抛物线-2023年高考数学一轮复习讲义与练习（新高考）原卷版

考点22抛物线（核心考点讲与练）

1.抛物线的定义

（1）平面内与一个定点F和一条定直线/（西/）的距离相箜的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,

定直线/叫做抛物线的准线.

（2）其数学表达式：｛MI"F∣=d｝（d为点M到准线/的距离）.

2.抛物线的标准方程与几何性质

1.求抛物线的标准方程的方法：

①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p,所以只需一个条件确定夕值即可.

②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.

（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转

化.“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线“，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.

2.确定及应用抛物线性质的技巧：

①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.

②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.

3.（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式IABl

=x1+x2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

（3）研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方

程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵

活应用.

萄

物线的定义与方程

一、单选题

12342

1.（2022・广东•二模）已知抛物线E：y=4x,圆F：（x-l）+∕=4,直线/：y=t"为实数）与抛物线

E交于点A,与圆F交于B,C两点，且点B位于点C的右侧，则aE48的周长可能为（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2022•江苏•海安高级中学二模）已知抛物线C：V=4y的焦点为F,准线为/.点P在C上，直线PF交

IXUULM

X轴于点。，且PF=3尸Q,则点P到准线/的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2021北京市第八中学高三10月月考）已知抛物线V=8χ第一象限上一点A到其焦点的距离为8,则

点A的纵坐标为（）

A.2√4B.6C.4D.4√3

二、多选题

4.（2022•广东韶关•二模）已知抛物线C-.V=4χ的焦点为F,准线/交X轴于点D,直线〃?过。且交C

于不同的A,B两点,8在线段A力上，点P为A在/上的射影.线段尸尸交y轴于点E,下列命题正确的是

（）

A.对于任意直线瓶，均有AELPF

B.不存在直线机，满足品=2序

C.对于任意直线〃?，直线AE与抛物线C相切

D.存在直线”?，使∣AQ+∣BF∣=2∣OFI

5.（2022•山东潍坊•二模）己知四面体ABCZ）的4个顶点都在球。（O为球心）的球面上，AABC为等边三

角形，M为底面ABC内的动点，AB=BD=2,AD=y∕2,且ACL8。，贝IJ（）

A.平面AS_L平面ABC

B.球心。为AABC的中心

C.直线OM与CC所成的角最小为3

D.若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分

6.（2022.山东聊城•二模）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点/到准线的距离为2,过F的直线/交

抛物线C于两点A,B,贝!］（）

A.C的准线方程为x=-2

B.若IAFl=4,则IOAl=后

C.若|4斗忸刊=4p2,则/的斜率为土立

D.过点A作准线的垂线，垂足为H,若X轴平分4/8,则IAfj=4

7.（2022•辽宁葫芦岛.一模）已知抛物线C：V=2px过点加（2,2夜），焦点为F,则（）

A.点M到焦点的距离为3

B.直线M尸与X轴垂直

C.直线M尸与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切

D.过点M与C相切的直线方程为x-2y+l=0

三、填空题

8.（2022•辽宁沈阳•二模）己知抛物线C：V=8x的焦点为F,在C上有一点P,IPFl=8,则点尸到X轴的

距离为.

抛物线的几何性质

L（2021北京八中高三上学期期中）已知直线∕∣:x-y+4=0和直线4：x=-2,抛物线上一动

点尸到直线4和直线4的距离之和的最小值是（）

A.3√2B,4√2C.∣√2D.2+2√2

2.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测）2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛

物线与圆勾勒出牛的形象.已知抛物线Z:/=4y的焦点为F,圆F：f+（y—i）2=4与抛物线Z在第一

（舟

象限的交点为Pm,-,直线/:X=（0<，<加）与抛物线Z的交点为A,直线/与圆尸在第一象限的

\4J

交点、为B,则CE43周长的取值范围为（）

A.（3,5）B.（4,6）

C.（5,7）D.（6,8）

<^可宝>直线与抛物线的位置关系

1.（云南省曲靖市第一中学2022届高三上学期第一次质量监测卷）已知直线/：）=x+l与抛物线C：x1=2py

（p>0）相交于A,B两点，若AB的中点为N,且抛物线C上存在点M,使得。M=3ON（。为坐标原

点）.

（1）求此抛物线的标准方程；

（2）若正方形PQHR的三个顶点P,Q,，都在抛物线C上，求正方形尸QHR面积的最小值.

2.（2021四川省成都市郭都区高三上学期阶段性检测）已知抛物线C：y2=2pχ（p>0）上的点（2,。到

焦点户的距离为4.

（1）求抛物线。的方程；

（2）设纵截距为1的直线/与抛物线C交于A,8两个不同的点，若FA∙FB=4,求直线/的方程.

L（2020年全国统一高考（新课标1））己知A为抛物线C:）2=2PX（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离

为12,到），轴的距离为9,则p=（）

A.2B.3C.6D.9

2.（2021年全国新高考I卷）已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2pχ（p>（））的焦点为尸，P为。上一

点，PF与X轴垂直，。为X轴上一点，且PQ若忻。=6,则C的准线方程为.

3.（2021年全国高考乙卷）已知抛物线C:V=2*（〃>0）的焦点尸到准线的距离为2.

（1）求C的方程；

（2）已知。为坐标原点，点P在C上，点。满足PQ=9Qb,求直线。。斜率的最大值.

一、单选题

1.（2022•山东泰安・二模）己知以尸为焦点的抛物线y2=-2x上的两点A,8（点A的横坐标大于点B的横

坐标），满足OA-O5=∕IE4（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为-：，则实数人=（）

O

34

A.-B.-C.3D.4

23

2∙（2022∙河北唐山•二模）/为抛物线C：V=4x的焦点，点M（m,4）在。上，直线M尸交C的准线于点M

则网=（）

510

A.-B.—C.5D.12

43

3.（2022•天津・一模）已知抛物线丁=8工的准线与双曲线χ2-1=ι（m>o）相交于两点，且OE

m

（。为原点），则双曲线的渐近线方程为（）

JCɪʌ/ɜCɪʌ/ɪs

Aλ.y=±-xB.V=±-----XC.V=±——XD.y=±——χ

3324

4.（2022.辽宁锦州•一模）已知抛物线Uy2=2pχ（p>0）的焦点为凡点P是C上一点，且IPFl=5,以PF

为直径的圆截X轴所得的弦长为1,则P=（）

A.2B.2或4C.4D.4或6

5.（2022•广东惠州•一模）若抛物线V=2px（p>0）上一点P（2,%）到其焦点的距离为4,则抛物线

的标准方程为（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.∕=8x

二、多选题

6.（2022.河北秦皇岛.二模）过抛物线C:y2=2px上一点A（l,-4）作两条相互垂直的直线，与C的另外两个

交点分别为M,N,则（）

A.C的准线方程是x=-4

B.过C的焦点的最短弦长为8

C.直线MN过定点（0,4）

D.当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x+y-38=0

7.（2022•江苏江苏•二模）已知抛物线V=4x的焦点为尸，过原点。的动直线/交抛物线于另一点P,交抛

物线的准线于点。，下列说法正确的是（）

A.若。为线段PQ中点，则∣PF∣=2B.若IPH=4,则IoH=2石

C.存在直线/,使得PFJ■。/D.ZV5FQ面积的最小值为2

8.（2022•广东♦一模）已知抛物线C：V=4x的焦点为F,抛物线C上存在〃个点[,P2,ɛ,Pn（“≥2且

27F

"∈N）满足NaR=N6容==NEiFK=NRFq=-,则下列结论中正确的是（）

n

+=2

ʌ'〃=2时'∣^[∣∕>f∣

B.〃=3时，忸目+∣g尸|+山产I的最小值为9

]1_1

c+-

'”=4时，∣^F∣+∣∕>F∣∣^F∣+∣^F∣4

D.〃=4时，归尸|+怛F∣+∣AF∣+∣/∣的最小值为8

9.（2022•湖南常德•一模）已知抛物线C:V=2PX（P>0）的焦点/到准线/的距离为2,则（）

A.焦点F的坐标为（1,0）

B.过点A（T,0）恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点

C.直线χ+y-1=0与抛物线C相交所得弦长为8

D.抛物线C与圆/+>2=5交于M,N两点，则IMVl=4

10.（2022•广东肇庆•模拟预测）已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，过点尸作两条互相垂直的直线∕∣,l2,I1

与C相交于A,B两点，4与C相交于E,。两点，M为A,8中点，N为E,。中点，直线/为抛物线C的

准线，则（）

A.点M到直线/的距离为定值B.以为直径的圆与/相切

C.∣A即+|£>目的最小值为32D.当IMM最小时，MN//I

11.（2022・重庆•模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线V=2px（p>0）的焦点为F,点

Λ∕（l,2）,A（XI,χ）,3（々,必）都在抛物线上，且FA+FB+FM=0，则下歹IJ结论正确的是（）

A.抛物线方程为>2=2XB.尸是ABM的重心

7

C.∣∕A∣+∣FΛ∕∣+∣FB∣=6D.S^AFO+S^BFO+S^MFO=3

三、填空题

12.(2022.北京丰台•二模)已知抛物线C：V=8y,则抛物线C的准线方程为.

13∙(2022∙福建•模拟预测)已知抛物线y2=2p∣x(p∣>0)与抛物线Y=20/(乌>°)在第一象限内的交点为

P(X。，%)，若点P在圆C:(x-&U『+(y-My=8上，且直线O尸与圆C相切，则PQ=.

14.(2022.重庆八中模拟预测)若抛物线V=2PX(P>())上的点A(Λ0,2)到焦点的距离是点A到y轴距离的

2倍，则