5.1.2 矩形的判定-八年级数学下册同步课堂（浙教版）

矩形的判定特殊平行四边形学习目标壹理解并掌握矩形的判定方法。解决有关的证明题和计算题，感受解析思路和方法。贰经历探索矩形判定方法的过程。叁经历探究矩形判定的过程，发展学生实验探究的意识。肆从数学活动中获得成功的体验，充满对学习的好奇心和求知欲。知识回顾工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？矩形的判定1矩形的定义：平行四边形ABCD∠A=90°四边形ABCD是矩形。有一个角是直角的平行四边形是矩形.ABCD“矩形的对角线相等”，反过来，猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.不对，等腰梯形的对角线也相等.我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.已知：平行四边形ABCD，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.验证结论ABCD∴△ABC≌△DCB（SSS）证明∴AB=CD,BC=BC（平行四边形对边相等）∵四边形ABCD是平行四边形（已知）在△ABC和△DCB中AB=CD（已证）BC=BC（已证）AC=BD（已知）

∴∠ABC=90°（等式的性质）∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）又∵四边形ABCD是平行四边形（已知）矩形的判定2平行四边形ABCDAC=BD四边形ABCD是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形.BACD∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD

∴

四边形ABCD是矩形。几何语言：猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。1、矩形的四个角都是直角，它的逆命题是什么？逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。想一想2、如果上述逆命题成立，那么进一步说，至少有几个角是直角的四边形是矩形呢？已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°求证：四边形ABCD是矩形.验证结论DABC证明：∵∠A＝∠B＝90°

∴∠A＋∠B＝180°

∴AD∥BC

同理：AB∥CD

∴四边形ABCD是平行四边形∵∠A＝90°

∴四边形ABCD是矩形。矩形的判定3有三个角是直角的四边形是矩形.BACD

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四边形ABCD是矩形.几何语言：例题讲解如图,AC、BD是矩形ABCD的对角线，且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.BCDEFGHOA证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的对角线相等)，

AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EO+OG=FO+OH，

即EG=FH，∴四边形EFGH是矩形.例题讲解如图，□

ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形．证明：在

□

ABCD中，AD∥BC,

∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线,ABDCHEFG∴四边形EFGH是矩形．同理可证∠AED=∠EHG=90°,∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°.∴∠BAE+∠ABF=∠DAB+∠ABC=90°.例题讲解一张四边形纸板ABCD形状如图，它的两条对角线相互垂直.若要从这张纸中剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎样剪？ABCDOABCDOEFGH解：如图，在AB、BC、CD、AD上取中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE,∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC,∵AC⊥BD.∴EF⊥BD.∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD,∵EF⊥EH,即∠HEF=90°同理，∠EHG=90°，∠HGF=90°∴四边形EFGH是矩形.学以致用1.如图，BD是平行四边形ABCD的一条对角线，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于F.(1)求证：BC=CF.(2)当DB=DF时,求证：四边形ABCD是矩形．学以致用2.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且AD⊥BA交BC延长线于D，CF⊥BC交BA的延长线于F,连接EF．(1)求证：AC是△BCF的中线；(2)求证：四边形CDEF是矩形；(3)已知AC=6，BC=4，求AE的长．学以致用3.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=4，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，连接EF．（1）四边形PECF的形状是______；（2）线段EF的最小值为______．学以致用4.如图，在△AEC、△BED中，∠AEC=∠BED=90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点．求证：四边形ABCD是矩形．学以致用5.如图，在平行四边形ABCD中，角线AC、B