5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值（1）课件高二上学期数学人教A版选择性

5.3.2函数的极值与最大(小)值（1）—函数的极值第五章一元函数的导数及其应用2024/3/26

导数在研究函数中的应用高二数学备课组引

入单调性与导数的关系：设函数y=f(x)在区间(a,b)内的导数为f′(x).如果f′(x)>0，如果f′(x)<0，如果f′(x)=0，复习:如果f(x)在(a,b)内为增函数，如果f(x)在(a,b)内为减函数，则f(x)在(a,b)内为单调递增；则f(x)在(a,b)内为单调递减；则f(x)在(a,b)内为常数函数；则f′(x)≥0在(a,b)内恒成立；则f′(x)≤0在(a,b)内恒成立.探究新知问题1

如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？单调递增单调递减我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.观察下图，我们发现，当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.Otabhh′(a)=0t<a,h′(t)>0t>a,h'(t)<0在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0.探究新知追问1：如图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？问题2对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？函数f(x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小.函数f(x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大.探究新知追问2：y=f(x)在这些点的导数值是多少?问题2对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？f′(a)=0f′(b)=0探究新知追问3：在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律?问题2对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？在x=a附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0在x=b附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0探究新知我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，

f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；

b叫做函数y=f(x)的极大值点，

f(b)叫做函数y=f(x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum).1.极值点与极值的定义：探究新知问题3极大值一定大于极小值吗？极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.

极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．极小值极大值Oax1x2x3x4bxyy=f(x)探究新知问题4若f′(x0)=0

，则x0是否为极值点?xyOy＝x3解：函数f(x)=x3，f′(x)=3x2当x=0时，f′(0)=0当x≠0时，f′(x)>0又因为函数f(x)=x3是增函数所以0不是函数f(x)=x3的极值点.追问：x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?探究新知问题4若f′(x0)=0

，则x0是否为极值点?x0是函数f(x)的极值点

f′(x0)=0

x0是函数f(x)的极值点x0左右两侧导数异号

f′(x0)=0

结论：f′(x0)=0

是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.⇏探究新知x2,x4是函数f(x)的极值点,其中x2是极大值点,x4是极小值点.追问：函数y=f′(x)的极大值点和极小值点分别是什么？x1,x5是函数y=f′(x)的极大值点,

x3,x6是函数y=f′(x)的极小值点.问题5函数y=f′(x)的图象如图所示,试找出函数f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？探究新知1.极值点与极值的定义：若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,且在点x=a附近的左侧f′(x)<0(单减),右侧f′(x)>0(单增),f′(a)=0,我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.如图(1).

若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,且在点x=b附近的左侧f′(x)>0(单增),右侧f′(x)<0(单减),f′(b)=0,我们把b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.如图(2).

(1)b(2)探究新知(3)

极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.注意：(1)

极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值；(2)

函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；即f′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.(4)

对于可导函数，若x0是极值点，则f

'(x0)=0;反之，若f

'(x0)=0，则x0不一定是极值点.探究新知Oa

x0bxy

xx0左侧

x0x0右侧f′(x)

f(x)

Oax0bxy

xx0左侧

x0x0右侧f′(x)

f(x)增f′(x)>0f′(x)=0f′(x)<0极大值减f′(x)<0f′(x)=0增减极小值f′(x)>02.判断f

(x0)是极大值或是极小值的方法：左正右负为极大，左负右正为极小左增右减为极大，左减右增为极小例题讲解例5解：x(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,＋∞)f′(x)f(x)xyO-22探究新知3.求函数的极值(点)左正右负（左增右减），取得极大值；左负右正（左减右增），取得极小值；课堂练习解：xf′(x)f(x)课堂练习解：x(－∞,－3)－3(－3,3)3(3,＋∞)f′(x)f(x)课堂练习解：x(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,＋∞)f′(x)f(x)课堂练习解：x(－∞,－1)－1(－1,1)1(1,＋∞)f′(x)f(x)课堂练习x(0,e)e(e,+∞)f′(x)＋0－f(x)当

x

变化时，f′(x)与

f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减因此，x＝e

是函数的极大值点，极大值为

f(e)＝

，没有极小值.令

f′(x)＝0，解得

x＝e.解：函数

的定义域为(0,+∞)，且.例题讲解4.与参数有关的极值问题①已知函数极值求参数例题讲解例题讲解已知函数极值情况，逆向确定函数的解析式，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．方法归纳(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．例题讲解②已知函数极值点，求参数范围例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解(1)已知函数极值点的个数求参数取值范围的一般思路：求导后分离参数，转化为直线与曲线的交点问题．方法归纳(2)对于函数无极值的问题，往往转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．例题讲解例题讲解变式1函数

在

处有极值10，则a，b的值为()

A.

或

B.

或

C.