2020-2023年高考数学真题分类汇编四 导数及其应用【含答案解析】

导数的几何意义、导数求函数的切线方程、利用导数研究恒

2020新高考2卷22

的应用成立问题

【2023年真题】

1.(2023•新高考II卷第6题)己知函数/(x)=a/-lnx在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为()

A.e2B.e

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

由题意，/'。)=4"-2..0对^^6(1,2)恒成立，构造函数80)=」7,利用其单调性，即可求解.

xxe

【解答】

解：由题意，/■'(x)=ae-'-L.0对Vxe(l,2)恒成立，

X

:.a..--,由于g(x)=—^在(1,2)单调递减，

xexe

，g(x)<g6=L

e

e

故答案选：C.

2.(2023•新课标I卷第11题)(多选)已知函数/(X)的定义域为R,/(盯)=y"(x)+x»(y),则()

A./(O)=OB./(1)=0

C./(X)是偶函数D.X=0为/(X)的极小值点

【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题主要考查抽象函数的奇偶性、函数的极值点，属中档题.

通过赋值法，可判断A8C选项.对于。选项可设常函数/(X)=0,进行排除.

【解答】

解：选项A,令x=y=O,则/(0)=0xf(0)+0x/(0),则/(0)=0,故A正确；

选项8,令x=y=l,贝ijf⑴=lx/■⑴+lx/(l),则/(1)=0,故B正确；

选项C,令x=y=-1,贝厅⑴=(-i)2x/(T)+(-l)2x/(-l),则/(-1)=0,

再令。=-1,则/(-x)=(-l)2/(x)+x2f(-l),即/(一x)=\(x),故C正确；

选项D,不妨设/(x)=。为常函数，且满足原题;■(D)=y2/(x)+xV(y),

而常函数没有极值点，故D错误.

故选：ABC.

hc

3.(2023•新课标H卷第11题)(多选)若函数/(x)=alnx+—+^3工0)既有极大值也有极小值，

xx~

则()

A.bc>0B.ab>QC.b2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查函数的极值问题，属中档题.通过求导，问题可转化成以2一法一2c=0有两个不相等的正根，通

过根的分布可判断选项.

【解答】

解：因为/(x)=alnx+2+「(a?0),所以定义域为(0,+oo),

XX

2

得f(x)='"f",由题意知ax-bx-2c=0有两个不相等的正解x,,x2.

/+Hoc>U

(A>0bjy.8ar>0

则(=«〃：(ahH，易得Z?CV0.

1>0-2rIar<0

、--->0、

a

故选BCD.

4.(2023•新课标I卷第19题)已知函数/一“，…，

⑴讨论f(x)的单调性;

3

⑵证明：当a>0时，/(x)>21na+1.

【答案】解:(X)f\x)=aex-1,

当a=0时/'(X)=-1<0,/(%)在(e,+8)单调递减,

当a<0时叱<0，1(无)<0,“X)在(F,+8)单调递减,

当a>0时，令/'(x)=0,x=-Ina,xe(-8,-lna)时，f'{x)<0,f(x)单调递减.

xe(-hia,+8)时/'〈x)〉。，/(x)单调递增,

故当q,0时/(x)在(-℃,+8)单调递减，

当a>0时,，/(x)在区间(YO,-Ina)单调递减，在区间(-Ina,+8)单调递增.

(2)由⑴知当。>0时，/(x)在区间(TO,-Ina)单调递减，

在区间(Tna,+8)单调递增.故人一/Ihld;“+山”,1,

令g(a)=(«*+Itia+1)-(2In<t-g)a'-,

g，(a)="2a2_」1，令g，(a)=O,

a

因为a>0,故〃=——，

2

g(a)在区间(0,业)单调递减，在区间(立,+8)单调递增,

1>,即时&过恒成立,

33

即/(x)min>21114+5，即当。>0时，/(x)>21na+-.

【解析】本题考查了函数的求导，利用导数分析函数的单调性，根据函数的极值、最值证明不等式，属于

中等难度.

(1)先对函数/(x)求导后，得到f'(x)=ae*-1,根据/>0得出分a=0、a<0、a>0进行讨论，得出区,0

时/(X)在(-8,+8)单调递减.4>0时求出函数零点，再依据导函数正负判断函数单调性.

3

(2)要证a>0时\.f(x)>21na+］结合⑴讨论结果知/(x)的单调性，得到/(x)在kina处取得最小值

3

2

fWmin=a+\na+l,只需证明片+]na+1>21na+]即可•

构造少“I：<r-ln<i-1)(2Ino.；)，:Inn:，只需证明8(。)而„>0,进一步利用导数得出

g(a)在区间(().苧)单调递减，在区间(警,+8)单调递增，求出g(a)最小值

9(。).=9(苧)=E苧'发现-In曰>0,即证g(a)恒大于0,

3

即证当a>0时，/(x)>21na+-.

5.(2023•新高考II卷第22题)(1)证明：当0<x<l时，x-x2<sinx<x^

(2)己知函数/(x)=c、osox-/"(l-x2),若％=0是f(x)的极大值点，求a的取值范围.

【答案】⑴证明：构造函数g(x)=sz>u-x+x2,

贝ijg'(x)=cosx-1+2x,

令h(x)=g'(x),

则h'(x)=-sinx+2>0,

所以h(x)在(0,1)上单调递增，则g'(x)>g'(0)=0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0,即i2<sg

构造函数G(x)=x-sinx,则G'(x)=1-cosx>0,

所以G(x)在(0,1)上单调递增,则G(x)>G(0)=0,即sinx<x,

综上，当0<x<l时，x—x2<sinx<x：

(2)解:由1一炉>(),得函数/(幻的定义域为(一1,1).

又/(-幻=/(幻，所以/(x)是偶函数，所以只需考虑区间(0,1).

/f(x)=-asinax+--,

2+2工2

令F(x)=f(x),则F'(x)=-a2cosax+....-,

(1一x)~

其中fi⑴/•(<)»0/1II2,

①若”02-.r-ih记—夜<a<血时，易知存在5>0,使得xe(O⑶时，.-II,f'(x)

在(0⑶上递增，.•./«)>/'(0)=0,

・•・/(X)在(0»)上递增，这与x=0是/(x)的极大值点矛盾，舍去.

②若F对2--r'。，记a<—0或a>0时，存在。>0,使得(-S',力时，FV：0,f'(x)

在(->»')上递减，

注意到尸(0)=0,..・当一3'<》<0时，f->n：当0<x<5'时，/'.n<：II,

满足x=0是/(x)的极大值点，符合题意.

③若门山II,即a=±J5时，由/(x)为偶函数，只需考虑。=拒的情形.

此时f'(x)=-41sin(V2x)+一二，XG(0,1)时，

1-x

2x1

f'(x)>-2x+--=2x(--l)>0,A/(x)在(0,1)上递增，

1-x-1-xr

这与X=O是/(X)的极大值点矛盾，舍去.

综上：a的取值范围为(-8,-拉)5&,+%).

【解析】本题考查利用导数证明不等式，利用导数研究函数的极值，属于压轴题.

⑴构造函数g(x)=si〃x—x+x2,G(x)=x-Sinx,利用导数研究函数的单调性，即可证明；

(2)由题意知/(x)是(-1,1)上的偶函数，求导，利用极大值点的特征分类讨论，求得参数的取值范围.

[2022年真题】

6.(2022•新高考I卷第7题)设a=01e%b=f,c=-ln0.9,贝女)

A.a<h<cB.c<b<aC,c<a<hD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数比较大小，关键是构造合适的函数，考查了运算能力，属于较难题.

先构造函数/(x)=x+ln(l—x),xe(0,0.1],利用导数研究单调性比较小b,再构造函数

g{x}=xex+ln(l-x),xe(0,0.1J,利用导数研究单调性比较a,c即可.

【解答】

解：a=0.1e°」，b=c--ln(l-O.l),

1-0.1

①Ina—In。=0.1+ln(l—0.1),

令fM=x+ln(l-X),XG(0,0.1],

则ra)=i---=—<o,

l-x1-x

故/(X)在(0,0.1]上单调递减，

可得/xo.l)<f(0)=0,即lna—ln><0,所以a<b；

(2)a-c=O.le0'+ln(l-0.1),

令g(x)=xe*+ln(l-x),xe(0,0.1],

„1(1+X)(1—X)£X—1

则ng\x)^xex+ex-----=-——-——------,

1—x1—X

令k(x)=(1+x)(l—x)ex-1,所以k'(x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以仪x)在(0,0」上单调递增,可得仪x)>A(O)=O,BPg'(x)>0,

所以g(x)在(0,0J上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a—c>0,所以”>c.

故c<a<b.

7.(2022•新高考I卷第10题)(多选)己知函数/(x)=x3—x+l,则()

A./(x)有两个极值点B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以

及数形结合思想，属于中档题.

【解答】

解：f(x)-x3-x+l=^>f'(x)=3x2-1,令/'(x)=0得：%=±—,

3

f\x)>0=x<~~~或x>--；r(x)<0=>~~Y<x<,

所以/（X）在（_00,_*:）上单调递增，在上单调递减，在（＞,+oo）上单调递增,

所以/（X）有两个极值点（x=-弓为极大值点，x=等为极小值点），故A正确;

所以/（x）仅有1个零点（如图所示），故B错;

又/(—x)=—x3+x+l=/(—x)+/(x)=2,所以/(X)关于(0,1)对称，故C正确;

对于。选项，设切点P（Xo，为），在尸处的切线为y-3-玉＞+1）=（3片一l）（x-x0）,

即y=(3x()—l)x—2片+1,

则|一3年2-"1==20,

若y=2x是其切线,方程组无解，所以。错.

8.（2022新高考I卷第15题）若曲线y=（x+//有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.

［答案］(Yo,T)=(0,yo)

【解析】

【分析】

本题主要考查过曲线外一点的切线问题，属于中档题.先求导得到y'=(x+a+l)e*,设出切点，将问题转

化为方程x+a=x(x+a+l)在(YO,0)D(0,3)上有两个不相等的实数根问题，化简即可求解.

【解答】

解：y=(x+a+l)e”,设切点为(3,%),

故&=5+。+1)1，

(x()+a)e*,,、*

即———--=(/+a+1)/。.

由题意可得，方程x+a=x(x+a+l)在(-8,0)7(0,小》)上有两个不相等的实数根.

化简得，x2+cvc-a=O>^=a2+4a>0,解得。<-4或。>0,显然此时。不是根，故满足题意.

9.(2022•新高考H卷第15题)曲线y=In|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为,

【答案】y=-y=--

ee

【解析】

【分析】

本题考查函数切线问题，设切点坐标，表示出切线方程，带入坐标原点，求出切点的横坐标，即可求出切

线方程，为一般题.

【解答】

,1、

解：当x〉0时，点(玉，lnxj(x>0)上的切线为y—ln玉=一(z%一西).

x\

若该切线经过原点，则ln%-l=0,解得x=e,

Y

此的切线方程为>=±.

e

当尤<0时，点(尤2,E(一％))(x2<0)上的切线为y-ln(-x2)=—(x-x2)

若该切线经过原点，贝iJln(-X2)-l=0,解得x=-e,

X

此时切线方程为丁=一一.

e

10.(2022•新高考I卷第22题)己知函数f(x)=e'-依和g(x)="-lnx有相同的最小值.

⑴求〃：

(2)证明：存在y=8直线，其与两条曲线y=/0)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三

个交点的横坐标成等差数列.

【答案】

解：(1)由题知/'(x)=e*-。，g\x)=a--,

x

①当40时，r(x)>0,,g'(x)<0,则两函数均无最小值，不符题意；

②当a>0时，/(x)在(f,In单调递减，在(Ina,一)单调递增；

g(X)在(0,3单调递减，在(L,+8)单调递增；

aa

故/(x)min=/(lna)=a-alna，g(jr)min=g(-)=l-ln-,

aa

所以a—QInQ=1-In,即In。———-=0,

aa+1

令p(a)=lna------,则〃(。)=一一'；----=--------v>0,

a+1a(a+1)a(a+l)-

则p(a)在(O,+8)单调递增，又。(1)=0,所以a=L

(2)由(1)知，/(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,

且了(元)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；

g(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+c。)上单调递增，且=g(X),“M=1.

①8<1时，此时/(X)min=g(X)min=1>b，显然>=。与两条曲线V=，(为和丁=g。)

共有。个交点，不符合题意；

②6=1时，此时/(XLin=g<>)min=1=8，

故y=6与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；

③b>l时，首先，证明y=8与曲线y=/(x)有2个交点，

即证明产(X)=/(X)-。有2个零点，/'(x)=/'(x)=ex-\,

所以F(x)在(-8,0)上单调递减,在(0,-W)上单调递增，

又因为尸(一加=，">0,F(0)=l-fe<0,F(b)=eb-2b>0,

(令3=e'-2b,则/(〃)=/—2>0,t(b)>t(l)=e-2>0)

所以b(x)=/(x)-〃在(-8,0)上存在且只存在1个零点，设为％,在(0,e)上存在且只存在1个零点，

设为9.

其次，证明y=6与曲线和>=g0)有2个交点，

即证明G(x)=g(x)-人有2个零点,G'(x)=g'(x)=1--,

X

所以G(x)(0,l)上单调递减，在―)上单调递增，

又因为G(e-")=e-〃>0,G(0)=l-ft<0,G(2b)=b-ln2h>0,

(令〃S)=8—ln2b,则〃S)=1一!>0,〃S)>〃(1)=1-ln2>0)

b

所以G(x)=g(x)-方在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为七，在(1,3)上存在且只存在1个零点，设

为

再次，证明存在使得马=%：

因为/(马)=G(%3)=0,所以/?=£*一工2=%3一出七，

e

若％=与，则"-A:2=x2-Inx2,即e/-2X2+Inx2=0,

所以只需证明2x+lnx=0在(。，1)上有解即可，

即(p(x)=ex-2x+lnx在(0,1)上有零点，

I-L2

因为夕(一y)=e"—-—3<0»*(1)=e-2>0,

ee

所以火x)=e"—2x+lnx在(0,1)上存在零点，取一零点为工。,令々二七二天)即可，

此时取

则此时存在直线y=8,其与两条曲线y=F(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，

最后证明x,+X4=2X0,即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，

因为/(%)=/(马)=G(Xo)=

F(AO)=O=G(X3)=G(X4)

所以F(JC,)=G(A^)=F(lnx0),

又因为尸(x)在(-oo,0)上单调递减，x,<0,0<x0<lBPlnx0<0,所以玉=lnx°，

同理，因为尸(不)=G(e'。)=G(z)，

又因为G(x)在(l,+o。)上单调递增，天〉0即6~>1，内>1,所以％4=*，

xXu

又因为e0-2x0+Inx0=0,所以％+/=e+lnx0=2x0,

即直线y=8与两条曲线y=/(x)和y=g(x)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【解析】本题主要考查了利用导数研究函数单调性、最值，函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于难

题.

11.(2022•新高考H卷第22题)已知函数/(x)=xe"-e'

(1)当a=l时，讨论/(x)的单调性；

(2)当x〉0时，求实数。的取值范围；

111,,八

(3)设〃eN*，证明：r—■+7-7-++r；.>ln(n+l).

Vl2+1V22+2\Jn2+n

【答案】

解：(1)a=1=f(x)=xex-ex=(x-l)eA=f'(x}=xex

当xe(-8,0)时，/'(x)<0,/(x)单调递减;

当XG（0,+O0）时，f'（x）>0,/（x）单调递增.

⑵令g(X)=/(X)+1=xe"'-"+1(通)ng(x)g(0)=0对Vx..0恒成立

Mm

又g'(x)=e+axe-e'=>g'(0)=0

令h(x)=g'(x)nh'(x)=aeax+a(em+ore")-e*=a(2e“‘+axem}~ex,则"(0)=2a-\

g(x)8(())

①若/i'(0)=2a—l〉0,即a>,，A'(0)=lim'~=iim11^2>0

23>+x—0XT0+X

所以+'o>。,使得当」2时，有固3>008，(幻>0=8(；1)单调递增=>8(/)>8(0)=0,矛盾

X

②若/i(0)=2a-L,0，即a,g时，

ax+ln(l+av)xX+W+x00

g'(x)=e“,+ar*-e'=e-e^^-e1吟—e'=0ng(x)在10，+)上单调递减，

g(x),,g(0)=0,符合题意.

综上所述，实数。的取值范围是a,'.

2

⑶求导易得f」>21nt[t>1)

t

令/=Jl+，nJl+工--=J=>21nJl+-^>-j=^=>ln(l+-)

\n\nI1Vn/1n

Vnyn

1.,72+1<1([k+123〃+l[

=>「—>皿---)=>X——>L3-^)=ln(-------)=In(〃+1)

\)n~+nn*=i\k~+k*=ik12〃

111,7

即下—+/-；♦-+…+/,>ln(〃+l),证毕.

Jl~+1V2+2yjn~+n

【解析】本题考查了利用导数判断或证明已知函数的单调性和利用导数解（证明）不等式，属于难题.

[2021年真题】

12.（2021•新高考1卷第7题）若过点（。,份可以作曲线y=e，的两条切线，则（）

A.eb<aB.e°<hC.Q<a<ebD.0<b<e"

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查曲线的切线问题，利用导数的几何意义列式，构造新的函数保证其有两解，即可得出结论.

【解答】

解：设切点为」，，根据两点之间斜率和导数的几何意义，

易知(二2=e%,整理得：人-玉>源+。*=0有两解，

x0-a

令g(x)=e*-b-xex+aex,

g'(x)=(a-x)ex,易知g(x)最大值为g(a).

即":uj'h'it■tit:'I),

解得e">b，

又因为当x趋近正无穷时g(x)<0,

当x趋近负无穷时，g(x)趋近一匕<0,则〃>().

综上，0<b<ea

故选D

13.(2021•新高考I卷第15题)函数/(x)=|2x—1|-21nx的最小值为.

【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查分段函数最值问题，对原函数进行分段讨论，利用导数判断函数单调性，比较两段定义域内最小

值的大小，即可求解.

【解答】

解：已知函数//L1,易知函数定义域为(0,+s),

①：当xw(0,3时，(：：1L21n.r,

2,

所以在xe(0,；l单调递减，//I„/(；)21n2.

②当xe&M）时，2.I2山，所以（（力=2==生心，

2xx

所以/（幻在xe（g,l］单调递减，在XG（l,+oo）单调递增，，“「11

又因为l<21n2,所以最小值为1.

故答案为1.

14.（2021•新高考H卷第16题）已知函数」1口U/_11,函数/（x）的图象在点

A（玉,/（%））和点3（%2，/（%2））的两条切线互相垂直，且分别交了轴于〃，N两点，则愣^取值范围是

【答案】（0,1）

【解析】

【分析】

本题考查学生利用导数研窕函数的能力，考查了直线的方程和斜率以及两点距离问题，属于拔高题.

结合导数的几何意义可得看=0,结合直线斜率及两点间距离公式可得11/v.--川

B.\、r”L,化简即可得解.

【解答】

解：由题意，八X「1「*.1:，则f…11'",

xX1

所以点Ig1，।和点。11,kAM=-e\kBN=e,

所以—e""=-1,%）+x2=0,

所以.1.1/J1••，J.I.U«'•rJ-j♦1-li,

所以」V、；-<■'：r1+<--t>

同理li\y1■-j：,

故答案为：⑴.口

15.（2021•新高考I卷第22题）已知函数/（x）=x（l-Inx）.

⑴讨论了(X)的单调性.

(2)设°,人为两个不相等的正数，且。lna—alnb=a—Z?,证明：2<，+,<&

ab

【答案】

⑴解:/⑴的定义域为Hx),

/|/IInJ,

由I"•)・二。解得<>1,

由「解得Ovx<l,

.在111上单调递增，在」♦、।上单调递减；

(2)证明：由h\na—a}nh=a—b^^———-^—=»

abba

不妨设玉=—,X=—,且0<玉<%2,

a2h

..J-।(1InJ)I/1In/J即/I/J,即证明2<%+%<0,

由/。)在川1|上单调递增，在1+、i上单调递减，且/「j/=」，

可得0<<1<x2,

先证明玉+W>2,

令.।/(2-J\-z(I-lux)-(2-J)[1-iti'2，i,0<x<2,

g(x]-f(jr)—f(2—J)=~Inz-ln(2-zl---1-+1]>0,

一夕”在巾21上单调递增，

又-0<Xj<1<x2,

..V：<•••;,।二。，

../l.ri/r-3<<1,即/，：/>•J：2ri),

由⑴可知/(X)在U.・X)上单调递减,

X2>2-Xj,即％+%2>2；

下面再证明%+W<6,

不妨设了2=及1，则f>1，由J4<11可得

tint

H(1/I口t；1.1.!.•.I,化简Inx,=1-T^T

要证玉+々<6,即证，r，即证.”」「1hl.1-0.

即证1-当•VI-lu(ITI,即证加"+')<—

t1tt

设/，nJ；,f>l,

1----Inf

爪)=_I_

(1-1)

令1』r,f>1,

，小11I1

y(0»-5--«-5—

..1在、1上单调递减，

«'liU,

1----lut

h'm-f--<0,

(t-I)25

.」，“在，I-、1上单调递减，

AUI,即山<—，

tt1

xt+x2<e,

…11

故2<一+一<e.

ab

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，及利用导数证明不等式，属于拔高题.

(1)求导，解不等式「一•"，f"•"即可判断f(x)的单调性；

(2)先对blna—aln/?=a-8左右两边同除以碗，化简可得-：二1,不妨设

玉=」，且0<王<x,,-”，，1,要证2<L+,<e,即证2<%<e,先证明％+々>2,

abab

即证/(△)<〃2-即证/(4)</(2-h),构造函数6工)=/(*)一/(2—7)，即证明加力)<0,利

用导数即可证明；

再证明玉+友2<6，不妨设入2=a1，则f>1，由”.11.1!|皿」1可得坨玉=1-----,即证

，一1

即证加"+')<型,构造加八—,可得/，")单调递减，即可证得

t1/t1t1

%+尤2<e.

16.(2021•新高考II卷第22题)已知函数/(幻=。-1)产一初2+儿

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)有一个零点.

厂、1f，.

Qy—〈凡，--，/?〉2。；

22

(2)0<6?<—,/?„2a.

2

【答案】

解：(1)由函数的解析式可得：「，，，："I,

当4,0时，若」/x.M,则/"」)./»单调递减，

若xw(O,+8),则/।t，，单调递增；

当0<。<!0寸，若」「。」一单调递增，

2

若J，”入川I,则/’r•”/，，单调递减，

若xe(O,+8),则/「单调递增；

当时，f，Uj；rl在R上单调递增；

2

当时，若J「X.IH,则/■II./.，单调递增，

若」-I.22,I,则，，,,/'*单调递减，

若」：-\1,则/-H./…单调递增；

(2)若选择条件①：

1/

由于上<小—,故1<2〃,，/,则卜2al./UHb10,

22

<0,

由⑴可知函数在区间：II]上单调递增，故函数在区间，：\,山上有一个零点.

/(ln(2o))-Zi；hi(2a)I](i[ln(2a)|*+b

>2o[ln(2a)-1]a(ln(2a)