课后培优练：5.3 平行线的性质（解析版）

姓名：班级5.3平行线的性质全卷共24题，满分：100分，时间：60分钟一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）如图，平行线AB，CD被直线AE所截．若∠1=70°，则∠2的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．110°【答案】D【分析】直接利用对顶角以及平行线的性质分析得出答案．【详解】解：∵∠1＝70°，∴∠1＝∠3＝70°，∵ABDC，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°−70°＝110°．故答案为：D．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及对顶角，正确掌握平行线的性质是解题关键．2．（2021·浙江·兰溪市外国语中学八年级期中）下列选项中，可以用来说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（）A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝3，b＝2 C．a＝2，b＝3 D．a＝﹣3，b＝2【答案】A【分析】反例就是要符合命题的题设，不符合命题的结论的例子．【详解】解：A、当a＝2，b＝−3时，a＞b，但|a|＜|b|，故可以说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题；B、当a＝3，b＝2时，a＞b，|a|＞|b|；C、当a＝2，b＝3时，a＜b，不符合命题的题设；D、当a＝﹣3，b＝2时，a＜b，不符合命题的题设；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理，理解反例的概念是解题的关键．3．（2021·河南兰考·八年级期中）下列说法正确的是（）A．命题是定理，但定理未必是命题 B．公理和定理都是真命题C．定理和命题一样，有真有假 D．“取线段AB的中点C”是一个真命题【答案】B【分析】命题是判断一件事情的句子，可分为真命题和假命题；公认的真命题称之为公理，经过证明的真命题称之为定理；命题的结构必须有条件和结论，由此进行分析判断即可得到答案．【详解】解：A、说法错误，定理是经过证明的真命题，但是命题不一定是定理；B、说法正确，公理和定理都是真命题；C、说法错误，定理是经过证明的真命题，命题有真假之分；D、说法错误，取线段AB的中点C是描述性语言，不是命题，更不是真命题．故选：B【点睛】本题考查命题的定义、公理和定理的概念等相关知识点，牢记定义内容是解此类题的关键．4．（2021·黑龙江·林口县教师进修学校七年级期末）如图，已知，，平分，则（）A．32° B．60° C．58° D．64°【答案】D【分析】先根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等），可得∠ADB=∠B，再利用角平分线的性质可得：∠ADE=2∠ADB=64°，最后再利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可求出答案．【详解】解：∵AD∥BC，∠B=32°，∴∠ADB=∠B=32°．∵DB平分∠ADE，∴∠ADE=2∠ADB=64°，∵AD∥BC，∴∠DEC=∠ADE=64°．选：D．【点睛】题目主要考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，找出题中所需的角与已知角之间的关系．5．（2020·河北·金柳林外国语学校七年级期末）如图，已知直线，的平分线交于点F，，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质推出，，然后结合角平分线的定义求解即可得出，从而得出结论．【详解】解：∵，∴，，∵的平分线交于点F，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的定义，理解并熟练运用平行线的基本性质是解题关键．6．（2021·河南中原·七年级期末）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，则下列结论不正确的是（）A．∠3+∠5＝180° B．∠2＝∠4 C．∠2＝∠5 D．∠5+∠1＝180°【答案】B【分析】根据平行线的性质逐一判断即可得解．【详解】解：A、由a∥b，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠3+∠5=180°，故A不符合题意；B、由a∥b，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠2+∠4=180°，但∠2与∠4不一定相等，故B符合题意；C、由a∥b，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠2=∠5，故C不符合题意；D、由a∥b，得到∠3+∠5=180°，又因为∠3=∠1，所以∠5+∠1=180°，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．7．（2021·浙江·温州市南浦实验中学八年级期中）一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在直角边BC上，且FDAB，∠B＝30°，则∠ADB的度数是（）A．95° B．105° C．115° D．125°【答案】B【分析】题意可知∠ADF＝45°，则由平行线的性质可得∠B+∠BDF＝180°，求得∠BDF＝150°，从而可求∠ADB的度数．【详解】解：由题意得∠ADF＝45°，∵，∠B＝30°，∴∠B+∠BDF＝180°，∴∠BDF＝180°﹣∠B＝150°，∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝105°．故选：B【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．8．（2021·山东招远·七年级期中）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）

A．77° B．64° C．26° D．87°【答案】A【分析】本题首先根据∠BGD′＝26°，可以得出∠AEG=∠BGD′＝26°,由折叠可知∠α=∠FED，由此即可求出∠α=77°．【详解】解：由图可知：AD∥BC∴∠AEG=∠BGD′＝26°,即：∠GED=154°，由折叠可知:∠α=∠FED，∴∠α==77°故选：A．【点睛】本题主要考察的是根据平行得性质进行角度的转化．8．（2021·河南安阳·七年级期末）已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．55° B．45° C．30° D．25°【答案】A【分析】易求的度数，再利用平行线的性质即可求解．【详解】解：，，，直线，，故选：A．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．9．（2021·河南·郑州枫杨外国语学校七年级阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于（）A．101° B．102° C．103° D．104°【答案】C【分析】过B作BD∥AE，根据AE∥CF，利用平行于同一条直线的两直线平行得到BD∥CF，利用两直线平行内错角相等，同旁内角互补，根据∠ABD+∠DBC即可求出∠ABC度数．【详解】解：过B作BD∥AE，∵AE∥CF，∴BD∥CF，∴∠A=∠ABD=76°，∠DBC+∠C=180°，∵∠C=153°，∴∠DBC=27°，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=103°．故选C．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．10．（2021·湖南荷塘·七年级期末）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点O在直线EF上，则．以上结论正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】如图1所示，过点E作EF//AB，由平行线的性质即可得到∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，则∠A+∠C+∠AEC=360°，故①错误；如图2所示，过点P作PE//AB，由平行线的性质即可得到∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，再由∠APC=∠APE=∠CPE，即可得到∠APC=∠A-∠C，即可判断②；如图3所示，过点E作EF//AB，由平行线的性质即可得到∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，再由∠AEF+∠CEF=∠AEC，即可判断③；由平行线的性质即可得到，，再由，即可判断④．【详解】解：①如图所示，过点E作EF//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//EF，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=360°，又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，∴∠A+∠C+∠AEC=360°，故①错误；②如图所示，过点P作PE//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//PE，∴∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，又∵∠APC=∠APE=∠CPE，∴∠APC=∠A-∠C，故②正确；③如图所示，过点E作EF//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//EF，∴∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，∴180°-∠A+∠1=∠AEC，故③错误；④∵，∴，，∵，∴，∴，故④正确；故选B【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质二、填空题（每题3分，共24分）11．（2021·浙江·杭州锦绣·育才中学附属学校八年级期中）把“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式__________________．【答案】如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行【分析】先分清命题“内错角相等，两直线平行”的题设与结论，然后把题设写在如果的后面，结论部分写在那么的后面．【详解】解：“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式为如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行．故答案为：如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行．【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；解题的关键是掌握命题由题设和结论两部分组成．12．（2021·山东曲阜·八年级期中）一副三角板按如图方式放置，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行，则∠α的度数是______．【答案】15°【分析】根据平行线的性质和三角板的特殊角的度数解答即可．【详解】解：如图：∵ABCD，∴∠BAD＝∠D＝30°，∵∠BAE＝45°，∴∠α＝45°﹣30°＝15°，故答案为：15°．【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等．13．（2021·浙江嵊州·七年级期中）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是____．【答案】3【分析】先分析甲手中的数，根据甲不知道谁手中的数更大，推出甲手中的数不可能为1和5，再根据乙也不知道谁手中的数更大，即可推出乙手中的数不可能为2和4，即可得出答案．【详解】解析：五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，∵甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大，∴甲手中的数可能为2，3，4，∵乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．∴乙手中的数不可能是2，4，只能是3．故答案为：3．【点睛】本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理，根据题目意思分析判断是解题的关键．14．（2021·四川金牛·七年级期末）一副直角三角板如图放在直线、之间，且，则图中________度．【答案】15【分析】如图，过点A作AC∥m，则有，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：如图所示，过点A作AC∥m，∵，∴，∴，∵，∴；故答案为15．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．15．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点F在BC的延长线上，CE平分∠DCF交AD的延长线于点E，已知∠E＝35°，则∠A＝___．【答案】110︒【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质可得结论．【详解】解：∵AD//BC∴∵CE平分∠DCF∴∴∵AB//CD∴∵AD//BC∴∴故答案为：110︒本题主要考查了角的平分线以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．16．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝______．【答案】【分析】延长AB，交两平行线与C、D，根据平行线的性质和领补角的性质计算即可；【详解】延长AB，交两平行线与C、D，∵直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，∴，，，∴，∴，又∵∠1比∠2大4°，∴，∴，∴；故答案是．【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，准确计算是解题的关键．17．（2021·安徽琅琊·七年级期末）一副直角三角尺按如图①所示的方式叠放，现将含45°角三角尺固定不动，将含30°角的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行；如图②，当时，，则其他所有可能符合条件的度数为_____．【答案】45°或60°【分析】分三种情况进行分析讨论即可：当AC∥DE时；当BC∥AD时；当BC∥DE时，分别求出即可．【详解】解：当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；

当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；当BC∥DE时，为题目所给情形；

综上所述，当两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）其他所有可能符合条件的度数为：45°或60°，故答案为：45°或60°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，根据题意得出多种情况分析讨论是解本题的关键．18．（2021·贵州碧江·七年级期末）如图①，已知，，的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为……第次操作，分别作和的平分线，交点为．如图②，若，则的度数是__________．【答案】【分析】先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得到；先根据和的平分线交点为，运用图①的结论，得出；同理可得；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数即可．【详解】解：如图①，过作，，，，，，，由此可得：如图②，和的平分线交点为，，和的平分线交点为，，和的平分线，交点为，，以此类推，，∴，当时，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．三、解答题（19-20题每题7分，其他每题8分，共46分）19．（2021·辽宁大洼·七年级期中）如图，已知∠1+∠AFE=180°，∠A=∠2，求证：∠A=∠C+∠AFC证明：∵∠1+∠AFE=180°∴CD∥EF（，）∵∠A=∠2∴（）（，）∴AB∥CD∥EF（，）∴∠A=，∠C=，（，）∵∠AFE=∠EFC+∠AFC，∴=．【答案】同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠A，∠C+∠AFC．【分析】根据同旁内角互补，两直线平行可得CD∥EF，根据∠A=∠2利用同位角相等，两直线平行，AB∥CD，根据平行同一直线的两条直线平行可得AB∥CD∥EF根据平行线的性质可得∠A=∠AFE，∠C=∠EFC，根据角的和可得∠AFE=∠EFC+∠AFC即可．【详解】证明：∵∠1+∠AFE=180°∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∵∠A=∠2，∴（AB∥CD）（同位角相等，两直线平行），∴AB∥CD∥EF（两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行）∴∠A=∠AFE，∠C=∠EFC，（两直线平行，内错角相等）∵∠AFE=∠EFC+∠AFC，∴∠A=∠C+∠AFC．故答案为同旁内角互补两直线平行；AB∥CD；同位角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，则这两直线也互相平行；∠AFE，∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠A，∠C+∠AFC．【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角的和差，掌握平行线的性质与判定是解题关键．20．（2021·广东恩平·八年级期中）阅读下列材料，并完成相应任务．小学时候我们就知道三角形内角和是180度，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明方法如下：如图1，已知：三角形，求证．证法一：如图2，过点作直线DE∥BC，∵，∴，，∵，∴，即三角形内角和是．证法二：如图3，延长至，过点作CN∥AB，…任务：（1）证法一的思路是用平行线的性质得到，，将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是，这种方法主要体现的数学思想是__________（将正确选项代码填入空格处）A．数形结合思想，B．分类思想，C．转化思想，D．方程思想（2）将证法二补充完整．【答案】（1）C；（2）见解析【分析】（1）根据将三角形内角和问题转化为一个平角，可得数学方法是转化思想；（2）根据题目条件进行补全即可；【详解】（1）由题意三角形内角和问题转化为一个平角，可知运用了转化思想，故答案为：C；（2）证明：∵，∴，，∵，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，规律型图形变化类，准确分析判断是解题的关键．21．（2021·全国·七年级专题练习）如图，AB//CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E（不与B，D点重合），∠ADC=70°．设∠BED=n°．（1）若点B在点A的左侧，求∠ABC的度数（用含n的代数式表示）；（2）将（1）中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断∠ABC的度数是否改变．若改变，请求出∠ABC的度数（用含n的代数式表示）；若不变，请说明理由．

【答案】（1）；（2）∠ABC的度数改变，度数为．【分析】（1）过点E作，根据平行线性质推出∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，根据角平分线定义得出，∠CDE=∠ADC=35°，求出∠BEF的度数，进而可求出∠ABC的度数；（2）过点E作，根据角平分线定义得出，∠CDE=∠ADC=35°，求出∠BEF的度数，进而可求出∠ABC的度数．【详解】（1）如图1，过点作．∵，∴，∴．∵平分平分，，∴．∵，∴，∴．（2）的度数改变．画出的图形如图2，过点作．∵平分，平分，，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线性质和角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．22．（2021·山西襄汾·七年级期末）综合与实践如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点E，交于点F．（1）当所放位置如图①所示时，与的数量关系是___________；（2）当所放位置如图②所示时，求证：；（3）在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数．【答案】（1）∠PFD＋∠AEM＝90°；（2）见解析；（3）55°【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；（2）根据平行线的性质得到∠PFD＋∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；（3）根据平行线的性质、对顶角相等计算．【详解】解：（1）如图①，作PH∥AB，则∠AEM＝∠HPM，∵AB∥CD，PH∥AB，∴PH∥CD，∴∠PFD＝∠HPN，∵∠MPN＝90°，∴∠PFD＋∠AEM＝90°，故答案为：∠PFD＋∠AEM＝90°；（2）猜想：∠PFD−∠AEM＝90°；理由如下：∵AB∥CD，∴∠PFD＋∠BHN＝180°，∵∠BHN＝∠PHE，∴∠PFD＋∠PHE＝180°，∵∠P＝90°，∴∠PHE＋∠PEB＝90°，∵∠PEB＝∠AEM，∴∠PHE＋∠AEM＝90°，∴∠PFD−∠AEM＝90°；（3）如图②，∵∠P＝90°，∠PEB＝15°，∴∠PHE＝∠P−∠PEB＝90°−15°＝75°，∴∠BHF＝∠PHE＝75°，∵AB∥CD，∴∠DFH＋∠BHF＝180°，∴∠DFH＝180°−∠BHF＝105°，∴∠OFN＝∠DFH＝105°，∵∠DON＝20°，∴∠N＝180°−∠DON−∠OFN＝55°．【点睛】本题考查的是平行线的性质、对顶角相等、角的计算，掌握平行线的性质定理是解题的关键．23．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD．（2）如图2，点M在直线AB、CD之间，连接MG、HM，当∠AGM＝32°，∠MHC＝68°时，求∠GMH的度数．（3）只保持（2）中所求∠GMH的度数不变，如图3，GP是∠AGM的平分线，HQ是∠MHD的平分线，作HN∥PG，则∠QHN的度数是否改变？若不发生改变，请求出它的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）【答案】（1）证明见解析；（2）100°；（3）不变，40°．【分析】（1）先根据对顶角相等可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；（2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得；（3）先根据（2）的结果可得，从而可得，延长交于点，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据角平分线的定义可得，从而可得，最后根据角的和差、等量代换即可得．【详解】证明：（1）由对顶角相等得：，，，；（2）如图，过点作，，由（1）已证：，，，；（3）不变，求解过程如下：由（2）可知，，，即，，即，如图，延长交于点，，，，，，是的平分线，是的平分线，，，．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，较难的是题（3），通过构造辅助线，利用到平行线的性质是解题关键．24．（2021·河北·金柳林外国语学校七年级期末）如图1，已知直线l1∥l2，且和l1，l2分别相交于A，B两点，和l1，l2分别交于C，D两点，点P在线段上．（1）若∠1=23°，∠2=34°，则________