2023年中考数学几何模型-动点最值之瓜豆模型（讲+练）（解析版）

专题16动点最值之瓜豆模型

模型一、运动轨迹为直线

问题1:如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运

动时，Q点轨迹是？

A

解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.

理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ,

所以QN始终为AM的一半,即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.

问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ,且NPCQ为定值，当点P

在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？

住)(A)

解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=4。时，P、。轨迹是同一种图形，且PP产QQi

理由：易知△CPPgZ\CPP1，则NCPP尸CQQi，故可知Q点轨迹为一条直线.

模型总结：

条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量.

结论：①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；

②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角

③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运

动路径长；

例1.如图，在平面直角坐标系中，A(-3,0),点B是y轴正半轴上一动点，点C、

D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边4ABP,点B在y轴上运动时，求

OP的最小值.

【解析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据AABP是等边三角形且B点在直线

上运动，故可知P点轨迹也是直线.

取两特殊时刻：(1)当点B与点。重合时，作出P点位置Pi;(2)当点B在x轴

上方且AB与x轴夹角为60。时，作出P点位置P2.连接P1P2，即为P点轨迹.

根据NABP=60。，可知：£2与y轴夹角为60。，作OP_LPi2，所得OP长度即

为最小值，

OP2=OA=3,所以

例2.如图，已知点A是第一象限内横坐标为2g的一个定点，AC±x轴于点M,

交直线y=-x于点N,若点P是线段ON上的一个动点，ZAPB=30°,BAJ_PA,

则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点。运动到点

N时，点B运动的路径长是

答案答】2^/2

【分析】VZPAB=90",/APB=30。，.•.可得：AP:AB=，3:1,故B点轨迹也是

线段，

且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为，3：1,P点轨迹长ON为2通，

故B点轨迹长为.

【变式训练1】如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边

上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边AEFG,连接CG,求CG的最小值是多

少？

A

【答案】I

【解析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将

F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：

考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，

初始时刻G点在Gi位置，最终G点在Gz位置（G2不一定在CD边），G&2即为G

点运动轨迹.

CG最小值即当CG_LGIG2的时候取到，作CH_LG62于点H,CH即为所求的最小

值.

根据模型可知：6储2与AB夹角为60。，故GIG2，E&.过点E作EF1CH于点F,

则HF=EGI=1,CF=*CE=*,所以而=5,因此CG的最小值为

【变式训练2】如图，AABC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点。为BC的中点,

【解答】解：当点E在8时，M在48的中点N处，当点E与A重合时，M的位置如图所

z5.

所以点E从点B运动到点A,则M点所经历的路径为MN的长，

「△ABC是等边三角形，。是BC的中点，J.ADVBC,/84。=30。，

'：AB=6,."。={62_“=3遍,•.•△££)〃是等边三角形，.•.AM=AO=3«,ZDAM

=60°,

...NM4M=30°+60°=90°,'：AN^^AB^3,在Rs中，

2

由勾股定理得：MN={卜/呼+⑶2=6,则M点所经历的路径长为6,故

答案为：6.

【变式训练3】如图，在矩形ABCC中，AB=4,ZDCA=30°,点尸是对角线AC上的一个

动点，连接DF,以DF为斜边作N£>FE=30。的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF

两侧，点尸从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是.

【解答】解：E的运动路径是线段EE的长；

：AB=4,ZDCA=30°,；.BC=^^,

3

当尸与A点重合时，在RsACE中，AO=-^S,ZDAE=30°,ZADE=60°,

3

；.£)£=&!.,/C£)E=30。，

3

当尸与。重合时，ZEDC=60°,:./EDE=90。,NOEE=30。，

在RtAOEE中，返；故答案为生区.

33

【变式训练4】如图，已知线段AB=12,点C在线段AB上，且4ACD是边长为4的等边三

角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF,连接DF,点M是DF的中点，连接MB,则线段MB

的最小值为_______________.

【答案】6

【解析】如图所示，：NFCB=309,的路径是定射线DF,又•.•点M是DF的中点，二

DM=^DF,

；D点为定点，F点为主动点，M点为从动点，由瓜豆原理内容可知M点的路径亦是一条射

线，

取CD的中点N,连接NM并延长，则射线NM就是M点的路径，目NM〃CF,

作BG_LNM于点G,交CF于点H,则BGJ_CF,故BG=BH+HG=BH+CN=4+2=6,

线段BM的最小值即为BG,最小值为6.

模型二、运动轨迹为圆

问题L如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.当点P在圆。上运

动时，Q点轨迹是？

0

解析：。点轨迹是一个圆

理由：。点始终为AP中点，连接A。，取A。中点M,则M点即为。点轨迹圆圆心，半径

MQ是0P一半，任意时刻，均有△AMQS/\AOP,0£=d&=J..

POAP2

问题2.如图，AAPCl是直角三角形，NPAQ=90。且AP=2AQ,当P在圆0运动时，Q点轨迹是？

解析：。点轨迹是一个圆

理由：•.,AP_LA0,，Q点轨迹圆圆心M满足AMJ_4。；

又：，AP：AQ=2：1,；.Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1.

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APOSAAQM,且相似比为2.

模型总结：

条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(NPAQ是定值)；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).

结论：(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：NPAQ=/OAM；

(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也等于

两圆半径之比.

例1.如图，点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点，

点C是MB的中点，则AC的最小值是

【答案】1.5

【解析】由题意可知M点为主动点，C点为从动点，B点为定点.

VC是BM中点，可知C点轨迹为取BP中点F,以F为圆心，FC为半径作圆，即为点C轨

迹，如图所示：

由题中数据可知0P=5,又；点A、F分别是OB、BP的中点，，AF是△BPO的中位线，，

AF=2.5,

当M运动到如图位置时，AC的值最小，此时A、C、。三点共线，；.AC=2.5—1=1.5.

例2.如图，A是配上任意一点，点C在期外，已知AB=2,BC=4,团ACD是等边三角形，

则△BCD的面积的最大值为（）

【答案】A

【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM,连接DM,

0Z£）C4=：ZMCB=6OO,^\ZDCA-ZACM=ZMCB-ZACM,BPZDCM=ZACB

DC^AC

在/和zMCB中，■NDCM=NACB,回，DCM三，ACB(S4S),0DM=AB=2,

MC=BC

团点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，

要使△BCD面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离，

是边长为4的等边三角形，回点M到BC的距离是,

团点D至4BC的最大距离是2港+2,回△BCD的面积最大值是TX4X（2G+2）=4K+4.故

选：A.

例3.如图，正方形ABC力中，AB=2亚,。是BC边的中点，点E是正方形内一

动点，0E=2,连接OE,将线段。E绕点。逆时针旋转90。得QF,连接AE、CF.求

线段。尸长的最小值.

【解析】E是主动点，尸是从动点，。是定点，E点满足£。=2,

故E点轨迹是以。为圆心，2为半径的圆.

考虑尸且DE=DF,故作DM1DO且DM=DO,F点轨迹是以点M为圆心，

2为半径的圆.

直接连接OM,与圆M交点即为尸点，此时。尸最小.可构造三垂直全等求线段

长，再利用勾股定理求得。M,减去M尸即可得到。F的最小值.答案为50-2

【变式训练1】如图，在等腰R3ABC中，AC=BC=2&,点P在以斜边AB为直径的半圆

上，M为PC的中点,当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为.

B

【答案】n

【解析】当点P位于弧AB的中点时，M为AB的中点，

■：AC=BC=2V2,：.AB=4,CM=2,

设河卜河2分别为AC、BC的中点，连接交CP于点0,如图所示:

MiM2^2,OMi^OM2=OC=OM=l,

当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M的运动路径是以。为圆心，1为半径的半圆，如

图蓝色半圆，

•••点M的运动路径长为”.

【变式训练2】如图，AB为。的直径，C为。上一点，其中A8=6,ZAOC=120。，P

为：。上的动点，连AP,取AP中点Q,连CQ,则线段CQ的最大值为（）

33G

C.2+3不D.-+-V7

22

【答案】D

【详解】如图，连接0Q，作CHEIAB于H.

团AQ=QP,0OQ0PA,00AQO=9O°,

团点Q的运动轨迹为以A0为直径的团K,连接CK,

当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大MNAOC=120。般COH=60。

在Rtl30cH中，00COH=6OO,0C=yAB=3,

®OH=!OC=3,CH^yJoC2+OH2=—,

222

在RtSCKH中，0<=卜+(¥)=|"，回CQ的最大值为|+|夜，故选：D.

【变式训练3】如图，ABC中，AB=AC,BC=6,A。，8C于点£),AZ)=4,P是半径

为2的A上一动点，连结PC,若E是PC的中点，连结。E,则OE长的最大值为

()

【答案】B

【详解】解：如图，可知P在曲延长线与|A的交点时此时OE氏的最大，证明如下：

连接BP,0AB=AC,BC=6,AO_LBC,S!BD=DC,

ISE是PC的中点，

QDE//BP,DE=^BP,

所以当8P的长最大时，OE氏的最大，

由题意可知P在班延长线与：A的交点时BP的长最大此时DE长的最大，

EIBC=6,AD=4,回8D=DC=3,8A=5,

04的半径为2,BPAP=2,

团8P=5+2=7,

0DE=-BP=3.5.

2

故选：B.

课后训练

1.如图，在^ABC中，ZACB=909,/A=30。，BC=2,D是AB上一动点，以DC为斜边向

右侧作等腰Rt/WCE,使NCED=903连接BE,则线段BE的最小值为.

ADB

E

【解答】呼

【解析】由题意可知C为定点，D点为主动点，路径为线段AB,点E为从动点,

EC

•..△DCE是等腰直角三角形，，/DCE=45%京=万

结合瓜豆原理内容可知从动点E的路径为一条线段，可以看成是由线段AB先绕着定点C逆

时针旋转45。，再以定点C为位似中心，以噂为位似比缩小来的,

如图，将BE的最小距离转化为点到线的最小距离（点B到43'的最短距离），

由旋转相似可得放sRtAA'CB',：.^CB'A'=ZCBA=60°,

.­.ZXB,B=30°,在及△9E5中，有B，B=6,则8E=噂，

...线段BE的最小值为殍.

3.如图，AB=6,点。在线段AB上，AO=2,。的半径为1,点P是。上一动点，以BP

为一边作等边VBP。，则A。的最小值为

Q

【答案】2V7-1

【详解】解：如图，在AB上方以。8为一边作等边Q3C,连接OP,CQ,AC,

OBC和VBPQ都是等边三角形,；.OB=CB,BP=BQ/OBC=ZPBQ=60°,

ZOBC-ZPBC=ZPBQ-ZPBC,即NOBP=ZCBQ,

OB=CB

在，OBP和△C8Q中，-NOBP=NCBQ,:NOBP^VCBQ(SAS),:.CQ=OP=\,

BP=BQ

.••点Q在以点C为圆心，C。长为半径的圆上，如图，设AC与OC交于点£),过点C作

则C£>=1,则当点。与点。重合时，42取得最小值，最小值为AO,

QAO=2,A8=6,..O8=AB—AO=4,O8C是等边三角形，CMA.AB,

•••OC=OB=4,OM=；OB=2,CM=4OC2-OM2=2^,AM=AO+OM=4^

在mAACM中，AC=siAM2+CM2=277>则AL>=AC-C£>=2疗-1,

即AQ的最小值为25-1,故答案为：2"-1.

4

4.点A是双曲线沙=二在第一象限上的一个动点，连接A。并延长交另一交令一分支点B,

以AB为斜边作等腰RtZ\ABC,点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也在不断变

化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为_______________________.

【解析】连接0C,作CD_La；轴于点D,AE2.X轴于点E,如图所示:

设点A的坐标为卜，；)，

「A、B两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点，

.,.点A与点B关于原点对称，.・.OA=OB,

:△ABC为等腰直角三角形，；.OC=OA,0C10A,二ZDOC+NAOE=90。,

VZDOC+ZDCO=909,，NDCO=/AOE,

ZCDO=ZOEA

在△COD与AOAE中，＜4DC0=NEOA,.".ACOD^AOAE(AAS),

CO=OA

4

：.OD=AE=^,CD=OE=a,：.C9a

44

:・a=-4,.•.点C在反比例函数g=的图像上.

7.如图，AB为回0的直径，C为团。上一点，其中AB=2,由AOC=120。，P为回。上的动点,

连AP,取AP中点Q,连CQ,则线段CQ的最大值为.

【详解】解：如图，连接。Q,作CHI3AB于H.mAQ=QP,

0OQ0PA,0EIAQO=9OO

团点Q的运动轨迹为以A0为直径的回K,连接CK

当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，