旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第八章立体几何第7讲立体几何中的向量方法

第7讲立体几何中的向量方法

考础知以整恒I

□知识梳理

1.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量

直线/上的向量e或与e回共线的向量叫做直线1的方向向量,显然一条直线的方向向

量有画无数个.

(2)平面的法向量

如果表示向量〃的有向线段所在直线四垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面。，

记作A_L。，此时向量〃叫做平面a的法向量.

显然一个平面的法向量也有画无数个,且它们是画共线向量.

(3)设直线加的方向向量分别为a,b,平面a,£的法向量分别为〃，%则

1//%=画a〃抉n画a=>⅛,4£R；

1±冰=圆a-L加•8=0；

1//O=四aL小o[∏la∙U=0；

7±。。圜&〃晔＞回4=4〃，4WR；

a//£=回〃〃pu>回U=4片4GR；

q£=ELF≠»回u•。=0.

2.空间向量与空间角的关系

(1)两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a"的方向向量分别为a,A其夹角为则cosO=ICOS0I=圜:L

(其中0为异面直线a,6所成的角，范围是(θ,ʌ].

(2)直线与平面所成角的求法

如图所示，设直线，的方向向量为e,平面a的法向量为〃，直线？与平面a所成的

角为。，两向量e与Z?的夹角为夕，则有sinΦ=∖cos0\=园Φ的取值范围是

-登Ie∣：

π

0,

2

(3)求二面角的大小

如图①，/反切是二面角。一/一万的两个半平面内与棱/垂直的直线，则二面角的大

小J=El〈福6.

如图②③，nl,m分别是二面角。一/—£的两个半平面%£的法向量，则二面角的

大小0满足COS0=COS<Z71,Zh>或一COS<Λ∣,Λ>),取值范围是[0,ɜl].

3.求空间的距离

(1)点到平面的距离

如图，设46为平面a的一条斜线段，A为平面a的法向量，则点6到平面a的距离

_I丽.4|

"=≡⅛L∙

(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.

知识拓展

直线的方向向量的确定：,是空间一直线，A,8是/上任意两点，则4?及与48平行的非

零向量均为直线1的方向向量.

□双基自测

1.平面a的一个法向量为(1,2,0),平面β的一个法向量为(2,—1,0),则平面a与

平面β的位置关系是()

A.平行B.相交但不垂直

C.垂直D.重合

答案C

解析由(1,2,0)•(2,-l,0)=l×2+2×(-1)+0X0=0,知两平面的法向量互相垂

直，所以两平面互相垂直.

2.已知4(1,0,0),8(0,1,0),C(0,0,1),则平面4比1的一个单位法向量是()

答案D

—►—►

解析AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),设平面4?。的法向量〃=(x,y,z),/.

f-x+y=0,n

).令x=l,则y=1,z=l,：.n=(1,1,1).单位法向量为±「=

(-x+z=o.

+心也因

3,3,3/

3.如图所示，在正方体力及力一〃中，棱长为aMN分别为4〃和力。上的点，AJf

=44华，则版与平面〃C的位置关系是()

O

A.相交

B.平行

C.垂直

D.J邠在平面版Gc1内

答案B

―►―►—A-►I―►―►ɪ―►ɪ—►―►―►ɪ―►—►2-►ɪ

解析也V=,皿+44+4V=W阴+4∕+φ4C=w(54—56)+βiβ+~(Aβ+AD)=WRB+R

—►—►—►-►

BC,：.MN,BB共面.又网4平面做GC,二版V〃平面做GC

4.(2022•长春模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A^CxDx中，。是底面ABCD

的中心，E,£分别是CG,的中点,.那么异面直线施与9所成角的余弦值为()

¾----7P>

4ZA

,[卢O犷FCI

4LIi

ʌ-f√15

答案B

解析建立如图所示的空间直角坐标系，则0(1,1,0),£(0,2,1),元1,0,0),2(0,0,2),

FMOE1+0+2隼.故选

Λ∕¾=(-l,0,2),0E={~∖,1,1).Λcos〈FD\,OE)

□

B.

5.(2021•郑州模拟)如图，已知矩形/腼所在平面外一点P,Λ4±5FffiABCD,E,b分

别是妆/个的中点.若/物=45°,则跖与平面/以力所成的角的大小是()

Λ.90oB.60°

C.45oD.30°

答案C

解析设4Qa,AB=b,因为/物=45°,必_1_平面四微所以必_L/〃，PA=Aga.

以点力为坐标原点，AB,AD,所在直线为X,y,Z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,0,0),AO,0,a),∕∣,0,0],baa

2,2,2

所以a'=(θ,会习.易知4—(0,0,a)是平面4?5的一个法向量.设"与平面4¾力所成的

f—∖AP∙FF∖∖fi

角为θ,则Sin9=ICe)S{AP,EP)I=:一二一=为二所以。=45°.

∖AP∖∖EF∖

6.(2021•临汾一中模拟)在空间直角坐标系圆彩中，平面面6的一个法向量为〃=(2,

-2,1),已知点P(-l,3,2),则点尸到平面的8的距离d等于()

A.4B.2

C.3D.1

答案B

解析由己知得平面043的一条斜线的方向向量阵(一1,3,2),所以点尸到平面《48

0P∙n∖|一2一6+2|

的距离OM明∙∣cos{0P,n)2.故选B.

∣Λ∣-√27+―-2-+1

核心考向突破I

考向一利用空间向量证明平行、垂直

例1(2021•安徽蚌埠模拟)如图，在多面体四C—48G中，四边形能是正方形,

AB=AC,BC=-^2AB,BlG^βC,44J_平面4?C求证:

(1)48」平面AAiCi

(2)45〃平面A1GC.

证明平面4始,

：.AAxLAB,AAiLAC.

又AB=AC,Be=/AB,

二/06=90°,g∣JACLAB,

：.AB,AC,/4两两互相垂直.

建立如图所示的空间直角坐标系∕xyz,设力6=2,则/1(0,0,0),5(0,2,2),4(0,0,2),

C(2,0,0),G(1,1,2).

—►—►—>

(1)4氏=(0,2,0),AiA=(0,0,-2),AC=(2,0,0),设平面加。的法向量〃=(x,%

z),

则n∙AiA=O9—2z=0,x=0,

J.即即

2x=0,z=0.

Lz?∙AC=O,

取y=l,则n=(0,1,0).

・・.45=2〃，即43〃〃.

・・・4区_1_平面AAC.

(2)49ι=(0,2,2),4G=(1,1,0),40=(2,0,—2),设平面4GC的法向量团=(Xι,%,

Zl),

m∙AiCi=Off^l+∕l=0,

则一即

[2小一2zι=0,

1卬•4。=0,

令xι=l,则a=-1,Zi=I,即平面4G。的一个法向量为皿=(1,—1,1).

:∙AB∖・zzz=0×l+2×(-l)+2×l=0,

—►

：.ABxLm.又留。平面AiGC,

仍〃平面A1GC.

触类旁通

1.利用向量法证平行问题的类型及常用方法

线线平行证明两直线的方向向量共线

①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；

线面

②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；

平行

③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示

①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)；

面面平行

②转化为线面平行、线线平行问题

2.利用向量法证垂直问题的类型及常用方法

线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零

证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为

线面垂直

证明线线垂直

面面垂直证明两个平面的法向量垂宜，或利用面面垂宜的判定定理转化为证明线面垂直

即时训练1.如图所示，在直三棱柱/I8C—45G中，侧面A44C和侧面4486都是正

方形且互相垂直，材为14的中点，"为8G的中点.求证：

⑴助V〃平面484；

⑵平面MBC↑_L平面即GC

证明由题意知/4,AB,ZIC两两垂直，以/为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标

不妨设正方形加CC的边长为2,则4(0,0,0),4(2,0,0),8(0,2,0),A⑵2,0),<7(0,

0,2),G(2,0,2),Ml,0,0),Λ,(l,1,1).

(1)因为几何体是直三棱柱，所以侧棱/4,底面4BC.

-A-A

因为Mi=(2,0,0),助V=(0,1,1),

―►—►―►—►

所以朗V∙Λ4∣=0,即就V_LAAi.

因为助W平面ABC,

所以,即〃平面

(2)设平面MBCI与平面∙δSGC的法向量分别为n>=(ɪi,%,Zl),Zt=(如y2,z2).

—►—►

因为防=(一1,2,0),力£=(1,0,2),

Λ∣∙MB=Q,[―xι+2yι=0,

f[xι+2zι=0,

n↑MCi=O

{∙9

令小=2,则平面,肠％的一个法向量为〃1=(2,1,-1).

同理可得平面防CC的一个法向量为m=(0,1,1).

因为n∙∏2=2×0+lX1+(―1)Xl=O,

所以所以平面必6U平面被GC

精准设计考向，多角度探究突破

考向二利用空间向量求空间角

角度1求异面直线所成的角

例2（2021•安徽合肥第一次质检）如图，在边长为1的菱形/腼中，ZDAS=GOo,

沿被将△力勿翻折，得到三棱锥力一6勿，则当三棱锥/1一腼的体积最大时，异面直线/1〃

与园所成角的余弦值为（）

答案D

解析当三棱锥/一版的体积最大时，平面血后，平面劭G：在边长为1的菱形18G9

中，ZW=60o,：.Bg\,取如的中点0,

连接40,0C,则40J_平面皮心。灶平面4»,以。为坐标原点，OB,0C,的所在直线

分别为小y,Z轴，建立空间直角坐标系，则（一；，0,0）,/（θ,0,初，七，0,0

1

C（θ,乎,θ）,^4Z>=f-ɪ,O,√,3O

-2设异面直线/〃与比■所成的角为

2,

一一1

9,则CoS0=」名?=S=],即异面直线/〃与比所成角的余弦值制，故选D.

触类旁通.

1.求异面直线所成角的思路

（1）选好基底或建立空间直角坐标系.

(2)求出两直线的方向向量v↑,v2.

(3)代入公式ICoS〈M，GI=--；%求解.

KiIIP21

2.两异面直线所成角的关注点

两异面直线所成角的范围是Je(θ,ʌ,两向量的夹角a的范围是［0,贝］,当异面

直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，该角就是异面直线的夹角；当异面直线的方向向量

的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.

即时训练2.在直三棱柱/式」464中，JC=3,BC=3<,J5=3√2,TU=4,则异面

直线4C与8G所成角的余弦值为.

冰心lθ

合案25

解析因为4C=3,BC=3,∕8=3√i所以/4曲为直角，又％」平面/比；则。，CB,

CG两两垂直，以C点为坐标原点，

以。，CB,CG所在直线分别为X轴、y轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

C(0,0,0),a(0,0,4),4(3,0,4),6(0,3,0),所以4C=(-3,0,-4),BCi=(0,-3,4),

4C∙附〔∣-4×4∣16

设异面直线4C与8G所成的角为，，则COs，=

√9+16×√9+1625'

IAd∣5G∣

角度2求直线与平面所成的角

例3(2022•山西朔州高三摸底考试)如图，组合体由半个圆锥S-O和一个三棱锥S-

/切构成，其中。是圆锥S一。底面圆心，8是圆弧一点，满足/8%是锐角，AC=CD=

DA=2.

(1)在平面相8内过点6作鳍〃平面SCP交必于点P,并写出作图步骤，但不要求证明;

(2)在(1)中，若一是弘的中点，且sg√5,求直线外与平面S4〃所成角的正弦值.

解⑴①延长/8交加的延长线于点。；②连接SQ③过点6作"〃QS交融于点汽

(2)若夕是夕!的中点，则8是力0的中点，

连接龙，则/_1阳，所以α=Ca

又AC=CD=DA,所以是等边三角形，所以N4浙60°,从而NHIC=30°.

连接如，依题意可得OC,0D,OS两两垂直，以0C,0D,OS所在直线分别为%y,z轴

建立空间直角坐标系，如图，

则｛(一1,0,0),〃(0,√3,0),S(0,0,√3),

从而4g(l,√3,0),/S=(1,0,√3),

HT，承明

设平面必〃的法向量为〃=(x,y,z),

x+yβz=09

即彳

^x+y∣3y=0f

取x=√5,得平面必〃的一个法向量为刀=(√5,-1,-1).

设直线"与平面夕1〃所成的角为8,

贝!∣sinJ=ICOS〈〃，BP)=----二-

∖n∖∖BP∖

∣-2√3∣

√3+ι+ι×ʌ/i+1+!

2√32√6

=偈＜5，

所以直线在与平面必〃所成角的正弦值为芈.

ɔ

触类旁通J利用向量法求线面角的方法

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角

(或其补角).

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余

角就是斜线与平面所成的角.

提醒：在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则在垂线上取两个点可构成一个法

向量.

即时训练3.如图，已知三棱柱47C-48G,平面4/CGj_平面仍7,N4BC=90°,

N的0=30°,AA=A1C=AC,E,尸分别是4C,/山的中点.

(1)证明：EFLBC-,

(2)求直线项与平面4%所成角的余弦值.

解解法一：(1)证明：连接

因为4∕=4C,£是4C的中点，

所以4反L/C

又因为平面AλACCχ_1_平面ABC,4Zfc平面4/CG,平面AλACQ∩平面ABC=AC,

所以4&L平面48C

如图1,以点£为坐标原点，射线比；分别为y,Z轴的正半轴，建立如图所示的空

间直角坐标系Exyz.

不妨设然=4,则Æ(O,0,0),A1(0,0,2√3),79(√3,l,0),β(√3,3,2√3),佶，1

(7(0,2,0).

因此，菰偿，2m),

BC=(一木,1,0).

由防•比'=0,得EFLBC

-►-►_

(2)由(1)可得比三(一√5,1,0),4G=(0,2,-2√3).

设平面48。的法向量为n=(x,y,Z).

z^―►

BC∙n=09­Λ∕3^+y=0,

由V得

l—►.y-yβz=O.

JC∙A=0,

¾∕7=(1,√3,1),

设直线用与平面4%所成的角为0,

—►

fEF∙n4

故SinJ=ICOS(EF,〃〉|=-------=F

-5

∖EF∖∣∕7∣

3

所以cose=m

5

因此，直线£尸与平面4%所成角的余弦值是m

解法二：(1)证明：如图2,连接

因为∕M=4G6是HC的中点，所以4日LAC

又因为平面41d1■平面4%,4比平面447G,

平面AxACCx∩平面ABC=AC1

所以4日L平面则4日！比：

又因为4尸〃4RN力比，90°,故比

又因为4£G4尸=4,AE4足平面4朋

所以比」平面A∖EF.

因为必已平面4£五，所以跖18C

®2

⑵如图2,取比的中点G,连接班,GF,则四边形砌乱是平行四边形.

由于4£1平面46C,故4£1房，

所以平行四边形仇;∕⅞为矩形.

由（1）,得比LL平面∙β（M4∣,所以平面48CJ_平面发力%,

所以旗在平面4笈上的射影在直线4G上.

连接4G交EF于点、0,则/EOG是直线旗与平面4a'所成的角（或其补角）.

不妨设AC=4,

则在Rt跖中，4£=2小，EG=木.

由于。为4G的中点，故切=OC=竽=芈，

E6+0^-E43

所以COS/EOG=2E0∙OG=M.

3

因此直线£户与平面4%所成角的余弦值是m

角度3求二面角

例4（2020•全国In卷）如图，在长方体4故145G〃中，点£,尸分别在棱加，BBy

上，J≡LIDE=EDx,BF=2FR.

（1）证明：点G在平面4破内；

（2）若4?=2,AD=I,/4=3,求二面角4一如一4的正弦值.

解（1）证明：在棱CG上取点G,

使得GG=%G,连接〃G,FG,ClE,CF,

∙.∙GG=(CG,BF=2FB∖,

22

・・・CG=-CCx=qBB∖=BF旦CG//BF,

ɔɔ

...四边形比冲为平行四边形，

：.BC〃GFABC=GF,

又在长方体力比®一4台G”中，AD〃BC艮AD=Ba

：.AD〃GF旦AD=GF.

二四边形4⅛∕为平行四边形.

：.AFHDG宣AF=DG.

同理可证四边形应’GG为平行四边形，

二CxE//DG^LC∖E=DG,

.∙.G"4Λ'且G£=/£则四边形力£6尸为平行四边形，因此点G在平面力项内.

(2)以点G为坐标原点，CD,CB,GC所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立如图所示

的空间直角坐标系Gxyz,

则4(2,1,3),4(2,1,0),£(2,0,2),F(0,1,1),AE=(0,-1,-1),AF=(-2,0,

一2),AxE=(0,-1,2),ΛΛ=(-2,0,1),

设平面力用'的法向量为H=(为，y∣,Zi),

m∙AE=O9-ʃɪ-zι=O,

得’

由1—►[—2汨—2Zl=0,

∙AF=Q,

取Zl=-1,得xι=%=L则m=(1,1,-1).

设平面4用的法向量为A=(X2,%,Zi),

n∙A∖E=Q,-%+2Z2=0,

3.得

-2A2÷∑2=0,

Iz?∙AxF=Q,

取Z2=2,得照=1,j2=4,则〃=(1,4,2).

1.2P*n3S

COS\227»∩)=i=-F-1=„.

Sn√3×√217

设二面角力一*4的平面角为θ,

、斤I---------：—Λ∕⅛2

则ICoSeI=∖-,Λsinθ=γ∣l~cos^

Λ∕∑2

因此，二面角O-4的正弦值为号.

触类旁通］利用向量法确定二面角大小的常用方法

(D找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的

法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起

点的两个向量，则这两个向量夹角的大小就是二面角的大小.

即时训练4.(2021•北京高考)已知正方体4%A43G。，点K为4〃的中点，直

线5G交平面仪应于点F.

(1)证明：点尸为5G的中点;

(2)若点"为棱4笈上一点，且二面角.hCF一£的余弦值为厚，求镖的值.

O/IiDi

解(1)证明：如图所示，取旦G的中点户'，连接应，EF,FC,

由于4AG〃为正方体，E,Fl分别为44,5G的中点，故环”//CD,

从而反U,C,〃四点共面，平面碗■即平面mW,

据此可得，直线氏G交平面颂'于点U,

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点尸与点U重合，即点尸为84的中点.

(2)以点。为坐标原点，DA,DC,如的方向分别为X轴、y轴、Z轴正方向，建立空间直

角坐标系Dxyz,

不妨设正方体的棱长为2,设六=∕(0≤4≤l),

则”(2,24,2),C(0,2,0),Al,2,2),Ml,0,2),

—►—►—►

从而加三(一2,2—24，-2),6F=(l,0,2),FE=0-2,0),

设平面她犷的法向量为ΛZ=(小，yi,z∣),

m∙JΛ7=-2x∣÷2—2Λyl-2z↑=0,

-

{m∙CF=Xl+2Zl=0,

当4=1时,E=Zi=O,令M=1,则卬=(0,1,0)；

当4Wl时，令Zl=-I可得〃=(2,J4,—1)，

设平面C所的法向量为A=(X2,%,z2),

n∙∕¾=-2^=0,

一

{n∙CF=x2+2z2=O,

令z2=-l可得n=(2,0,—1),

当卬=(0,1,0)时\m•/7=0,则Cc)S<2Z7,ri)=0,与题意不符;

当卬=(2,J.,11)时，m∙z?=5,m=∖5+(Jj，∣Λ∣=y∣5,

则cos5,n)

整理可得，（/一I）?=],故4=]/=|舍去）.

即黑的值为

A∖D∖Z

考向三利用空间向量求空间距离（选学）

例5如图，三棱柱48C-48C中，CGj_平面/8GAC=BC=^AAy,〃是棱/4的中点,

DCdBD.

（1）证明：DQLBC-,

⑵设加尸2,4台的中点为只求点尸到平面如G的距离.

解（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形.

由于〃为皿的中点，WDC=DG.

又由AC—^AA]可得〃¢+ZYi=Cd,

所以DCxVDC.

又因为DCaBD,DCCBgD,DC,B上平面BCD,

所以〃GL平面6以

因为此平面犯9,所以〃G_L8C

（2）由⑴知5CJ_〃G,且8。LS,DCiDCG=G,则6UL平面4CG4,所以G4,CB,CCx

两两垂直.

以C为坐标原点，。的方向为X轴正方向，G5的方向为y轴正方向，CG的方向为Z轴正

方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

由题意知庾0,1,0),2(1,0,1),G(0,0,2),5,(0,1,2),/ɑ,ɪ,2),

fffr11)

则吐(1,-1,1),〃G=(—1,0,1),阳=(一亍一]，o∣.

设0=(x,y,Z)是平面劭G的法向量，

—►

m∙BD=O9[χ-y+z=Of

贝IK即lC可取卬=(1,2,D.

∙〃G=0,

设点2到平面用居的距离为&

PC∖∙m∖ʌ/θ

则d=-

m4,

I触类旁通.求平面a外一点一到平面a的距离的步骤

(D求平面a的法向量〃;

(2)在平面。内取一点4确定向量身的坐标;

(3)代入公式d求解.

=".n"L

即时训练5.(2021•金昌模拟)如图，在多面体四的中，底面/腼是边长为2的

菱形，NBAg6Q°,四边形6幽'是矩形，平面眦尸J"平面/版，比‘=2,M为线段外的中

点.

E

(1)求,"到平面庞’。的距离及三棱锥,Q。於的体积；

(2)求证：〃归_平面

解⑴设“n加=0,以。为坐标原点，仍为X轴，比'为y轴，过。作平面/版的垂

线为Z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,√3,0),M-1,0,0),M-l,0,2),Mh0,1),

—>—>—>—►—>

DE=(0,0,2),DC=(1,√3,0),DM=(2,0,1),,：DE∙DC=O,：.DELDC,

∙*∙Snc况=~^)E∙DC=1义2X2=2,

设平面〃%的法向量A=(筋y,z),

∖n∙DE=2z=0f

叫→

Iz?∙DC=χ-∖-yβy=0,

取X=#,得n=(r∖β,—1,0),

—►

Inr-

・・・,"到平面瓦。的距离A---=π^==yβ9

㈤√3+lV

・・・三棱锥一建的体积

V='~^4CDt^力=§义2Xy∣3=-

-A-A

(2)证明：4(0,-√3,0),4C=(0,2√5,0),4£=(一1,√3,2),

-A-A-A-A

AC∙RIf=OfeZW=-2+2=0,

：.ACLDM,AELD弘

,：ACQAE=A,AC,45t平面力龙,

."匕平面ACE.

自主培优(十四)用向量法探究点的位置易出错

如图所示，在四棱锥夕一屈力中，平面∕⅛9"L平面加6»,PAVPD,PA=PD,ABVAl),AB

=1,47=2,AC=CD=yβ.

⑴求证：平面为反

(2)求直线阳与平面附9所成角的正弦值；

(3)在棱刃上是否存在点“，使得身"平面∕≡若存在，求出巧的值；若不存在，说

nr

明理由.

解(1)证明：因为平面∕¾9J■平面4%为，平面∕⅛9∩平面ABVAD,43t平面

ABCD,所以4?J_平面PAD,

又Ht平面以4所以四_L"

又因为用_L/»,PACAB=A,PA,4fc平面序8,所以如，平面月投

⑵取4〃的中点0,连接尸O,C0.

因为处=",所以总被

又因为Act:平面为〃，

平面阳。_L平面ABCD,平面PADQ平面ABCD=AD,

所以尸OJ_平面位加9.

因为CaU平面ABCD,

所以P0LC0.

因为〃'=微所以C0上月〃

如图建立空间直角坐标系Oxyz.

由题意得,由0,1,0),由1,1,0),C(2,0,0),P(0,-1,0),A0,0,1),PB=Ql,一

1),PC=G,0,-1),PD=(3-1,-1).

设平面板的法向量为/7=(x,y,z),

n∙PD=O,—y—z=0,

即

2x—Z=0.

LΛ∙∕7cι=o,

令z=2,则x=l,y=~2f所以〃=(1,—2,2).

又PB=(1,1,-1),

设直线处与平面”所成的角为明

—►

所以Sine=ICoS〈〃，PB)\=~~~^∙=乎，

∣Λ∣∖PB∖'

ʌ/ɜ

所以直线如与平面加9所成角的正弦值为华.

⑶设"是棱PA上一点，则存在^∈[0,1]使得4仁AAP.

因此点,“(0,1—4,4)，Blf=(―T,—λ,λ).

因为为施平面尸⑦，所以当且仅当砌•〃=()时∙，BM〃平面PCD,BP(-1,-Λfλ)•(1,

—2,2)=0,解得4=；.

所以在棱用上存在点M使得阴〃平面AS此时条/

/答题启示

对于点的探究型问题，要善于根据点的位置结合向量的有关定理灵活设出未知量，尽量

使未知量个数最少.

,对点训练

(2021•苏州模拟)如图1,在边长为4的菱形/86»中，ZBAD=QOQ,DELAB于点E,

将44⅛'沿Z½'折起到的位置，使如图2.

(1)求证：4EL平面8(%公

(2)求二面角£一46一C的余弦值；

EP

(3)判断在线段曲上是否存在一点只使得平面4%2平面4比？若存在，求出扁的值;

若不存在，说明理由.

解(1)证明：'：DELBE,BE//DC,

：.DEVDC.

又A∖DLDC,ADCDE=D,AlD,龙化平面4%平面4%

：4尺平面AiDE,：.DCYAyE.

又A∖ELDE,DCCDE=D,DC,DEU平面BCDE,

二4反L平面BCDE.

(2)虹平面比圾DELBE,：.以EB,ED,创所在直线分别为“轴、y轴、Z轴，建

立空间直角坐标系.

易知应=24，则4(0,0,2),8(2,0,0),C(4,2√3,0),ZX0,2√3,0),

―►-►

物产(一2,0,2),BC=(2,24,0),

平面4跖的一个法向量为n=(0,1,0).

设平面48C的法向量为m=(x,y,z),

—2x+2Z=0,

由物】∙R=0,BC•227=0,得，

2χ-∖-2y∣3y=0.

令y=l,得平面4%的一个法向量为"=(—4,1,—ʌ/ɜ),

•/∖m∙n1币

•∙COS∖2Z7,12/——r——.

mn√7×17π

由图，得二面角£一48一C为钝二面角，

.∙.二面角《一48—C的余弦值为一半.

(3)假设在线段用上存在一点只使得平面L平面AxBC.设At,0,0)(0≤t≤2),则

AlP=(t,0,-2),Λ∕)=(0,2√3,-2),

设平面4ZF的法向量为0=(为，yl,z∣),

A∖D∙p=0,2yf3y↑—2zι—0,

山《得＜

S矛L2zι=0.

、AiP∙P=O9

令x∣=2,得p=(2,痘

：平面L平面AyBC,

."./D∙p=0,即2yβ-东+yβt=O,解得t=-3.

V0≤f≤2,，在线段破上不存在点R使得平面4〃RJL平面4%

课时作业I

1.直线/的方向向量a=(l,-3,5),平面α的一个法向量A=(—1,3,—5),则有()

A.1//Q

B.71a

c./与。相交但不垂直

D.IUa或U/a

答案B

解析因为a=(l,—3,5),〃=(—1,3,—5),所以a=一〃，a〃乙所以/_L平面a.

故选B.

2.已知两平面的法向量分别为E=(0,1,0),A=(0,1,1),则两平面所成的二面角为

()

A.45oB.135°

C.45°或135°D.90°

答案C

解析Tcos(m,ri)――~=乎,：.〈血n)=45°....二面角为45°或135°.

RAq22

故选C.

3.(2021•云南玉溪模拟)如图所示，已知正方体/83/1由G4中，E,尸分别是上底面

454〃和侧面力加4的中心，则)与必所成的角是()

A.60oB.45°

C.30oD.135°

答案B

解析以〃为原点，射线的，DC,如分别为X轴、y轴、Z轴的非负半轴建立如图所示

的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,

11

0,ZT=(OJO),

2,2/

/'/"∙DC72

Λcos{EF,DOl=------------=-4-,.,.{EF,DO=135o,二£77与必所成的角是45°.

——2

∖EF∖∖DC∖

故选B.

4.（2022•大庆模拟）如图，在正四棱柱/1故—45G〃中，AB=2,BB∖=4,则直线仍

与平面4曲所成角的正弦值为（）

答案A

解析如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz.IjIlJ4(2,0,0),C(0,2,0),4(0,0,4),

-A-A-A

6(2,2,0),5i(2,2,4),AC=(-2,2,0),ADt=(-2,0,4),BBi=(0,0,4).设平面4口的法向

量为A=(x,y,z),

n∙AC=Q,—2x+2y=0,

则〈即ICl八取X=2,则尸2,Z=L故/7=⑵2,1)是

f1―2x+4z=0,

∙4fl=0,

平面/1勿的一个法向量，设直线能与平面力切所成的角是0,则sinO=Icos",BBG\

n∙BB∖__4__1

一—-3x4—3."又选A∙

∣Λ∣∖BBx∖

5.△/回的顶点分别为4(1,-1,2),8(5,-6,2),∏1,3,一1),则力。边上的高切

为()

A.5B.√41

C.4D.2√5

答案A

解析VJ(1,-1,2),8(5,-6,2),C(1,3,-1),：.AB=(4,一5,0),AC=(0,4,-

3).；点〃在直线4C上，设49=∕MC=(0,44,一34)，由此可得加=49-46=(0,44,

-3λ)-(4,-5,0)=(-4,4A+5,-3/1).又BDLAC,.".BD∙-4X0+(4+5)×4

4一,912、

+(—3/)X(—3)=。，解得」瑟.因此M=(T，41+5,TQ=卜4,?可得

蒜='-4叶(D+肾=5.

6.(2021•安徽六安一中质检)如图，在直三棱柱/比‘-45G中，ZACβ=90o,2AC=

∕4=8C=2.若二面角区一如一G的大小为60°,则相的长为()

A.√2

C.2

答案A

解析以。，CB,CG所在的直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),

A(l,0,0),区(0,2,2),G(0,0,2),设4Z=a,则点，坐标为(1,0,a),S=(1,0,a),CB∖

n∙6B1=O,[2y+2z=0,

=(0,2,2),设平面5圈的法向量为A=(X,必z),则〈得(八

f[x+az=0,

∙CD=O,

令Z=-1,得A=(d,l,-1),又平