2022-2023学年山西省大同市阳高重点中学高一（下）期末数学试卷

2022-2023学年山西省大同市阳高重点中学高一（下）期末数学

试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.复数上的虚部是（）

A.gB.一；C.；iD.-

2.设向量苍=(2,1),b=(3,m)，alb，则zn=()

A.-6B.-IC.-iD.。

262

3.如图，在正方体力8。£）一&8©。1中，点E，F分别为棱AB和4公上的

中点，则异面直线EF与BD所成角的大小为（）

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

4.已知某圆锥的高为3,底面半径为，至，则该圆锥的侧面积为（）

A.yTZ2nB.2yT22nC.2兀D.67r

5.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若。=J%，A=1,8=冷则c=（）

A.3AT3B.3C.2V-3D.2

6.如图，边长为2的正方形AB'C'D'是用斜二测画法得到的四边

形48C。的直观图，则四边形ABCD的面积为（）

A.3<7

B.6<7

C.4C

D.8。

7.某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2：3：5.现用比例分配的分层随

机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（）

A.10B.15C.20D.25

8.《易经》是中国文化中的精髓，如图是易经八卦图（含乾、

坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成

表示一根阳线，.■表示一根阴线），从八卦中任取两卦‘火

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列命题不正确的是（）

A.三点确定一个平面B.两条相交直线确定一个平面

C.一条直线和一点确定一个平面D.两条平行直线确定一个平面

10.下列关于直线，，点4B与平面a的关系推理正确的是（）

A..Ael,A&a,B€l,B6a=/ua

B.A&a,A&p,Bea,BC夕=an/?=ZB

C.Ia,AelnACa

D.A&I,/ua=4ea

11.某校为更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、创新素质类、兴趣爱好类三种类

型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校6000名学生的选课情况进行了统计,

如图①，并用分层抽样的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图②.

f满意率％

兴趣爱

类35%

学科拓创新素兴趣爱校本课程

展类质类好类

②

则下列说法正确的是（）

A.抽取的样本容量为6000

B.该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为1050

C.若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为36,则a=70

D.该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1500

12.下列四个命题中错误的是()

A.若事件4B相互独立,则满足P(AB)=P(A)P(B)

B.若事件4,B,C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

C.若事件4B,C彼此互斥，则P(4)+P(B)+P(C)=1

D.若事件4B满足P(4)+P(B)=1,则4B是对立事件

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.一组数1、2、4、5、6、6、7、8、9的75%分位数为.

14.已知事件4B互斥，且事件4发生的概率P(4)=%事件B发生的P(B)=：,则事件4

8都不发生的概率是.

15.已知轮船4在灯塔B的北偏东45。方向上，轮船C在灯塔B的南偏西15。方向上，且轮船4

C与灯塔B之间的距离分别是10千米和10/甘千米，则轮船4C之间的距离是.

16.如图，三棱锥P-4BC的底面4BC的斜二测直观图为△Y'

C/

A'B'C,已知PB1底面ABC,PB=y/~5,A'D'=D'C,A'O'=/\/

0缶'=。'。'=1,则三棱锥P-4BC外接球的体积V=.Yp'

B'/O'_?

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

若心b,，是同一平面内的三个向量，其中五=(3,—1).

(1)若=2V10,且益〃房求，的坐标;

(2)若向=3且五+2沾23-1垂直，求江与石的夹角仇

18.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P—4BCD的底面4BCD为菱形，PB=PD,E,F分别为4B和PD的中点.

(1)求证：EF//^PBC-,

(2)求证：平面PBD1平面P4C.

p

19.(本小题12.0分)

郴州市某高中学校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共

分成五组：第1组［75,80),第2组［80,85),第3组［85,90),第4组［90,95),第5组［95,100),得

到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分

的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.

▲挣率

0.07'^--,~

0.()6-----------------------------

().05■

0.()4-------------------------------------

0.03-

0.02---------------------------------------------

0.01--1-------

7580859095100分数

(I)根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；

(H)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人,

那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

20.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P—2BCC中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面4BCD,AB=BC=1AD,

/.BAD=/.ABC=90°,E为4。的中点.

(1)证明：PE1AB；

(2)若4PAD面积为，与，求点。到面PAC的距离.

21.(本小题12.0分)

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已

投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为土乙每次投篮投中的概率为:，且各次投篮

互不影响.

(1)求甲获胜的概率；

(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

22.(本小题12.0分)

已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且-sinC=(sinB-sinC).

(1)求角4

(2)从两个条件：①a=3；②△ABC的面积为中任选一个作为已知条件，求AABC周长

的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

1_IT_11.

【解析】解:1

1+i-(l+O(l-i)-22

.••复数+的虚部是T

故选:B.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：d=(2,1),b=(3,m)，alb，

•••2x3+lxm=0,解得nt——6.

故选：A.

根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由题意得故异面直线EF与BD所成角即为NDB4,

而^DB4是等边三角形，故NOB&=60°.

故选：B.

由异面直线所成角的概念求解.

本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：某圆锥的高为3,底面半径为。，

则该圆锥的侧面积为：

S=兀xV_2xV32+2=V227r.

故选：A.

利用圆锥侧面积公式直接求解.

本题考查圆锥的结构特征、圆锥侧面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由题意得。="冶，

所以由肃=焉，得0=鬻=3，

故选:B.

利用正弦定理求解.

本题考查了正弦定理的应用，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：因为直观图的面积为S'=22=4,

所以原四边形4BCD的面积为S=2，^S'=2/7X4=8，N.

故选：D.

根据直观图的面积与原图形的面积比为1：2，N,计算即可.

本题考查了平面直观图的面积计算问题，是基础题.

7.【答案】B

【解析】解：现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的

人数为50xa为=15.

故选：B.

根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解.

本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：由图可知有0根阳线的有一卦，1根阳线的有三卦，2根阳线的有三卦，3根阳线的有

一卦，

记1根阳线的分别为a、b、c,2根阳线的分别为4B,C,3根阳线的为3,

从八卦中任取两卦，一共有竽=28种，

其中满足阳线之和为4的有(a,3),(43),(c,3),(4B),(4,C),共6种,

故两卦中阳线之和为4的概率P=白=也

2814

故选：B.

首先得到0根阳线的有一卦，1根阳线的有三卦，2根阳线的有三卦，3根阳线的有一卦，再求出基

本事件总数，与满足条件的事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得.

本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.

9.【答案】AC

【解析】解：由公理三及其推论知：

不共线的三点确定一个平面；

两条平行线确定一个平面；

一条直线与这条直线外一点确定一个平面；

两条相交直线确定一个平面.

故四个选项中4C不正确，

故选：AC.

利用公理三及其推论进行判断.

本题考查确定一个平面的条件的应用，是基础题.解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理

运用.

10.【答案】ABD

【解析】解：对于4：由于B&l,则

由于4ea,Bea,贝iJZBua,故/ua,故A正确；

对于8：由于A6a,BGa,则ABua,由于460,Be/7,贝ijABu/7,即an£=4B,故8正

确；

对于C：当直线1和平面a相交，且只有一个交点，即点4故Aea,故C错误；

对于Ael,lua=46a,故。正确；

故选：ABD.

直接利用点、直线、平面的定义和性质的应用判定4、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：点和直线及平面的关系，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基

础题.

11.【答案】BD

【解析】解：抽取的样本容量为6000x2%=120,故A错误；

该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为6000x35%x50%=1050,故8正确；

根据题意，创新素质类课程的满意率为―羽v=75%,a=75,故C错误；

OUUUX4U7oXZvb

该校学生中选择学科拓展类课程的人数为6000x25%=1500,故。正确.

故选：BD.

根据分层抽样的比例可确定样本容量，从而判断选项4根据饼状图和柱状图即可判断BCD.

本题考查根据统计图表获取信息，属于基础题.

12.【答案】BCD

【解析】解：若事件48相互独立，则满足P(48)=P(4)P(8),4说法正确；

举例说明：投掷两个骰子，记事件4第一个骰子的点数为奇数，

事件B：第二个骰子点数为奇数，

事件C：两个骰子的点数之和为奇数，

于是有PQ4)=P(B)=P(C)=5，P(AB)=P(BC)=PQ4C)=P(ABC)=0,可以看出事件4

B,C两两独立，但4B,C不互相独立，所以P(48C)KP(4)P(B)P(C),B说法错误；

举例说明：投掷一个骰子三次，记事件4第一次骰子的点数为1,

事件B：第二次骰子点数为2,

事件C：第三次骰子点数为3,

则PQ4)=P(B)=P(C)=j

事件4B,C彼此互斥,则P(4)+P(B)+P(C)力1,C说法错误；

举例说明：记事件4投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，

事件B：投掷一枚硬币，正面朝上，

则P(4)=P(B)=g,满足「(4)+「(8)=1,但48不是对立事件，

。说法错误.

故选：BCD.

4选项，事件A，B相互独立，则满足P(AB)=PQ4)P(B)；BCD可举出反例，说法错误.

本题考查了相互独立事件、互斥事件、对立事件概率相关知识，属于基础题.

13.【答案】7

【解析】解：9x75%=6.75,

所以75%分位数为第7个数，

故答案为：7.

由百分位数的定义直接求解.

本题考查百分位数的概念，是基础题.

14.【答案】苏

【解析】解：•••事件4B都不发生的对立事件是事件4与B至少有一个发生，

又•.•事件4、B互斥，且事件4发生的概率PQ4)=%事件B发生的P(8)=当，

•••P(丽=1-P(4uB)=1-(；+》=系

故答案为：---

根据已知条件，结合互斥事件的概率加法公式，以及对立事件概率和为1,即可求解.

本题主要考查互斥事件的概率加法公式，以及对立事件概率和为1,属于基础题.

15.【答案】10-7千米

【解析】解：由题意可知Z4BC=135°+15°=150°,

在^ABC中,由余弦定理可得4c=VAB2+BC2-2ACxBCcos^ABC=

J100+300-2x10x10/^x=10y/~7-

故答案为：10，万千米.

由题意可知4ABe的大小，再由余弦定理可得/C的值.

本题考查余弦定理的应用，属于基础题.

16.【答案】等兀

O

【解析】解：由题意得且O'D'=\B'C,所以由斜二测画法得,在原图△ABC中，N4BC=

^,AB=2,BC=4,

所以三棱锥P-4BC外接球的半径,_JAB2+BC2+PB2_5,贝亚=引f3=等

I-Z-T3O

先由斜二测画法得乙4BC=*再结合PBJ■底面ZBC求出外接球半径，即可求解.

本题考查了三棱锥外接球的体积计算，属于中档题.

17.【答案】解：设,=(x,y),

va//c,a=(3,-1),

•••x+3y=0①，

VIcI=2<TO,

尤2+y2=40(2),

联立①②，解得忧目或修工6,

.•.c=(6,-2)^c=(-6,2).

(2)•••/+2］与2五一1垂直,

•••(a+2h)-(2a-6)=0.即2片+3五不一2才=0,

又I弓I=V10>Ib|=

・••方•b=-5，

|a|­|K\cos0=ATIOxcos。=-5.

・•・cos9=—1,

又eG[0,n]f

：,e—Ti.

【解析】(1)设王=(与y),则由到"可得%+3y=0,再由|4=2710,得/+y2=4o,解方程

组可求出％,y,从而可求出的坐标；

(2)由五+2另与2五一3垂直，可得0+2石)・(21一区)=0化简可求得五不=一5,从而得cos。=-1,

进而可求出。

本题主要考查向量平行，垂直的性质，以及向量的数量积公式，属于中档题.

18.【答案】证明：(1)取PC的中点G,

•••F是PD的中点，

：.FG//CD,且FG=Q,

又•••底面ABCD是菱形，E是力B中点，

-1

:.BE"CD,且BE=、CD,

•••BE//FG,且BE=FG,

二四边形BEFG是平行四边形，

EF//BG,

又EFC平面P8C,BGu平面PBC,

•••£77/平面PBC；

(2)设4CnBD=0,则。是BD中点，

♦.•底面力BCD是菱形，

•••BD1AC,

又•；PB=PD,。是BD中点，

•••BD1PO,

又ACCPO=O,ZCu平面PAC,POu平面PAC,

BD1平面PAC,

•••BDu平面PBD,

.,・平面PBD1平面PAC.

【解析】⑴只需证明四边形BEFG是平行四边形，即可得到“〃BG,由此得证;

(2)只需证明8。J_平面P4C,再利用面面垂直的判定可得出结论.

本题考查线面平行及面面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题.

19.【答案】解：(I)第一组的频率为0.05,第二组的频率为0.35,第三组的频率为0.30,第四组

的频率为0.20,第五组的频率为0.10,

所以中位数在第三组，不妨设为X,贝-85)x0.06=0.5-0.05-0.35,解得x=85+在等，

平均数为77.5x0.05+82.5x0.35+87.5X0.3+92.5x0.2+97.5x0.1=87.25；

(II)根据题意，“良好”的学生有40x0.4=16人，“优秀”的学生有40x0.6=24人，

所以，由分层抽样得“良好”的学生有5x^=2人，“优秀”的学生有5x年=3人，

将三名优秀学生分别记为4B,C,两名良好的学生分别记为a,b,

则这5人中选2人的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10种，

其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb共9种，

所以至少有一人是“优秀”的概率是P=养

【解析】(I)根据中位数和平均数的定义计算即可；

(H)用列举法列出5人中选2人的基本事件和至少有一人是“优秀”的基本事件，利用古典概型公

式计算即可.

本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

20.【答案】证明：（1）四棱锥P—中，侧面P4C为等边三角形且垂直于底面4BCD,

在等边三角形PAD中，E为4。的中点，所以PE14。，

•••面PADJ■面ABCD,而PADC面4BCD=AD,PE1面4BCD,

vABu面力BCD,二PE1AB；

解：（2）••・△PAD面积为C，;AD=2,PE=

1

•・,AB=BC—乙BAD=4ABC=90°,:.AB=BC=1,

在△P4C中，PA=2fAC=PC=2,

所以S“〃c=；xACx?=：xCx?

1

S&ACD=2X4。XAB—1,

设点。到面P4C的距离为h,则=：xShACDxPE="xS^PACxh,

h=守，即点。至U面P4c的距离为纪巨.

77

【解析】(1)由平面PAD，平血NBCD,根据面面垂直性质定理证明PE，平面2BCD,由此证明PE1

4B；(2)根据锥体体积公式结合等体积法求点。到面P2C的距离.

本题考查了线线垂直的证明和点到平面的距离，属于中档题.

21.【答案】解：设4，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，

则P(4)=g,P®)=：,(fc=1,2,3).

(1)记“甲获胜”为事件C,

则P(C)=P(4)+PQ4/1AD+P(A1B1A2B2A3)=P(/Q+P(4)P(BI)P(42)+P(&)P(Bi)•

P(12)P血)P(%)=|+|x|x|+(|)2x©)2x|=§.

(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D,

则P(0=pQiAK%)+P(Z瓦屋下甸=P0)P底)P(12)P(B2)+P0)P欣)•

2