2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-菱形的证明

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练一菱形的证明

1.如图，在R3ABC中，AACB=90°,D为AB的中点，AE||CD,CE||AB.

(1)证明：四边形ADCE为菱形；

(2)若BC=6,tanB=号，求四边形ADCE的周长.

2.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE〃CF,且分别交对角线BD于点E,F.

(1)求证：△AEB^ACFD；

(2)连接AF,CE,若/AFE=/CFE,求证：四边形AFCE是菱形.

3.如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,点F在DE

的延长线上，且AF=CE=AE.

(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；

(2)当NB=30。时，试猜想四边形ACEF是什么图形，并说明理由.

4.如图，在AABC中，BD平分乙4BC交4C于0,作DE//BC交AB于点E,作

DF//AB交BC于点F.

A

(1)求证：四边形BEDF是菱形；

(2)若乙BED=150°,乙C=45°,CD=30,求菱形BEDF的周长.

5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm,BC=6cm,Z.B=60°,G是CD的中点，E

是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.

(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；

(2)@AE=cm时，四边形CEDF是矩形.

②2E=cm时，四边形CEDF是菱形.

6.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF〃AB,交BC于点F.

(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？

7.在R3ABC中，ZBAC=90°,D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF〃:BC交BE的

延长线于点F.

(1)证明：四边形ADCF是菱形；

(2)若AC=3,AB=4,求菱形ADCF的面积.

8.如图，将矩形4BCD沿对角线/C对折，点B的对应点为炉，B,C交4。于E点.4F〃CB'交BC于

F.

(1)求证：四边形4FCE是菱形；

(2)若48=4,BC=8,求EC的长.

9.如图，矩形A3C。中，点C在x轴上，点A在y轴上，点3的坐标是(—6,8).矩形A3C。沿

直线3。折叠，使得点A落在对角线0B上的点E处，折痕与x轴分别交于点。、F.

(1)求点D的坐标;

(2)若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M,使M、N、E、。为顶点的四边形是菱

形？若存在，请直接写出满足条件的点"的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图1,在矩形A3CZ)中，AB=8,AD=1Q,E是CD边上一点，连接AE,将矩形A3CO

沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G.

(1)求线段CE的长；

(2)如图2,M,N分别是线段AG,DG上的动点(与端点不重合)，豆NDMN=NDAM,

设DN=x.

①求证四边形A/GQ为菱形；

②是否存在这样的点N,使△OMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说

明理由.

11.如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E,交BC于点F,

连接AF、CE,

(2)设AE=a,ED=b,DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式.

12.综合与探究

如图，抛物线y=/+b%+c的图象经过坐标原点。，且与％轴的另一交点为(-g,0).

(1)求抛物线的解析式;

⑵若直线厂去+g与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A，是点A关于原

点O的对称点，连接AB,试判断AAAB的形状，并说明理由；

(3)在问题⑵的基础上，探究：平面内是否存在点P,使得以点A,B,N,P为顶点的四边形

是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

13.在平面直角坐标系中，直线y=-3%-亍交x轴于点A,交y轴于点B,直线y=-7%+3

交X轴于点C,交y轴于点D.

（2）如图2,在直线y=—J%+3上存在点E,使得44BE=45。，求点E的坐标；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接。E，过点E作CD的垂线交y轴于点F,点P在直线

EF上，在平面中存在一点Q,使得以0E为一边，0,E,P,Q为顶点的四边形为菱形，请直接

写出点Q的坐标.

14.定义：如图（1）,E,F,G,H四点分别在四边形4BC0的四条边上，若四边形

EFGH为菱形，我们称菱形EFG”为四边形ABCO的内接菱形.

（1）动手操作：如图2,网格中的每个小四边形都为正方形，每个小四边形的顶点叫做格点，由

36个小正方形组成一个大正方形力BCO，点E、F在格点上，请在图（2）中画出四边形力BCD的

内接菱形EFGH；

（2）特例探索：如图3,矩形ABCD,4B=5,点E在线段AB上且EB=2,四边形

EFGH是矩形ABCD的内接菱形，求GC的长度;

(3)拓展应用：如图4,平行四边形4BCD,AB=5,ZB=60。，点E在线段AB上且

EB=2,

①请你在图4中画出平行四边形4BC0的内接菱形EFG”,点F在边BC上；

②在①的条件下，当BF的长最短时，BC的长为.

15.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。O交BC于D,交AC于E,连接OE,过点

D作DFLAC于F.

(1)求证：DF与。O相切；

(2)填空：

①若△CDF的面积为3,则4CDE的面积为.

②当NCDF的度数为时，OE||BC,此时四边形ODCE的形状是：.

rnri

16.如图，四边形A8CO的四个顶点分别在反比例函数y=H与(x>。，0</n<«)的图象

上，对角线轴，且BDL4c于点P.已知点B的横坐标为4.

(1)当力尸4,”=20时.

①若点P的纵坐标为2,求直线的函数表达式.

②若点P是的中点，试判断四边形ABC。的形状，并说明理由.

(2)四边形ABC。能否成为正方形？若能，求此时旭,〃之间的数量关系；若不能，试说明理

由.

答案解析部分

L【答案】(1)证明：rAE||CD,CE||AB,

二四边形ADCE是平行四边形，

•••AACB=90°,。为的中点，

1

CD=豺B=AD,

••・四边形4DCE为菱形；

AC4

⑵解：在HM4BC中，BC=6,tanB=

JDL3

44

AAC=—FC=—x6=8,

AB=y/AC2+BC2=V82+62=10,

1

CD=^AB=5,

•••四边形ADCE为菱形，

CD=DA=AE=EC=5,

二菱形/OCE的周长为：5x4=20.

2.【答案】(1)证明：如图：

•••四边形ABCD是平行四边形，

/.AB//DC,AB=DC,

/.Z1=Z2,

VAE/7CF,

/.Z3=Z4,

在^AEB和^CFD中，

23=24

Zl=z2,

VAB=CD

AEB^ACFD(AAS)

(2)证明：AEB四△CFD,

.\AE=CF,

：AE〃CF,

四边形AFCE是平行四边形.

VZ5=Z4,Z3=Z4,

AZ5=Z3.

，AF=AE.

四边形AFCE是菱形

3.【答案】（1）证明：:DE垂直平分BC,

•••D为BC的中点，EDXBC,

XVAC1BC,

，ED〃AC,

.••E为AB中点，

.•田口是4ABC的中位线.

，BE=AE,FD〃AC.

ACE是是△ABC斜边上的中线

/.CE=|AB,

VCE=AE=AF.

.•.NF=N5=N1=N2.

/.ZFAE=ZAEC.

，AF〃EC.

又•.•AF=EC,

四边形ACEF是平行四边形

（2）解：当NB=30。时，四边形ACEF为菱形;

理由：VZACB=90°,ZB=30°,

，AC=|AB,

由（1）知CE=IAB,

/.AC=CE

又四边形ACEF为平行四边形

四边形ACEF为菱形.

4.【答案】（1）证明：•••DE//BC,DF//AB,

•••四边形BEDF是平行四边形，乙EDB=KDBC,

•••BD平分^ABC,

:.Z.ABD=Z-DBC,

:.Z.ABD=Z-EDB,

・•・BE=DE,

平行四边形BEDF是菱形；

(2)解：如图，过点0作DHLBC于点H,

•:四边形BEDF是菱形，

.・.BF=DF=DE=BE,

・・・乙DFB=乙BED=150°,

・・・乙DFH=180°-(DFB=30°,

・・・DH1BC,

・・・(DHF=乙DHC=90°,

1

:・DH=^DF,

・・・ZC=45°,

ACDH是等腰直角三角形，

...=CH=孝=孝X30=3,

DF=2DH=6,

菱形BEDF的周长=4DF=24.

5.【答案】(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形,

AD//BF,

•••乙DEF=乙CFE,Z.EDC=乙FCD,

■■-G是CD的中点，

：•GD=GC,

•••△GEO之△GFC,

•••DE=CF,而DE"CF,

四边形CEDF是平行四边形

(2)4；2

6.【答案】（1）证明：YD、E分别是AB、AC的中点,

.•.口£是4ABC的中位线.

.-.DE//BC.

XVEF^AB,

四边形DBFE是平行四边形

（2）解：当AB=BC时，四边形DBEF是菱形.

理由如下:

YD是AB的中点,

ABD-|AB.

•.•DE是△ABC的中位线,

.\DE=|BC.

•；AB=BC,

BD=DE.

又四边形DBFE是平行四边形,

四边形DBFE是菱形

7.【答案】（1）证明：YE是AD的中点,

/.AE=DE,

VAF//BC,

AZAFE=ZDBE,

YAFE=Z.DBE

在aAEF和^DEB中，Z-AEF=乙DEB,

AE=DE

AAAEF^ADEB(AAS),

.•.AF=DB,

又♦.•AF〃BC,

•••四边形ADCF是平行四边形，

VZBAC=90°,D是BC的中点，

.\AD=|BC=CD,

二平行四边形ADCF是菱形.

（2）解：:D是BC的中点,

SAACD=SAABD—^-SAABC,

•.•四边形ADCF是菱形，

/.S菱形ADCF=2SAACD—SAABC二|AC-AB=|x3x4=6.

8.【答案】（1）证明：在矩形4BCD中，乙40c=90。，AD//BC

：.^DAC=^BCA.

由题意得：^BCA=Z-B'CA

：.^DAC=^B'CA,

：.EA=EC

\'AD//BC,AF“CE,

...四边形AFCE为平行四边形

•：EA=EC

四边形4FCE是菱形.

(2)解：如图所示，在矩形中，^ADC^^AB'C=90°,

设AE=CE=x,则EB'=（8一％）.

在Rt△力B'E中，^AB'E=90°,AB'=4,

由勾股定理得：AB'2+B'E2=AE2,

即4?+（8—久了=",

••x-5.

：.EC=5.

9.【答案】(1)解：四边形ABCO是矩形，点B的坐标是(―6,8).

ABAD=AOCB=90°,AB=OC=6,OA=BC=8,

BO=y/OC2+BC2=10；

由折叠的性质得：BE=AB=6,^BED=ABAD=90°,DE=AD,

OE=BO-BE=10-6=4,乙OED=90°,

设0(0,a),则00=a,DE=AD=OA-OD=8-a,

在RtAEOD中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2,

即(8—a)2+42=a2,解得：a=5,

•••0(0,5)；

(2)解：存在，

①OM,OE者B为边时，OM=OE=4,

；.M的坐标为(4,0),(-4,0)

②OM为边OE为对角线时，MN垂直平分OE,垂足为G,如图1

图1

则OG=|OE=2,

8),

A

•••OB的解析式为：y=-gX,

设E[x,—]%)，M(a,0),

4

・•・X2+（3%）2=16,

1212,冬土、

・,・%=-亏，x=~s（舍去），

1216

‘双一号‘E）'

22

由OM=EM可得：（a+第+（学）=小，

解得：a-—学

1o

AM（号，0）

③OM为对角线，OE为边，如图2

图2

由②得：M（—g,0）

1n?4

综上所述：点M的坐标为（4,0）或（-4,0）或,0）或（—可，0）；

10.【答案】（1）解：I•四边形ABCD是矩形，

.•.AD=BC=10,AB=CD=8,

.•.NB=/BCD=90°,

由翻折可知：AD=AF=10.DE=EF,设CE=x,则DE=EF=8—x.

在RtAABF中,BF=V>1F2-AB2=6，

，CF=BC-BF=10-6=4,

在R3EFC中，则有：（8—x）2=x?+42,

.•.x=3,

CE=3.

（2）解：①证明：•.•四边形ABCD是矩形,

，AD〃BC

ADE^AGCE,

•AD_DE

""'GC~CE'

•.，AD=10,CE=3,DE=5,

.10_5

,"GC-3'

/.GC=6,

由⑴可得:CF=4,

GF=6+4=10,

四边形AFGD是平行四边形，

又•；AD=AF,

平行四边形AFGD是菱形.

@VZDMN=ZDAM,

.•.若△DMN是直角三角形，则有两种情况,

当NMDN=90。时，

•；AD=GD,

/.ZDAG=ZDGA

又,/ZADE=NGDM=90°,

/.△ADE^AGDM(ASA)

，DM=DE=5,

又•；NDMN=NDAM,ZADE=ZMDN=90°,

/.△ADE^AMDN

•'MD—DN'即51，

•_5

••X—5;

当ZDNM=90。时，则NMDN+NDMN=90。，

又•.•/DMN=NDAM,ZDAG=ZDGA,

.\ZDMN=ZDGA,

.".ZMDN+ZDGA-900,

/.ZDMG=90°,

DEDM

.•s.mZ/DcA_E=亦=F，

'：AE=VXD2+DE2=5V5,

.5JM

,•575'

・,.DM=2V5,

VZDMN=ZDAM

JsinZDMN=sinZDAM

・DE_DNnn5_x

•,荏二两’即d派

解得:x=2,

综上所述：久日或2.

U.【答案】（1）证明：•.•四边形ABCD是矩形，

，AD〃BC,

.\ZAEF=ZEFC,

由折叠的性质，可得：ZAEF=ZCEF,AE=CE,AF=CF,

.\ZEFC=ZCEF,

/.CF=CE,

，AF=CF=CE=AE,

四边形AFCE为菱形

⑵a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2.

理由：由折叠的性质，得：CE=AE,

•.•四边形ABCD是矩形，

/.ZD=90°,

*/AE=a,ED=b,DC=c,

/.CE=AE=a,

在RtADCE中，CE2=CD2+DE2,

...a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b?+c2

12.【答案】⑴解：•.•抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0,0）和（V,0）,

'c=0

»枭+c=0，

_V3

解得：f-T；

c=0

・^73

..y=X2£+—X.

」3

（2）解：AAAB是等边三角形；

=久2+亨力

b=Tz+3

'_2V3*,=_亟

解得：卜1-丁,3,

（%=2[y2=1

，A（-竽,|），B（苧,2）,

过点A分别作AC,久轴，ADXAB,垂足分别为C,D,

在RtAAOC中

OA=4AC2+OC2=1,

•••点A，与点A关于原点对称,

...A，（孥AA，=|,

VB（竽,2）,

.•.AB=2-（-1）=8

3，

又：A（-竽,|），B（竽,2）,

.,.AD=竽BD=S，

在RtAABD中

AB=4AD2+BD2=1,

.\AA,=A,B=AB,

AAAA-B是等边三角形

（3）解：存在正确的点P,且以点A、B、A\P为顶点的菱形分三种情况;

设点P的坐标为：（x,y）.

.•.点P为：（2V3,|）；

（2V3

3

②当AB为对角线时，有|~2,

^-3=3+2

（=2V3

解得：，

•••点p为：（一竽，当；

（x—__2_V_3

③当AA，为对角线时，有｛-J

卜+2=4仔

273

解得：f,

Iy=-2

二点P为：（—罕2）;

综合上述，P1（-竽，学），P2（-竽，-2）,P3（2V3,1）

13.【答案】解：对于直线y=—3%—I,令久=0,则了=—|,故点B（0,—1）；

对于y=--rx+3,令第=0,贝！Jy=3,令y=0,即--%+3=0,解得：汽=4,故

44

点£>(0,3)、(4,0),

q11

则BO=3+＞三，CC=4,

ii11

△BCD的面积=^xBDxOC=^x—x4=ll；

a

(2)如图2,在直线y=—J%+3上存在点E,使得zZBE=45。，求点E的坐标；

解：过点E作BE的垂线交48于点R,过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点

・・・乙ABE=45。，故ER=EB,

・・・乙REG+乙BEH=90°,乙BEH+乙EBH=90°,

・・・乙REG=乙EBH,

v乙EHB=ARGE=90°,EB=ER,

AAEHB=ARGE^AAS),

：・RG=EH,BH=GE,

即TH=-3n+-3,+3+|=m-n,解得\，

Z44Z'71——Z

故点F(2,1)；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接。E,过点E作CD的垂线交y轴于点F,点P在直线EF

上，在平面中存在一点Q,使得以0E为一边，0,E,P,Q为顶点的四边形为菱形，请直接写

出点Q的坐标.

(6,当或碟，一景0或G'2)或(一),-2)

(1)解：对于直线y=-3%-|,令x=0,贝i|y=-|,故点B(0,-|)；

对于丫=-彳％+3,令x=0,则y=3,令y=0,BP--x+3=0,解得：％=4,故

■44

点0(0,3)、(4,0),

s11

贝！J80=3+]=2,CC=4,

ABCD的面积=|xfiDx0C=1x^x4=ll；

(2)解：过点E作BE的垂线交48于点R,过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于

点G,交过点B与x轴的平行线于点H,

・・•^ABE=45。，故E7?=,

・・・乙REG+乙BEH=90°,乙BEH+Z.EBH=90°,

・・・乙REG=乙EBH，

・・・乙EHB="GE=90°,EB=ER,

AAEHB=ARGE{AAS},

・・・RG=EH,BH=GE,

即zn=-3n-|+-3,+3+|=m-n,解得

故点F(271)；

(3)(6,学■)或(言‘一或G'2)或(―5,—2)

14.【答案】(1)解：如图2所示，菱形EFGH即为所求；

(2)解：如图3,连接HF，

图3

••・四边形力BCO是矩形，NO=ZB=90。，AD//BC,AB=CD=5,:.乙DHF=

乙HFB,

••・四边形EFGH是菱形，