2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）44

试卷第1页，共SECTIONPAGES1页2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）44姓名：___________班级：___________一．单选题1．【2022-浙江卷数学高考真题】已知（为虚数单位），则（）A. B. C. D.2．【2021-天津卷】已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不允分也不必要条件3．【2021-天津卷】设集合，则（）A. B. C. D.4．【2022-全国甲卷数学高考真题】函数在区间的图象大致为（）A. B.C. D.5．【2023-新课标全国Ⅰ卷真题】已知向量，若，则（）A. B.C. D.6．【2023-天津卷数学真题】调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（）A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是7．【2022-全国甲卷数学高考真题】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）A. B. C. D.8．【2022-北京数学高考真题】在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.二．多选题9．【2021-全国新高II卷】下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（）A.样本的标准差 B.样本的中位数C.样本的极差 D.样本的平均数10．【2021-全国新高II卷】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切11．【2021-新高考Ⅰ卷】已知点在圆上，点、，则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时，D.当最大时，三．填空题12．【2021-新高考Ⅰ卷】已知函数是偶函数，则______.13．【2023-新课标全国Ⅰ卷真题】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．14．【2021-浙江卷】袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________.四．解答题15．【2022-全国甲卷数学高考真题】记为数列的前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值．16．【2022-天津数学高考真题】直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面所成二面角的余弦值．17．【2021-全国新高II卷】记是公差不为0等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．18．【2021-全国新高II卷】已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．19．【2022-北京数学高考真题】已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；（3）若为连续可表数列，且，求证：．答案第1页，共SECTIONPAGES1页2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）44【参考答案】1．答案:B解析：，而为实数，故，故选：B.2．答案:A解析：由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．答案:C解析：，，.故选：C.4．答案:A解析：详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.5．答案:D解析：因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．6．答案:C解析：根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误故选：C7．答案:A解析：解：，设，则，则，故，又，则，所以，即，所以椭圆的离心率.故选：A.8．答案:D解析：解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D9．答案:AC解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10．答案:ABD解析：圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.11．答案:ACD解析：圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线与半径为圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.12．答案:1解析：因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：113．答案:解析：因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，故答案为：.14．答案:(1).1(2).解析：，所以，,所以,则．由于．故答案为：1；．15．答案:（1）证明见解析；（2）．解析：（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1详解】解：因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．16．答案:（1）证明见解析（2）（3）解析：（2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值；（3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.【小问2详解】解：，，，设平面的法向量为，则，取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.【小问3详解】解：，，设平面的法向量为，则，取，可得，则，因此，平面与平面夹角的余弦值为.17．答案:(1)；(2)7.解析：(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18．答案:（1）；（2）证明见解析.解析：（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，又，所以椭圆方程为；（2）由（1）得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；当直线的斜率存在时，设，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线即，由直线与曲线相切可得，解得，联立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：设直线即，由直线与曲线相切可得，所以，联立可得，所以，所以，化简得，所以，所以或，所以直线或，所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.19．答案:（1）是连续可表数列；不是连续可表数列．（2）证明见解析．（3）证明见解析．解析：（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；（3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可．小问1详解】，，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．【小问2详解】若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；当时,数列，满足，，，，，，，，．【小问3详解】，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，若，则至多可表个数，矛盾,从而若,则，至多可表个数，而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为，则所有数之和，，，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，（仅一种方式），与2相邻，若不在两端,则形式，若，则（有2种结果相同，方式矛盾），，同理，故在一端，不妨为形式，