计数原理-五年（2018-2022）高考数学真题汇编

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编26-计数原

理（含解析）

一、单选题

1.（2022•全国•统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个

数互质的概率为（）

A.-B.-C.ɪD.ɪ

6323

2.（2022•全国•统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，

若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

44i2

3.（2022•北京・统考高考真题）⅛（2x-1）=a4x+a3x+a2x+atx+att,则q,+%+4=

（）

A.40B.41C.-40D.-41

4.（2021,全国•统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑，、

冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名

志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

5.（2021•全国•统考高考真题）将4个1和2个。随机排成一行，则2个0不相邻的概

率为（）

A.-B.-C.ID.-

3535

6.（2021•全国.高考真题）将3个1和2个。随机排成一行，则2个0不相邻的概率为

（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

7.（2020•全国•统考高考真题）（x+匕）（x+y）5的展开式中”的系数为（）

X

A.5B.10

C.15D.20

8.（2020•海南♦统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只

去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法

共有（）

A.120种B.90种

C.60种D.30种

9.（2020•全国•统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为即....α∕2∙设

∖<i<j<k<∖2.若α/=3且/-i=4,则称αi,aj,4k为原位大三和弦；若A∙√=4且j-i=3,则

称ɑi,aj,成为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦

的个数之和为（）

A.5B.8C.10D.15

10.（2020∙海南.高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去

一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A.2种B.3种C.6种D.8种

11.（2020∙北京.统考高考真题）在（4-2），的展开式中，』的系数为（）.

A.-5B.5C.-10D.10

12.（2020.山东.统考高考真题）在卜-的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）

A.56B.-56C.70D.-70

13.（2020•山东・统考高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间

听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

25162532

14.（2020.山东.统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，

分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）

A.12B.120C.1440D.17280

15∙（20I9∙全国•高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”

由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“一”和阴爻“——"，如图就是一重卦.在

所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

16∙（2019∙全国•高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻

的概率是

A.一B.—C.-D.—

6432

17.（2019•全国•统考高考真题）（1+2X2）（l+x）4的展开式中/的系数为

A.12B.16C.20D.24

18.（2018・全国•高考真题）的展开式中d的系数为

A.10B.20C.40D.80

二、填空题

19.（2022•全国•统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,

则甲、乙都入选的概率为.

20.（2022•全国•统考高考真题）的展开式中χ2√1的系数为

________________（用数字作答）.

21.（2022•全国•统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个

平面的概率为.

22.（2022.浙江•统考高考真题）已知多项式

434s

（x+2）（x-1）=g+α∣x+a2x'+ayx+α4x+a5x,则a2=,

ai+a2+ay+a4+ai=.

23.（2022.天津.统考高考真题）（4+2）的展开式中的常数项为.

24.（2021∙天津•统考高考真题）在（2x3+gj的展开式中，f的系数是.

25.（2021・北京•统考高考真题）在（J-』）"的展开式中，常数项为.

X

26.（2020•全国•统考高考真题）”+马6的展开式中常数项是（用数字作答）.

X

27∙（2020∙全国.统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学

只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

28.（2020・天津•统考高考真题）在卜+1）的展开式中，/的系数是.

29.（2018•全国•高考真题）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位

女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）

2x-止）展开式中的常数项为

30.（2019•天津•高考真题）

31.（2018•浙江•高考真题）从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取

2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数.（用数字作答）

32.（2018•浙江・高考真题）二项式（&+4）'的展开式的常数项是.

33.（2018・天津•高考真题）在二项式（》-二=）5的展开式中，/的系数为.

三、解答题

34.(2019・江苏・高考真题)设(l+x)"=%+4》+//++α,,x","..4,"eN".己知

«3=2a2a4.

(1)求”的值；

(2)设(l+6)"=α+bG,其中α,hwN',求/-3层的值.

四、双空题

35.（2021淅江・统考高考真题）已知多项式（XT）'+（'+I）*=x4+qχ3+α2χ2+%x+4,

则a,=,a2+ai+a4=.

36.（2020浙江・统考高考真题）设（1+2*）5=卬+028+&3/+%了3+05/+&6、5,则%=：

al+a2+a3=.

37.（2019•浙江•高考真题）在二项式（√Σ+x）9的展开式中，常数项是；系数为

有理数的项的个数是.

参考答案:

1.D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种，

故所求概率P=T21-7=2

故选：D.

2.B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,

有3!种排列方式：为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位

置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5

名同学共有：3!×2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

3.B

(分析］利用赋值法可求⅜+%+4的值.

【详解】令X=1,则q+%+%+4+/=1，

令x=—1>则%—G+4—"∣+"o=(-3)=81,

故氏+%+/=---=41,

故选：B.

4.C

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组

合，排列，乘法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先

从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C；种选法；然后连同其余三人，看成四个元

素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!

种，根据乘法原理，完成这件事，共有点X4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后

利用先选后排思想求解.

5.C

【详解】将4个1和2个。随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有C=5种排法，若2个0不相邻，则有C；=10种排法，

102

所以2个0不相邻的概率为=彳.

5+103

故选：C.

6.C

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11∞1,11010,11100,

共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6种方法，

故2个0不相邻的概率为A=O.6,

故选：C.

7.C

【分析】求得（x+y）S展开式的通项公式为7λ∣=C05Ty（reN且r≤5）,即可求得［+?）

与（X+»展开式的乘积为GX6τy或CXjy+2形式，对r分别赋值为3,1即可求得dy3的

系数，问题得解.

【详解】（x+y）'展开式的通项公式为IM=C*"?'OeN且r≤5）

所以［χ+jj的各项与(χ+y)5展开式的通项的乘积可表示为：

4rr+2

=xC"-y=cR-y和=片仁尸产=qx-y

XX

33

在XT；T=C#6Ty中，令r=3,可得：xTi=Clxy,该项中∕y3的系数为10,

22

在21(M=C"4Tyr+2中，令厂=1,可得：2Lτζ=C>3/,该项中X、3的系数为5

XX

所以Vy'的系数为10+5=15

故选：C

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及

分析能力，属于中档题.

8.C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C：；

然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C；；

最后剩下的3名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有=6x10=60种.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

9.C

［分析］根据原位大三和弦满足k-j=3,j-i=4,原位小三和弦满足k-j=4,j-i=3

从i=l开始，利用列举法即可解出.

【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：k-j=3,j-i=4.

.∙.i=l,j=5,J=8;i=2,j=6,J=9;i=3,j=7/=10；∕=4J=8Λ=I1;∕=5,√=9Λ=12.

原位小三和弦满足：k-j=4,j-i=3.

i=l,∕=4,%=8;i=2,j=5，k=9；i=3,j=6,k=∖0-i=4,j=l,k=∖∖；i=5,j=8,k=i2.

故个数之和为10.

故选：C.

【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题.

10.C

【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有C；C；=3种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有A；=2种安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6种

故选：C

【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.

11.C

【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定/的系数即可.

【详解】（石-2丫展开式的通项公式为：J=仁（五=（_2）'=（-2）'@?，

令?=2可得：r=l,则V的系数为：（一2）|G=（―2）x5=-10.

故选：C.

【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出

的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和厂的隐含

条件，即”，r均为非负整数，且稔r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步

是根据所求的指数，再求所求解的项.

12.A

【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.

【详解】第4项的二项式系数为C；=与答=56,

3×2

故选：A.

13.B

【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.

【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有2'=32种方法，

21

其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以P=T=%.

32Io

故选：B

14.C

【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有C；C；&=1440种不同安排方法.

【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有C：C；种情况,

再分别担任5门不同学科的课代表，共有父种情况.

所以共有=1440种不同安排方法.

故选：C

15.A

【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、

数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有

3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算.

【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有26情况，其中6爻中恰有3个阳爻

情况有C：，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为与=之，故选A.

【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排

列问题还是组合问题.本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满

足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题.

16.D

【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.

【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不

相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是g.故选D.

【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养.采取等同法,

利用等价转化的思想解题.

17.A

【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数.

【详解】由题意得一的系数为C：+2C：=4+8=12,故选A.

【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数.

18.C

【详解】分析：写出（+∣=C>2LXm”,然后可得结果

详解：由题可得加=CHX2广J=G2∙xκ>-"

令l()-3r=4,则r=2

所以G2=C"=40

故选C.

点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题.

3

19.一##0.3

10

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙,

1,2）,（乙，1,3）,（乙，2,3）,（1,2,3）,共10种选法；

3

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率P=历.

3

故答案为：记.

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率P=历

3

故答案为：—

20.-28

【分析[

θ-ɪ]（χ+√可化为（χ+y）8-？（X+y）∖结合二项式展开式的通项公式求解.

8s

【详解】因为(x+y)=(x+y)-^-(x+>∙)∖

(J£j(x+y)'的展开式中含Vy6的项为C；x2y6-qC53y5=-28χ2y6,

所以

1-2（χ+的展开式中Vy6的系数为-28

X

故答案为：-28

6

21.

35

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出.

【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有"=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的

有帆=6+6=12个，故所求概率P='=2=三.

n7035

故答案为：ʌ.

22.8-2

【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令X=O求出旬，再令x=l

即可得出答案.

【详解】含χ2的项为：X-eɜ-%∙(-1)3+2∙C^∙X2∙(-1)2=^lx2+12x2=8x2,故％=8；

令X=0,即2=%,

令X=1,即0=4+4+%+为+4+%,

al+a2+ai+a4+a5=-2,

故答案为：8；-2.

23.15

【分析】由题意结合二项式定理可得石+W的展开式的通项为I.I=C.3'χT,令

言1=0,代入即可得解.

【详解】由题意(«+?j的展开式的通项为却=C；「Gj=C3.芳,

5—Sr

令^^=0即r=l,贝IJq∙3'=C∙3=15,

所以(6+3T的展开式中的常数项为15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

24.160

【分析】求出二项式的展开式通项，令X的指数为6即可求出.

【详解】(2r'+gj的展开式的通项为却=禺(2χ3)6-'.[Lj=26-g∙x'i,

令18-4r=6,解得r=3,

所以/的系数是2'C：=160.

故答案为：160.

25.-4

【分析】利用二项式定理求出通项公式并整理化简，然后令X的指数为零，求解并计算得到

答案.

[χi--]兀产C(∕)'1=(T)'C)””.

【详解rJ的展开式的通项

令12-4r=0,解得r=3,

故常数项为7'EI)Ch土

故答案为：-4.

26.240

【分析】写出(X2+；]二项式展开通项，即可求得常数项.

【详解】N+1]

其二项式展开通项：

目

=C；∙xl2^2r(2)f∙x^r

=C^2Y-x'2^ir

当12-3r=0,解得厂=4

4

卜+∣J的展开式中常数项是：C；∙2=Cl-16=15x16=240.

故答案为：240.

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握

(“+3”的展开通项公式(+∣=C∕"τ∕/,考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

27.36

【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合

和乘法计数原理得解.

【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区

至少安排1名同学

・•・先取2名同学看作一组，选法有：C：=6

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：国=6

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6=36种

故答案为：36.

【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使

用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

28.10

【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令X的指数为2,即可求出.

【详解】因为卜+蛾）的展开式的通项公式为

4+∣=C"5T（蛾）=ς∙2r∙√-3r（r=O,l,2,3,4,5）,令5—3r=2,解得r=l.

所以Y的系数为Cχ2=10.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.

29.16

【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从6人中任选

3人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.

【详解】［方法一］：反面考虑

没有女生入选有C：=4种选法，从6名学生中任意选3人有C：=20种选法,

故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种.

故答案为：16.

［方法二］:正面考虑

若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有C；・c；=12种；

若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有C，C：=4种，则不同的选法共有

12+4=16种.

故答案为：16.

【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有1位女生入选”的反面种数，再利用

没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法：

方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出.

30.28

【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出厂的值，再求出其常数项.

8frr84f84r

【详解1τr+l=Q(2x)-(-⅛=(-l)2-Qx-,

由8-4r=0,得r=2,

所以的常数项为(-I)?C：=28.

【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数累为0求得的.

31.1260.

【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理

计数.

详解：若不取零，则排列数为C；C；A：,若取零，则排列数为C；C

因此一共有CcA；+C；C；A；A；=1260个没有重复数字的四位数.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

⑴元素相邻的排列问题——“捆邦法”；⑵元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺

序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间

接法.

32.7

【详解】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r,

代入即得结果.

I118-4r

详解：二项式曲+景的展开式的通项公式为M)F力=G•妥∙x丁，

令号=0得r=2,故所求的常数项为C>*=7.

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略:

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出厂值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第r+1项,

由特定项得出厂值，最后求出特定项的系数.

【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到「的值，然后求解F的系数即可.

【详解】结合二项式定理的通项公式有:

令5-%=2可得：r=2,则χ2的系数为：f-l↑=IxlO=-.

2I2)$42

【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所

给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中〃和

，•的隐含条件，即"、『均为非负整数，且〃≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等))；

第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.

34.(1)〃=5；

(2)-32.

【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定小，，，"4的值，然后求解关于”的方程可得

〃的值；

(2)解法一：利用(1)中求得的〃的值确定有理项和无理项从而可得“力的值，然后计算/