+1—26=6+1—2G=I-百.

2

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幕和二次根式的性质等知识，属于应知应会题型，熟练掌握基本知识是关键.

23、(1))，=立(X>0)；(2)面积为辿；(3)P(2,0)或(4,0)

X4

【分析】(D解直角三角形求得AB,作CE,OB于E,根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C

的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；

(2)补形法，求出各点坐标，SΔOCD=SΔAOB-SΔACD-SΔOBD;

(3)分两种情形：①NoPC=90。.②NOCP=90。，分别求解即可.

【详解】解：(1)VZABO=90o,NAOB=30°,OB=2√3,

n

.∙.AB=-OB=2,

3

作CEJ_OB于E,

VZABO=90o,

ΛCE∕∕AB,

ΛOC=AC,

ΛOE=BE=ɪOB=√3,CE=JAB=I,

ΛC(√3,1),

•••反比例函数y=A(χ>o)的图象经过OA的中点c,

X

kL

•'•I=-Λk=√3,

√3

.∙.反比例函数的关系式为V=—；

(2)∙.∙OB=2百，

.∙.D的横坐标为2百,

代入y=正得,J=i

X2

.,.D(2√3»ɪ).

2

ΛBD=-,

2

TAB=L

2

1113√3

：.SΔOCD=SΔAOB-SΔΛCD-SΔOBD=一OB∙AB--AD∙BE--BD∙OB=—

(3)当NoPC=90。时，点P的横坐标与点C的横坐标相等，C(2,2),

ΛP(2,0).

当NOCP=90。时.

VC(2,2),

ΛZCOB=45o.

.∙.ΔOCP为等腰直角三角形.

.∙.P(4,0).

综上所述，点P的坐标为(2,0)或(4,0).

【点睛】

本题主要考查的是一次函数、反比例函数的综合应用，列出关于k、n的方程组是解答问题(2)的关键，分类讨论是

解答问题(3)的关键.

24、(1)X=I或X=-I或％=-2；(2)第三个解为X=2,加=一1,〃=-4.

【分析】(1)模仿材料可得：X=I是χ3+2/一χ-2=0的一个解.可设χ3+2f-X-2=(χ-l)(χ2+g+〃)，

X3+2X2-X-2=X3+(m-l)x2+(n-m)x-n,求出m,n再因式分解求解；

33

(2)由x=l和尤=—2是方程X+如？+nχ+4=0的两个解，可设X+mi，+nr+4=(%—1)(X+2)(JV+2),贝IJ：

x3+nvc2+nx÷4=x3+(⅛+l)x2+(⅛-2)x-2Λ,求出k,再因式分解解方程.

【详解】解：(1)Yx=I时，左边=1+2—1一2=O=右边，；・x=l是丁+2%2一］一2=0的一个解.

可设/+2X2-X-2=(X-I)(X2+如+