高中数学选择性学案第1章1-2-2直线的两点式方程

直线的两点式方程直线的两点式、截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)两点A(a,0),B(0,b),ab≠0方程QUOTE=QUOTEQUOTE+QUOTE=1(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示?提示:与x轴、y轴平行的直线,x轴,y轴.(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示?提示:与x轴、y轴平行或重合及过原点的直线.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)不经过原点的直线都可以用方程QUOTE+QUOTE=1表示. ()(2)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)=(xx1)(y2y1)表示. ()(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.()(4)一条直线不与坐标轴平行或重合,则它的方程可以写成两点式或斜截式. ()提示:(1)×.若直线垂直于坐标轴,此时a或b不存在,不能用QUOTE+QUOTE=1表示.(2)√.方程(yy1)(x2x1)=(xx1)(y2y1)能表示包含点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在内的直线上所有点.(3)√.能用两点式方程表示说明直线一定有斜率,所以可用点斜式方程表示.(4)√.直线不与坐标轴平行或重合,说明直线有斜率,有截距,所以方程可以写成两点式或斜截式.2.在x轴和y轴上的截距分别为2,3的直线方程是 ()A.QUOTE+QUOTE=1 B.QUOTE+QUOTE=1C.QUOTE+QUOTE=1 D.QUOTE+QUOTE=1【解析】选C.由直线的截距式方程可得QUOTE+QUOTE=1.3.直线QUOTE+QUOTE=1过第一、三、四象限,则 ()A.a>0,b>0 B.a>0,b<0C.a<0,b>0 D.a<0,b<0【解析】选B.因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0.4.(教材二次开发:例题改编)已知点A(3,2),B(1,4),则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为.

【解析】AB的中点坐标为(1,3),由直线的两点式方程可得QUOTE=QUOTE,即2xy+1=0.答案:2xy+1=0类型一直线的两点式方程(数学运算)1.过QUOTE,QUOTE的直线方程是 ()A.QUOTE=QUOTE B.QUOTE=QUOTEC.QUOTE=QUOTE D.QUOTE=QUOTE【解析】选B.所求直线过点QUOTE,QUOTE,将两点坐标代入两点式,得QUOTE=QUOTE.2.已知三角形三个顶点A(5,0),B(3,3),C(0,2),则BC边上中线所在直线方程是 ()A.x13y+5=0 B.x13y5=0C.x+13y+5=0 D.x+13y=0【解析】选C.因为BQUOTE,CQUOTE,所以BC中点的坐标为QUOTE,即QUOTE.则BC边上的中线应过AQUOTE,QUOTE两点,由两点式得:QUOTE=QUOTE,整理得x+13y+5=0.3.已知点AQUOTE,BQUOTE,则直线AB的方程是.

【解析】因为直线的两点式方程为QUOTE=QUOTE,将点AQUOTE,BQUOTE代入,得QUOTE=QUOTE,整理得直线AB的方程是2xy=0.答案:2xy=0由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标.(2)根据题中的条件,找到有关方程,解出点的坐标.(3)由直线的两点式方程写出直线的方程.提醒:当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不垂直于坐标轴.若满足,则考虑用两点式求方程.【补偿训练】已知直线l的两点式方程为QUOTE=QUOTE,则l的斜率为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选A.由两点式方程QUOTE=QUOTE,知直线l过点(5,0),(3,3),所以l的斜率为QUOTE=QUOTE.类型二直线的截距式方程(数学运算)【典例】已知直线l过点QUOTE,且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍,则直线l的方程为 ()A.2xy=0B.2x+y4=0C.2xy=0或x+2y2=0D.2xy=0或2x+y4=0【思路导引】直线l在两坐标轴上的截距成倍数关系,应考虑直线过原点和不过原点两类,分别设出方程,再由直线l过点QUOTE求得直线方程.【解析】选D.根据题意,直线l分2种情况讨论:①当直线过原点时,又由直线经过点QUOTE,所以所求直线方程为y=2x,整理得2xy=0,②当直线不过原点时,设直线l的方程为QUOTE+QUOTE=1,代入点QUOTE的坐标得QUOTE+QUOTE=1,解得a=2,此时直线l的方程为QUOTE+QUOTE=1,整理为2x+y4=0.故直线l的方程为2xy=0或2x+y4=0.用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标,因此用截距式画直线比较方便.(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时,经常使用截距式.(3)当直线与坐标轴平行时,有一个截距不存在;当直线通过原点时,两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式,故解决问题过程中要注意分类讨论.过点QUOTE且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为 ()A.1 B.2 C.3 【解析】选B.由题意知直线在两坐标轴上的截距互为相反数.当直线过原点时直线方程为y=2x;当直线不过原点时设直线方程为QUOTE+QUOTE=1,又因为截距互为相反数,则b=a,将点QUOTE代入有QUOTE+QUOTE=1,解得a=1,此时直线方程为:xy+1=0.综上,满足过点QUOTE且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有2条.类型三直线方程的应用(数学运算)角度1对称问题

【典例】已知直线l:xy+3=0,一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B,又从B点反射到l上的一点C,最后从C点反射回A点,则直线BC的方程为.

【思路导引】入射光线和反射光线是关于镜面的法线对称的.【解析】作点A关于x轴的对称点A2,则A2(1,2).设点A关于l:xy+3=0的对称点为A1(x0,y0),则QUOTE解得QUOTE即A1点坐标为(1,4).由已知条件知点A1,A2均在直线BC上,所以由直线的两点式方程,得QUOTE=QUOTE,即3x+y1=0.故直线BC的方程为3x+y1=0.答案:3x+y1=0角度2最值问题

【典例】如图,已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为.

【思路导引】利用直线l过点P(2,1)得到直线在两个坐标轴上截距的关系,由均值不等式得解.【解析】设直线l为QUOTE+QUOTE=1(a>0,b>0),因为直线l过点P(2,1),则有QUOTE+QUOTE=1,三角形OAB的面积为S=QUOTEab.对QUOTE+QUOTE=1,利用均值不等式得1=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=QUOTE,即ab≥8.于是,三角形OAB的面积为S=QUOTEab≥4.当且仅当a=4,b=2时等号成立.答案:41.解决对称问题的方法两点关于直线对称,则两点连线必定垂直于对称轴,并且对称两点的中点一定在对称轴上,简称为“一中点二垂直”,这是解决对称问题通用的工具.2.计算最值问题的方法对于三角形、四边形等图形的面积,获得对应的表达式后,可以结合式子特征,应用均值不等式、二次函数等方法,求得最大(或最小)值,需注意变量的限制条件.1.入射光线从P(2,1)出发,经x轴反射后,通过点Q(4,3),则入射光线所在直线的方程为.

【解析】利用反射定理可得,点Q(4,3)关于x轴的对称点Q'(4,3)在入射光线所在直线上,故入射光线所在的直线PQ'的方程为QUOTE=QUOTE,化简得2x+y5=0.答案:2x+y5=02.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是.

【解析】直线AB的方程为QUOTE+QUOTE=1,设P(x,y),则x=3QUOTEy,所以xy=3yQUOTEy2=QUOTE(y2+4y)=QUOTE[(y2)2+4]≤3.即当P点坐标为QUOTE时,xy取得最大值3.答案:31.过两点(2,1)和(1,4)的直线方程为 ()A.y=x+3 B.y=x+1C.y=x+2 D.y=x2【解析】选A.由两点式方程可得,QUOTE=QUOTE,即y=x+3.2.直线QUOTEQUOTE=1在y轴上的截距是 ()A.|b| B.b2 C.b2 【解析】选B.令x=0,得y=b2.3.直线QUOTEQUOTE=1在两坐标轴上的截距之和为 ()A.1 B.-1 C.7 D.7【解析】选B.直线QUOTEQUOTE=1的横截距为3,纵截距为4,所以直线QUOTEQUOTE=1在两坐标轴上的截距之和为1.4.经过两点M(4,3),N(1,5)的直线交x轴于点P,则点P的坐标是.

【解析】由直线的两点式方程,得MN所在直线的方程为QUOTE=QUOTE,即y=QUOTEx+QUOTE.令y=0,得x=QUOTE,故P点坐标为QUOTE.答案:Q