2023届高三安徽省江淮十校三模数学试题（解析版）

江淮十校2023届高三联考

数学试题

2023.5

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求.

1,已知集合4="'则%巧，集合B=｛（x，l）及="附,则集合AcB的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】求出函数）与＞=1-国的交点坐标，即可判断.

•,_2

【详解】由，;二:_凶，消去y得d+国一i=o,即|X「+N—I=O,

解得凶=甘叵或凶=二1手（舍去），

所以尤=*且或彳=_士在，

22

-1+6—1+^5

即方程组的解为《2广或〈

3-V5

V=--------------

即函数y=f与y=有两个交点,

第1页/共23页

又集合A={(x,y)|y=/},集合B={(x,y)|y=]_|x|},

所以梯］［三，1,

即集合AcB的元素个数为2个.

故选：B

/兀71\

2.已知直线/的一个方向向量为万=Hin§,cos§J,则直线/的倾斜角为()

【答案】A

【解析】

【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可.

兀

COS—A

【详解】由题意可得：直线/的斜率上=一工=—=tan=，即直线/的倾斜角为E.

sin71366

3

故选：A

3.已知。，匕为实数，则使得“a>b>0”成立的一个充分不必要条件为()

A.—>—B.ln(a+l)>lnS+l)

ab

C.a3>b,D.y/a-l>yjh-l

【答案】D

【解析】

【分析】根据“充分必要条件”的定义逐项分析.

【详解】对于A,如果，例如”=-21=-1,则—,>一1,不能推出a>8>0,如果

ab2

a>b>0,则必定有,既不是充分条件也不是必要条件，错误：

ab

对于B,如果ln(a+l)>ln(0+l),根据对数函数的单调性可知a+1>人+1,。>b，但不能推出

a>b>0,例如a=l,b=-0.5,不是充分条件，

如果a>b>Q,则a+l>Z?+l>O,；.lng+l)>ln(Z?+l),是必要条件，即ln(a+l)>+

是a>8>0的必要不充分条件，错误；

对于C,如果/>",因为>=/是单调递增的函数，所以，不能推出a>Z?>0,例如

第2页/共23页

a=-\,b=-2,

如果a>8>0,则必有/>/,是必要不充分条件，错误；

对于D,如果，工斤〉病开，则必有a>621〉0,是充分条件，如果a>b>Q,例如

。=1/=0.5,则不能推出,所以是充分不必有条件，正确.

故选：D.

4.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”(明・《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.如果

每天的“进步”率都是1%,那么一年后是(1+1%>65=1.0产65；如果每天的“退步”率都是1%,那么一年后

1Qi3651ni

是(1-1%)365=0.99365.一年后“进步”的是“退步”的——-=(^)365«1481倍.如果每天的“进步”率和

0.99365099

“退步”率都是20%,那么大约经过()天后“进步”的是“退步”的一万倍.

(1g2=0.3010,1g3#0.4771)

A.20B.21C.22D.23

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可列出方程10000x(1-0.2)*=1.2、，求解即可,

【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的10000倍，

则10000x(1-0.2)，=1.2，,

即(―)x=10000,

0.8

技1„L2］。3337g20.1761

°0.8°2

故选：D.

5.哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有

故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段和

两个圆弧AC、围成，其中一个圆弧的圆心为A,另一个圆弧的圆心为B,圆。与线段A3及两个圆弧

均相切，若AB=2,则。鼠无=()

第3页/共23页

B

D

【答案】A

【解析】

【分析】构造直角三角形，勾股定理求圆。的半径，得到。4,余弦定理求C0S/A08,利用向量数量积公

式求砺•砺.

【详解】若AB=2,则圆弧AC、6C的半径为2,设圆。的半径为r，则QA=2—r,过O作OO_LA8,

则。。=r,AO=1,

35

RtZSODA中，OA2=0D-+AD2.即（2-r）2=产+1,解得厂=工，则有。4=:,

44

AO2+BO2-AB27

△A05中,由余弦定理得cosZ.AOB

2AOBO25

:.OAOB=囱.西cosZAOB7

故选：A.

6.将函数/(x)=sin［无+g)+sin尤的图像向左平移a(a>0)个单位后的函数图像关于)，轴对称，则实数

。的最小值为()

【答案】C

第4页/共23页

【解析】

【分析】利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由平移变换写出g(x)的表达式，

再由对称性求得。，从而可得最小值.

【详解】f(x)-sinxcosg+cosxsing+sinx=sinx+乎cosx=氐也卜+专)，将函数”x)图像向

左平行移动a个单位后的函数记为g(x)，则g(x)=6sin[x+a+£]，而函数g(x)的图像关于》轴对称有

g(0)=±V3,**-sin=±1,二〃+—=—+E(ZwZ),a=—+kn(kEZ),•••〃>(),•二实数。

兀

的最小值为

故选：C.

7.若。被-1)"(〃€川)的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大,

则有序实数对(〃?,〃)共有()组不同的解

【答案】D

【解析】

【分析】根据二项式系数的性质求解.

【详解】根据二项式系数的性质知：由第6项的二项式系数最大知〃的可能取值为9,10,11,

又由题得：令尸1,有(加一1)"二2",当〃=9,11时，m=3；当〃=10时，机=3或-1,

故有序实数对(〃?,〃)共有4组不同的解，分别为(3⑼,(3,11),(-1,10),(3,10).

故选：D.

/v2

8.已知。为坐标原点，椭圆E：与+==1(。〉/,>()),平行四边形。4cB的三个顶点A,B,C在椭圆

E上，若直线AB和OC的斜率乘积为-1，四边形OACB的面积为殛，则椭圆E的方程为()

D..

c・产

第5页/共23页

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角换元设A(ncosa,/>sina),B(acos/?,加in"),代入椭圆方程可得cos(a-分)=-g,再根

据三角形面积的向量公式及斜率之积计算即可.

【详解】先证三角形面积公式的向量形式：在AAOB中，方=(%，x),9=(%,%)，

34。人图所入电+

则而Ae(O㈤

2ki^-y|

sinZ.AOB=Vl-cosZ.AOB=2•q=m网网sinNAOB=1|x^2-泡

••u^AOB

设A(acosa,Z?sina),B(acos9bsin,由题意可知；OC=OA+OB,

所以C(acosa+ocos/?,/?sina+/?sin0),

将C坐标代入椭圆方程有

(cosa+cos£)2+(sina+sin/?)2=1=2+2(cosacos£+sinasin£)=cos(a-£)二一；,

则卜in(a—6)卜日

所以四边形OAC8的面积为S=2S&AOB=|acosa・bsin/?-acos〃・/?sina|=ab\sm(a-\f

即@。。=迫，又根据AB和oc的斜率乘积为-，知

222

222222

-h--s-i-n--c--x---b--s-i-n---/?--,--h--s-i-n--a--+--b--s--i-n-P--,——b~•--s-i-n----6-z----s-i-n----P---—h,--s-i-n---a----s--i-n----/-?———h

acosa-acos/3acosa+acosJ3a2cos2a-cos2(3a2sin2^-sin2aa2

所以\=_L,解之得：/=6,匕2=3.

a22

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9.下列命题正确的有()

A.空间中两两相交的三条直线一定共面

B.已知不重合的两个平面a,夕，则存在直线aua,bup,使得。，。为异面直线

第6页/共23页

C.过平面a外一定点尸，有且只有一个平面夕与a平行

D.已知空间中有两个角/A4G，N&BG,若直线直线人与，直线4G，直线82c2，则

NA[4G=或N4B]G+N&B,C?=无

【答案】BC

【解析】

【分析】利用平面性质判断选项A；利用两平面位置关系和异面直线定义判断选项B；利用线面垂直的性质

判断选项C；举反例否定选项D.

【详解】选项A：空间中两两相交的三条直线可以共面也可以不共面.判断错误；

选项B：已知不重合的两个平面a,B,则a〃£，或尸相交，

两种情况均存在直线aua,bu/3,使得a,b为异面直线.判断正确；

选项C：过平面a外一定点尸，有且只有一条直线机与平面a垂直，

过点P有且只有一个平面夕与直线机垂直，则a〃夕.

则过平面a外一定点尸，有且只有一个平面夕与0平行.判断正确；

选项D：在如图正方体中，直线直线为与，直线片qj_直线82c2，

TTTT

由ZA]B£=5,NA232c2=；，可得/4用0工^B2C2,

且NA4a+2G*兀.判断错误.

故选：BC

10.学校北园食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品.小明同学决定每隔9天去老麻抄手窗口消费

一次，连续去了5次，他发现这5次的日期中没有星期天，则小明同学在这5次中第一次去北园食堂可能是

()

A.星期一B.星期三

C.星期五D.星期六

第7页/共23页

【答案】BD

【解析】

【分析】依题意每隔9天去一次，即每次都是在上一次的星期数往后数三天，一一列举即可判断.

【详解】若第一次是星期一，则第二次是星期四，第三次是星期日，不符合题意，故A错误；

若第一次是星期三，则第二次是星期六，第三次是星期二，第四次是星期五，第五次是星期一，符合题

意，故B正确；

若第一次是星期五，则第二次是星期一，第三次是星期四，第四次是星期日，不符合题意，故C错误：

若第一次是星期六，则第二次是星期二，第三次是星期五，第四次是星期一，第五次是星期四，符合题

意，故D正确；

故选：BD

11.某项科学素养测试规则为：系统随机抽取5道测试题目，规定：要求答题者达到等级评定要求或答完5

道题方能结束测试.若答题者连续做对4道，则系统立即结束测试，并评定能力等级为A；若连续做错3道

题目，则系统自动终止测试，评定能力等级为C;其它情形评定能力等级为8.已知小华同学做对每道题的

概率均为:，且他每道题是否答对相互独立，则以下说法正确的是（）

A.小华能力等级评定为A的概率为6泰4

1CQ

B.小华能力等级评定为B的概率为一

243

2

C.小华只做了4道题目的概率为

D.小华做完5道题目的概率为2

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用独立事件的概率和对立事件的概率可求四个选项，根据结果判断正误.

【详解】小华能力等级评定为A,则需要连续做对4道题，所以乙=（：V1（2丫64.下舔

4—,——---，A正确；

）3⑴243

小华能力等级评定为。，则他连续做错3道题目，有四种情况，

所以足jiY+MqT+KFxRi+ixNduiN.

c[3）3（3）33UJ81

由题意小华能力等级评定为B的概率为^=1-^-^=1--=—,B正确；

BAc243243

小华只做了4道题目有两种情况，一是4道题全对，二是第1题对了,后续3道题目全错，其概率为

第8页/共23页

C正确;

小华做完3道题目结束测试的概率为鸟

小华做完5道题目的概率为乙=1-鸟-乙=药，D不正确.

故选：ABC.

12.已知函数/(x)=ax+2("wO),则下列说法正确的有()

X

A.VabHO,函数/(x)是奇函数

B.三出?*0,使得过原点。至少可以作/a)的一条切线

C.\/ab0,方程/(sinx)=/(sinx+2)一定有实根

D.士出*0,使得方程sin[/'(x)]=cos[/(x)]有实根

【答案】AD

【解析】

【分析】选项A,由奇函数的定义判断；选项B,通过联立方程组判断切线是否存在；选项C,由正弦函数

的有界性判断方程的解；选项D,特殊值法判断存在性.

【详解】函数f(x)=ax+-(ab^O),定义域(―。,0)U(0,+8),且/(-x)=a(-x)+—=-ax--=—/(x),

x-XX

函数f(r)是奇函数，A选项正确；

b

设直线，=依，联立方程：ax+-=kx,得(A-a)d-。=0,攵一。工0,4=46(左一。)工0,直线y=Ax

x

不可能是/(X)的一条切线，B选项错误；

.＜、〃＜、bbb

若/(当)=〃％2)，工尸无2,则叫+—=ax2+—,得玉々=一，

*Wa

hh

即sinx(sinx+2)=—,由sin尢的有界性，显然$也尤(，也犬+2)=—不一定有解，C选项错误；

aa

TT

当/(x)=E+：,keZ,显然存在ma,b,使方程Sin[/(x)]=cos[/(x)]有解，D选项正确.

4

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知复数z满足—-i)|=l(i是虚数单位)，则目的最大值为

【答案】V2+l##l+V2

第9页/共23页

【解析】

【分析】根据复数的几何意义有，复数z对应的点Z到点A。,-1)的距离为1,即点Z的轨迹为以

为圆心，半径/*=1的圆，从而即可求解.

【详解】解:因为复数z满足卜一(1一1=1,

所以根据复数的几何意义有，复数z对应的点Z到点A(l,-1)的距离为1,即点Z的轨迹为以A。,-1)为

圆心，半径一=1的圆，

所以忖的最大值为+r=Ji?+(—if+1=也+1,

故答案为：V2+1.

S

14.｛凡｝是公差不为零的等差数列，前n项和为S,,，若$5=15,4，％，%成等比数列，则二丝=

^2023

【答案】1012

【解析】

【分析】利用等差中项及等比中项，结合等差数列的通项公式及前〃项和公式即可求解.

【详解】设等差数列｛”“｝的首项为4,公差为4(4/0),则

因为§5=15,

所以§5=4+。2+。3+。4+。5=15,即5%=15,解得〃3=3.

因为。3，%，4成等比数列，

所以《=%42，即(3+34)2=3x(3+94),解得d=i或d=。(舍)，

所以q=4+2d=3,解得q=1,

所以4o23=1+(2023—1)x1=2023,

2023(1+2023)

所以每理=-------2------=1012-

“20232023

故答案为：1012.

15.函数/(x)=cos2x+2|sinx|(xe[0,2K])的值域为.

第10页/共23页

3

【答案】1,-

【解析】

【分析】利用换元法和二次函数性质即可求得f(x)的值域.

【详解】/(x)=cos2x+2|sinx|=l-2sin2x+2|sinx|(xe[O,2TI])

令卜inx|=f,则

则fM的值域转化为g(t)=l-2t2+2t,Ze[O,l]的值域，

I3「3一

g(^)=-2r+2r+1=-2(?--)+—,则g(f)w1,—,

31「3-

则gQ)的值域为1,耳,则函数/(x)的值域为1,-.

'3'

故答案为：1,彳

L2J

12

16.若函数/(无)=0?—§(a>0)与函数g(x)=%2一的图像恰有三个不同交点，且交点的横坐标构成

等差数列，则实数a的取值范围是.

【答案】

【解析】

21

【分析】依题意，函数/?(》)=f(x)-g(x)^ax3-x2+-cx--有三个不同的零点，则

2

/。)=3依2—2x+§c=0有两个不同的实数根，三个不同的零点构成等差数列，则三次函数//(X)的对称

中心在x轴上，根据不等式求实数。的取值范围.

【详解】函数/袅)=⑺3—1与函数g(x)=f—2的图像三个不同交点，

等价于函数〃(X)=/(》)—g(x)=a？—x2+§cx-§有三个不同的零点，即/z(x)的图像与X轴有三个交点,

29

由“(X)=3ax2-2x+-c,故必有方程3af_2x+§c=0有两个不同的实数根，

则。>0,A=4-8tzc>0,/.ac<—

2

三次函数的图像是中心对称图形，由/?(x)的图像与X轴三个不同交点的横坐标构成等差数列，则〃(x)的图

像的对称中心一定在x轴上，

第11页/共23页

291

hr(x)=3以2-2x+—c,令叭心=3ax2-2x+—c,令"(x)=6ax-2=0^x=一,

则函数M%）图像的对称中心横坐标为「，当〃=o时符合题意,

2I1

+士°.」_一±=0,化简整理即有6ac=2+9d，

33a3

故2+9/＜3，，矿＜工且。＞0

9

所以实数。的取值范围是0,§卜

故答案为:

四、解答题：本题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在AABC中，内角4、B、C所对的边分别为b、c,已知0sin（A+mj+acos（3+3）=0・

（1）求角A的大小；

（2）点。为边8C上一点（不包含端点），且满足NAO8=2NAC8,求生的取值范围.

BC

【答案】（1）A=j

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换化简即可；

（2）利用正弦定理将线段比值转化为关于C的三角函数值计算范围即可.

【小问1详解】

由bsinlA+ll+acosl^+BjuO,结合正弦定理可得：

sinB—sinA+——cosA-sinAsin8=Onsin8——cosA——sinA=0

I22JI22J

因为Be（0,兀），所以sinS/O即走cosA=，sinA，

所以tanA=6，而Ae（0,无）,所以A=5；

【小问2详解】

第12页/共23页

c

D

AB

由/AO8=2/AC8知：AO=CO,所以C<A,即Ce(0,g

在△ABD中，有8=空—C,ZBAD^--C,

33

由正弦定理可得:

百厂1.「

——COSC+-sinC

2211

+•tanC

>/3cosC2273

由Ce可得tanCe（0,、回），所以r1-

18.移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底，我国移动物联网连接

数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.卜图是2018-2022年移动物联网连接数

卬与年份代码，的散点图，其中年份2018-2022对应的f分别为1-5.

oi/亿户

第13页/共23页

（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数（精确到0.01）,并推断它们的相关程

度；

（2）求卬关于f的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数.

£,一亍）（叱—访）人

附:样本相关系数r~।“I—p；；—>b=-~-----------，a=w-b-T>Jl740»41.7

博―）冶（叫-科y—r

【答案】（1）0.98,两个变量具有很强的线性相关性

（2）w=4.k+2.7,2024年移动物联网连接数31.4亿户.

【解析】

【分析】（1）由散点图可判断是否线性相关，再根据已知数据计算相关系数即可：

（2）由数据计算回归方程，并由方程计算预测即可.

【小问1详解】

由图可知，两个变量线性相关.

_1+2+3+4+5._7+12+13+19+24

由已知条件可得:t=------------=5,w=-----------------

5

所以Z&-7）（叫一访）=16+3+0+4+18=41,

/=1

忙（叱一VV）2=V64+9+4+16+81=V174,、忙（―了=V4+1+0+1+4=M,

4141…

所以相关系数r=而而«—«0.98,

因此，两个变量具有很强的线性相关性.

【小问2详解】

八41八

结合（1）可知，^=—=4.1,a=w-b-T=15-4.1x3=2.7

所以回归方程是：位=4.1/+2.7,

当1=7时,有你=4.1x7+2.7=31.4,即预测2024年移动物联网连接数为31.4亿户.

19.已知平行六面体ABCD-ABiGA中，底面A8CD和侧面都是边长为2的菱形，平面

A8CD1平面AB81A，.

第14页/共23页

(2)若N4A8=60。，求二面角A—的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵姮

5

【解析】

【小问1详解】

连接作A"LAB于，.

因为是菱形，所以4A_LA3,

又因为4A、4。匚面。44，

所以A3,面D4B1,而AQu面D44,所以43_LA。，

又平面A3CD工平面AB44,平面ABCDc平面ABB/=A3,所以片“，面ABC。,

又因为AOu面ABC£>,所以4"_LA。.

4”、A4相交，且4"、A耳u面AB4A，

所以4。_1面43片4，ABu面AB44，所以AD1A3,

而A8CD为菱形，所以四边形ABCO是正方形.

第15页/共23页

【小问2详解】

在NAA8=60°时，易知”为A8的中点，如图以”为中心，建立空间直角坐标系

则，A(1,O,O),4(一2,0,G),C(-1,2,0),次―1,0,0),

04=(2,-2,0)，CB,=(-1,-2,V3),CB=(0,-2,0)

而C4=02x—2y=0

设平面ABC的一个法向量而=(x,y,z),则—.，即〈

m-CB,=0-x-2y+yf3z—0

令x=1,则y=1,z=也>故启=(1,1,百)

n-CB=0-2q=0

设平面BBC的一个法向量万=(p,g/),则〈_.，即｛r令/*=1,则p=6,q=0,

n-CBx-0(-p-2^+V3r=0"

解得同=(JJ,0,l),

mil/__、inn273V15

则cos(m,n)=-------=—j=——=----

\m\-\n\V5x25

又因为A—BQ—8为锐二面角，所以A—gC—6的余弦值为巫.

5

20.设数列｛%｝的前〃项和为工，且3a”=2(S“+2〃)，

(1)证明：数列｛々+2｝是等比数列，并求｛4｝的通项公式;

1]

(2)设6“=logs%j-证明:+一1+7>J62”+l•

k"1/4人bJb2n-lJ

【答案】(1)证明见解析，an=M"-'-2

(2)证明见解析

【解析】

第16页/共23页

S],〃=1/、

【分析】⑴根据。、.，作差得到。“=3。,1+4,即可得到4+2=3(。,1+2),从而得

⑸c-S,i，〃22

证，即可求出｛4｝的通项公式;

1)1+11

…[+加+1))1

(2)由(1)可得a="，方法一：令All匕5,

、"1人I仇“一J，则/(〃)’

/(«)-72/7+1

即可得证;

2n|＞空口，再累乘即可得证.

方法二：利用放缩法得到

2〃一112〃一1

【小问1详解】

因为3a“=2(S“+2〃),

当〃=1时3a।=2(5]+2),解得q=4,

当〃22时3%_I=2(S“_1+In-2),

相减得=3a,2_]+4,所以+2=3(〃“_]+2),

所以｛《,+2｝是以首项为6,公比为3的等比数列,

即a“+2=6x3"T,所以a“=6x3"T—2.

【小问2详解】

由(1)可得勿=log3""+2-iog3—=log33"=〃,

即证：(1+1)U+1Y1+\_

>、2〃+1

5

方法一:

则/(〃+1)=2”匕

'f(〃)，2〃+1•，2〃+3

因为(2〃+2)2>(2n+1)(2〃+3),所以/(〃+1)>f(n),

2

所以/(〃)单调递增，即/(〃)>"1)=F>1,

第17页/共23页

2n2〃+1(2nY2n2n+l_2n+l

方法二：放缩法:2n-l2n\2n-l)2n-l2n2n-\

2n]22H+1

所以2n-\)>2n-l

相乘得制.住）2n+\

二qY.2=2/2+1

2/i-lJ132/1-1

21.已知点R（O,1）,动点加在直线/：y=-l上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交

于点P,记点P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的标准方程；

（2）过户的直线与曲线。交于A,B两点，直线。A,08与圆/+>2-2>=0的另一个交点分别为

D,E,求ADOE与&408面积之比的最大值.

【答案】（1）x2=4y

4

（2）—

25

【解析】

【分析】（1）利用抛物线定义即可求得曲线C的标准方程：

（2）先求得:3的表达式，再利用均值定理即可求得其最大值.

【小问1详解】

过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P,

则|PM|=|PF|,则点p到直线y=-1和定点mi）距离相等，

则P的轨迹为以F（0,l）为焦点以直线y=-1为准线的抛物线，

则曲线C的方程为：丁=4）

【小问2详解】

设A,B,D,E坐标分别为A（x，yJ,8（苍，%），。（七，％），打不乂），

第18页/共23页

ra为S&DOE_I°DI•II_1*3X4I

IOA。。切一同

1x

令直线/%：y=k1x,勺=7，OB-y=K'的=一

x2+y2-2y=0_2kl

由

y=k{x守.31+k：，

2k2

由

1+&£

所以陷

4kllc2

I"玉工2（1+左；）（1+片）

令L：y^kx+l,与》2=4y联立得：/一4米一4=0,

所以，%々=-4,玉+々=4左，则丫»=1

所以4/2="=一；，代入得：昌=记

玉/4%17

4

又因为曾+后N2k#J=g,

l&xj14

所以尸｝=不5-------------当且仅:

村也|；+4(6+修)25

4

所以AOOE与AAOB面积之比的最大值为一

22.对于定义在。上的函数尸(x),若存在「€。，使得/(%)=%,则称不为尸(x)的一个不动点.设函

数fM=(x-l)ev-tzInx+x，已知%(4H1)为函数/⑶的不动点・

(1)求实数。的取值范围；

(2)若keZ,且筑＜a对任意满足条件的与成立，求整数七的最大值.

第19页/共23页

23

(参考数据：In2=0.693,ln3»l.l,e7al.95'e2-7391£*4.48)

【答案】(1)ae(0,e)U(e,+8)；

(2)2.

【解析】

【分析】(1)根据给定的不动点定义，构造函数g(x)=(x-l)e、-alnx,利用导数结合零点存在性定理探

讨函数g(x)在(0,1)口(1,+8)上的零点作答.

(2)由(1)可得。=鱼业;，结合给定条件确定出々值2,再利用导数讲明不等式2%<(/二I).“

Inx0In玉)

作答.

【小问1详解】

依题意，方程(x-l)e*-alnx=0在(0,+8)内有根%，且七力1,

2x

令g(x)=(尤一l)e、—alnx,xe(0,l)U(l,+oo),求导得g，(x)=xe<—@=一",

XX

当aW0时，g'(x)>0在(0,1),(1,+oo)上都递增，而g(l)=0,因此函数g(x)在(0,1)、(L+o。)无零点,

当a〉0时，令h(x)=x2ex-a,xe(0,l)U(1,+«>),h'(x)=(x2+2x)e'>0,则函数g'(x)在(0,1),(1,+℃)

上都递增，

当0<a<e时，当x〉l时，g'Cv)>g'(l)=e-a>0,函数g(x)在(1,+8)上递增，无零点，

当0<x<l时，〃(0)=-a<0,则存在占e(0,l),使得/z(xJ=O,即/(再)=0,

当xw(0，x)时,g'(x)<O,g(x)递减，在XG(M，1)时,g'(x)>O,g(x)递增，

eee

g(X1)<g(l)=。，而一一<T，有e”

QC、C、LC、C

_e_e_£_e_e_£_«

g(e^)=(e-°-l)ec<，-olne^=e+e-«+e<，-ee">0'

因此存在x°e(0,x。，使得g(x0)=0,即函数g(x)在(0,1)上有零点吃,则0<a<e,

当a>e时，当0<x<l时，g'a)<g'(l)=e-