电路第七章一阶电路和二阶电路的时域分析

第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7.1动态电路的方程及其初始条件1.动态电路含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。过渡过程产生的原因:电路内部含有储能元件L，C。电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。五.电容的伏安关系1.电容中的电流

(微分关系)a.合上开关：电压值渐渐增到Us充电充电完毕现象:充电AVVUsRs+-SCAVUsRs+-AVSCRb.把电压源去掉，换上一个电阻：电压值渐渐减小到零放电放电完毕放电以上现象的结论：(２)电容器支路有电流，不一定有电压。(３)只有当电容器两端电压变化时，才有电流。(１)电容器两端有电压，不一定有电流。AVVA六.电感的伏安关系1.电感中的电压

(微分关系)a.开关合上：现象:b.开关打开：灯不会立刻亮,要过一会才亮。灯不会立刻熄灭,要过一会才熄灭。结论：电感上的电流不能突然变化+_usLSR+_usLSR2.电路的初始状态（1）把某一时刻的电容电压uc(t)或电感电流iL(t)称该时刻的电路状态。（2）初始时刻t0的iL(t0)和uc(t0)称电路的初始状态。

L

(0+)=

L

(0-)iL(0+)=iL(0-)qc(0+)=qc

(0-)uC

(0+)=uC

(0-)3.换路定律换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。4.电路初始值的确定10V+-R1LR0.1HiL(t)1

4

t=0已知开关闭合前电路已达到稳定，求开关闭合后各电压、电流的初始值。2.作t=0+时刻的等效电路。解：

1.

已知t=0-时，电路达到稳定，iL恒定，uL=0,（L→2A的电流源）10V+-R1RiL(0+)1

4

2Ai(0+)i1(0+)uL(0+)+-例7.1:

(t=0-

为换路前的瞬间,t=0+为换路后的瞬间)L→短路。10V+-R1RiL(0+)1

4

2Ai(0+)i1(0+)uL(0+)+-3.根据t=0+时的等效电路，求各量的初始值。例7.2:已知开关打开前电路已达到稳定，求开关打开后各电压、电流的初始值。10V0.1μf20KΩ30KΩ解：

1.t=0-时，电路已达到稳定，uC恒定，iC=0,由知2.作t=0+时刻的等效电路。（C→6V的电压源）10V20K30K6V+-RiC(0+)i1(0+)iR(0+)t=0

C→开路。3.根据t=0+时的等效电路，求各量的初始值。10V20K30K6V+-RiC(0+)i1(0+)iR(0+)求初始值的步骤:1.在换路前电路中,求uC(0－)和iL(0－)；由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。２.画0+等效电路。３.由0+等效电路，求所需的初始值。b.电容用电压源代替，电感用电流源代替。a.换路后的电路例7.3:+-10ViiC+uC-S10k40k(1)由0-电路求uC(0-)uC(0-)=8V由换路定律uC

(0+)=uC

(0-)=8V(２)由0+等效电路求

iC(0+)+-10ViiC10k+-8V解：+-10V+uC(0-)-10k40k已知开关打开前电路已达到稳定，求开关打开后的

iC(0+)

。例7.4:iL(0+)=iL(0-)=2At=0时开关闭合,求uL(0+)（１）求由换路定律:解：iL+uL-10VS1

4

L（２）0+等效电路2A+uL(0+)-10V1

4

10V1

4

iL(0-)例7.5:iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=-RIS求iC(0+),uL(0+)解:（1）由0-等效电路（2）由0＋等效电路S(t=0)+–uLiLC+–uCRISiCL+uC(0-)-RISiL(0-)+–uL(0＋)

RIS+–RIS

iC

(0＋)

例7.7:求S闭合瞬间各支路电流和电感电压。iL+uL-LS2

+-48V3

2

C解:由0-电路得：+－uCiL2

+-48V3

2

由0+电路可得：12A24V+-iiC+uL-+-48V3

2

7.2一阶电路的零输入响应零输入响应：是指电路没有外加激励时的响应。由初始时刻电容中电场的储能，或电感中磁场的储能引起的。us=u0+-CRS1S2i(t)t=01.t<0时，C被充电为u0。因C上的电压不能突变，uc(0+)=u0，3.t0时，换路后……。

2.t=0时，换路的瞬间，充电i(t)=u0/R。uc(0)=u01.RC电路的零输入响应：(由uc(0+)产生的响应)由KVL:uR–uC=0uc(0)=u0+-CRic(t)uc(t)+uR-由元件的性质：代入上式特征方程:特征方程根:一阶齐次方程∴解得：得:初始条件结论:t(s)uc(t)04

3

2

u00.368u00.0184u0uc(0)=u0+-CRic(t)uc(t)+uR-t(s)ic(t)04

3

2

uc不能跃变，ic可以跃变。2.时间常数

RC电路的零输入响应uc(t),ic(t)都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由

决定。

=RC（秒），

越小，uc(t),ic(t)衰减的越快。3.RC电路能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：uc(0)=u0+-CRic(t)uc(t)+uR-3.RL电路的零输入响应：Is=I0

+uL(t)-LRS1S212iL(t)t<0时：t=0iL(0)=I0

+uL(t)-LRiL(t)+-uR由KVL:uL–uR=0由元件的性质：代入上式得：初始条件特征方程：

特征方程根：

t(s)iL(t)04

3

2

I0t(s)uL(t)04

3

2

结论:iL不能跃变，uL可以跃变。-RI0时间常数

=L/R=LG（秒）5.RL电路能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：

+uL(t)-LRiL(t)+-uR4.总结:A.零输入响应与uc(0),iL(0),

有关。B.零输入响应的一般形式:

=LG

=RCC.零输入响应都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由决定,越小，uc(t),iL(t)衰减的越快。t(s)f(t)0f(0)4

D.时间常数的求法:

在换路后(即)的电路中求。

R是从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。例7.8:解:

时的电路为:uc(t)+-CR2R1时,S打向b点,求uc(t)。R已知:Uuc(t)+-CR2Sa

R3bR1例7.9:时，S打向b点，求iL(t)。解:

20

LiL(t)10

10

1H10VSa

b20

LiL(t)10

10

1HR

时的电路为:例7.10:电路中的电容初始电压为24V，求S闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解:等效电路分流得：i3S3+uC2

6

5F－i2i14+uC5F－i1

7.3一阶电路的零状态响应一.RC电路零状态响应

动态元件本身没有储能uC(0)=0，或iL(0)=0。响应仅与外加激励有关。1.RC(并联）电路的零状态响应+-CRic(t)uc(t)iR(t)Sis(t)=Ist=0时,开关打开。+-CRic(t)uc(t)iR(t)is(t)=Is因电容上的电压不能突变∴t=0+时，全部电流都流过C，使C充电，R上没有电流。∴t→∞时,C上没有电流，uC恒定，C相当与开路，全部的电流都流过R。+-CRic(t)uc(t)iR(t)is(t)=Is由KCL:ic+iR=Is由元件的性质：代入上式得初始条件一阶非齐次方程

电容电压的变化率：暂态响应

稳态响应

暂态响应稳态响应

完全解:稳态时，uc恒定，电容相当于开路。解得:方程解有两部分：齐次方程解非齐次方程特解固有响应强制响应电路中各输出波形：+-CRic(t)uc(t)iR(t)is(t)=Ist(s)04

t(s)04

IS.RISISt(s)04

2.RC(串联）电路的零状态响应uc(t)+-CUSR+uR-+-由KVL:uR+uc=US初始条件暂态响应：

稳态响应：

完全解:稳态时，uc恒定，电容相当于开路。解得:t=0uc(t)+-CUSR+uR-+-u

C(∞)4

t(s)0uc(t)t(s)04

ic(t)US/R3.能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗能量：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。uc(t)+-CUSR+-二.RL电路的零状态响应t=0uL(t)+-USR+uR-+-LiL(t)由KVL:uL+

uR=US初始条件暂态响应：

稳态响应：稳态时，iL恒定，电感相当于短路。

=L/R=LG解得:

完全解:2.RL(并联）电路的零状态响应RiR(t)ISuL(t)+-LiL(t)解：暂态响应：

稳态响应：稳态时，iL恒定，电感相当于短路。

=L/R=LG由KCL:iR+iL=IS初始条件t=0解得:

完全解:三.总结:A.零状态响应的一般形式:

=LG

=RCB.零状态响应都是按指数规律上升的，上升的快慢由

决定,

越小，uc(t),iL(t)上升的越快。t(s)04

f(t)例7.11:uc(t)+-2

u02F+-1

1VUs已知uC(0)=0，t=0时开关合上。求：t

0时的uC(t)，u0(t)。解法一：t=0稳态时,电容相当于开路。解法二：uc(t)+-2

u02F+-1

1VUs时的戴维宁等效电路：uc(t)+-2/3

Req1/3VU0C求u0(t)要回到原电路稳态时,电容相当于开路。+uoc

-

18VS1

1.2

5

iL(t)L10Hi(t)4

例7.12:已知t=0时开关合上。求：t

0时的iL(t),i(t)。解:

t

0时,从L两端看进去的戴维宁等效电路：t=05

Req15VU0CiL(t)L10H稳态时，电感相当于短路。××+U0C

-求i(t)要回到原电路t(s)04

2.520.518VS1

1.2

5

iL(t)L10Hi(t)4

+u(t)-

7.4一阶电路的全响应已知：S(t=0)+-CRuc(t)+–uRiUS+-1.全响应若US=0:零输入响应零状态响应完全响应

完全响应=零输入响应+零状态响应若

:USU0t(s)04

1+21212例7.13:uc(t)+-5FUSRiC

+-1

12V已知：uC(0)=4V,求：t0时,uC(t)。解：零输入响应:uc(0)=4V+-5FRiC

1

零状态响应:uc(t)+-5FUSRiC

+-1

12Vuc(0)=0完全响应:例7.14:已知：uC(0)=1V,求：t

0时,i(t)。解：1.零输入响应:uc(t)+-1FRiC

+-1

10V1Ai(t)

uc1(t)1FR1

+-+-1FR1

1A2.零状态响应:（两个电源，用叠加定理）1A单独作用：10V单独作用：+-1FUSR+-1

10V完全响应:uc(t)+-1FRiC

+-1

10V1Ai(t)

2.三要素法三要素为：三要素法是一种很重要的分析方法。它适用于在直流电源作用下，有损耗的一阶电路（既有电阻的电路，只有这样的电路才能进入稳态）。

时间常数=RC,=L/R

f(0+)初始值f()稳态值稳态时,电容相当于开路。稳态时,电感相当于短路。

（同一电路相同）1.f(t)增长的情况：

RC电路或RL电路在直流输入的情况下,（包括零输入）电路的电压或电流无非是按两种规律变化，一是指数衰减，二是指数上升。t(s)04

初始值为零时，f(0+)=0零状态响应t(s)04

初始值不为零时，完全响应2.f(t)衰减的情况：t(s)04

稳态值为零时，f()=0零输入响应t(s)04

稳态值不为零时，f()0完全响应

分析电路时，只需求出f(0+)﹑f()

﹑

这三个要素就能画出波形，并能迅速写出相应的表达式。总结：t=0+

﹑t=∞时的等效电路电压、电流的初始值，稳态值的计算：+-+-+-例7.15:+-3Fuc(t)IS1

2

1A已知开关闭合前电路已达到稳定，用三要素法求uC(t)。t=0解：

1.求uC(0+)

:t=0-时，电路已达到稳定，C→开路。+-uc(t)IS1

2

+-2.求：t→∞时，C→开路+-3Fuc(t)IS1

2

3.求τ：t(s)024682/3V2V或：例7.16:已知:t=0时S1合上，t=t1时S2合上。求iL(t)，并画出波形。解：

1.

t=0时S1合上t=0-时:t→∞时，L→短路VSS2R1R2LS1iL(t)t=0VSR1R2Li’

L(t)2.t=t1时S2合上t=t1t→∞时，L→短路VSS2R1R2LS1iL"(t)设S2合上前为：t=0-S2R2LiL"(t)t1

4τ14τ2t(s)0输出波形：10tt££()tiL'21RRVS+例7.17:10V10

10

+uL(t)-2H+-0.5uL(t)10V10

10

iL(0-)t=0求t0时,uL(t)。(a).t=0-时，电路已达到稳定，即t→∞时，L→短路。uL(0-)=0,∴受控源也为零。解：1.

先求uL(0+)（L→1A的电流源）10

+-+-0.5uL(0+)1AiL(0+)uL(0+)10V10

10

+uL(t)-2H+-0.5uL(t)3.

求τ(a).

先求RR+u(t)-10

+-0.5u(t)i(t)t10

+-uL(∞)2.

求uL(∞)t→∞时，L→短路。∴受控源也为零。另解：先求iL(t),在求uL(t)。10V10

10

+uL(t)-2H+-0.5uL(t)t=010V10

10

iL(0-)

t=0-时，电路达稳定，L→短路。uL(0-)=0,∴受控源也为零。1.

求iL(0+)2.

求iL(∞)t→∞时，L→短路。∴受控源也为零。10

iL(∞)3.

求τ方法同上：用三要素法求响应，不需先求动态变量uc(t),iL(t)，只需求出f(0+)，f()，

这三个量就能写出相应的表达式：一阶电路作业7-1（b），7-5，7-8，7-12，7-14，7-19，7-207.5二阶电路的零输入响应一.RLC电路微分方程的建立由KVL:代入上式(串联电路选uC为求解变量)t=0

uC(t)-+CLR+-+-uL(t)uR(t)i(t)特征方程为：特征根为：二.零输入响应的三种情况P1、P2为不相同的负实数；P1、P2为共轭复数；临界情况（临界阻尼）非振荡放电过程（过阻尼）P1、P2为相同的负实数；振荡放电过程（欠阻尼）uC(t)-+CLR+-+-uL(t)uR(t)i(t)1.过阻尼情况P1、P2是不相同的负实数；联立两式可求得A1、A2例7.1：已知uc(0)=0，iL(0)=1A，US=0，求uc(t),iL(t)，t≥0。uC(t)+-1FUS1H+-3ΩiL(t)解：电路的微分方程为：解得：1212210.447t(s)01tm20.171t(s)01.17tU0uctm2tmuLic∴电路的响应是非振荡性的。t=0

uC(t)-+CLR+-+-uL(t)uR(t)i(t)iC为极值时(即uL=0时)的tm的

t,计算如下:由duL/dt可确定uL为极小时的tn.能量转换关系RLC+-0<t<tmuc减小，i增加。t>tmuc减小，i减小.tU0uctm2tmuLicRLC+-2.临界阻尼情况P1、P2为相同的负实数；电路的响应依然是非振荡性的。联立两式可求得A1、A2例7.2：e-2tt(s)0210.51.5iL(t)A13244t

已知uc(0)=-1V，iL(0)=0，US=0，求iL(t)，t≥0。uC(t)+-1FUS1/4H+-1ΩiL(t)解：电路的固有频率为：3.欠阻尼情况P1、P2为共轭复数其中：At0A2A1Aθω，ω０，δ间的关系:δωω0

t=0时uc=U0uc零点：

t=-，2-...n-t-2-2

0U0uct-2-2

0U0uc

icuL零点：

t=，+，2+...n+ic零点：

t=0，，2...n

，为uc极值点ic极值点为uL零点。能量转换关系0<t<<t<--<t<RLC+-RLC+-RLC+-t-2-2

0U0uc

ic4.R=0,P1、P2为虚数；（无阻尼）等幅振荡tuctLC+-总结：串联选uC为求解变量P1、P2为不相同的负实数；（过阻尼）P1、P2为共轭复数；（欠阻尼）P1、P2为相同的负实数；（临界阻尼）非振荡非振荡衰减振荡uC(t)CL+-RuL+-例7.3:C1FUS1H+-2Ω求在原电路增加一个元件后，电路的状态。临界阻尼加C0后：C0过阻尼A图解：10-2FUS1μH+-0.02Ω0<α<1B图临界阻尼加受控源：用外加电压法求R0=U0/II+i=αi∴I=(α－１)i又：U0=-0.02i∴电路从临界阻尼→过阻尼αiiU0+-0.02ΩαiiI0<α<1例7.4:5Ω20Ω10Ω10Ω0.5HμF10050V+-uc+

-t=0时开关打开。求uc,并画出变化曲线。解:

uc(0-)=uc(0+)=25V（2）开关打开为RLC串联电路5Ω20Ω10Ω10Ω50V+-Uc(0-)+

-iL(0-)（1）t=0-的电路iL(0-)=iL(0+)=5A20Ω5Ω0.5HμF100+-uciL特征方程根：(3)根据初始条件

t0uc356257.6二阶电路的零状态响应和全响应1.全响应uC(t)-+CUSL+-R+-+-uL(t)uR(t)i(t)由KVL:过阻尼临界阻尼欠阻尼A1,A2由uc(0),iL(0)定出。2.零状态响应uc(0-)=0,iL(0-)=0例7.5：已知uc(0)=-5V，US=10V，求uc(t)，iL(t),t≥0。uC(t)+-4FUS1/16H+-0ΩiL(t)解：3.GCL并联电路的分析—与RLC串联电路分析是对偶的uC(t)+-CUSL+-R