复习清单01 有理数（原卷版）

清单01有理数（知识导图、知识清单、素养提升、中考聚焦）【知识导图】【知识清单】考点一．正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．1．（2022秋•清镇市期末）贵阳市冬季某天的最高气温为3℃，最低气温为﹣2℃，则﹣2℃表示气温为（）A．零下3℃ B．零下2℃ C．零上2℃ D．零上3℃2．（2022秋•宁德期末）某工厂计划一周5个工作日每天生产汽车零件200个，实际每天的产量与计划产量相比，结果（超过的个数记为正数，不足的个数记为负数）如下：﹣2，﹣10，+12，0，+6．则工厂这周5个工作日实际生产汽车零件共个．考点二．有理数1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．2、有理数的分类：①按整数、分数的关系分类：有理数；②按正数、负数与0的关系分类：有理数．注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．3．（2022秋•东港区校级期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（2022秋•桂林期末）将下列有理数：﹣1.5，3.2，，0，﹣2，分别填入相应大括号内：（1）正数：{…}；（2）整数：{…}；（3）负分数：{…}．考点三．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．5．（2022秋•南明区期末）如图，数轴上有A，B两个点，如果点C也在数轴上，且AC+BC＝3，那么点C所在的位置可能在（）A．点A左侧 B．点A和点B之间 C．点B右侧 D．无法确定6．（2022秋•清江浦区校级期末）在数轴上到3的距离为6的点所表示的数是（）A．9 B．9或﹣3 C．﹣9或﹣3 D．﹣3考点四．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．7．（2022秋•孝南区期末）若x的相反数是它本身，则x＝．8．（2022秋•宁波期末）若a，b互为相反数，则（a+b）2＝．考点五．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）9．（2022秋•绥棱县期末）绝对值最小的有理数是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．210．（2022秋•衢江区期末）用符号语言表述“正数的绝对值等于它本身”，正确的是（）A．|a|＝a（a＞0） B．|a|＝a（a＜0） C．|a|＝﹣a（a≥0） D．|a|＝﹣a（a≤0）考点六．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．11．（2022秋•垫江县期末）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2022 D．202212．（2022秋•浏阳市期末）已知|5+a|+|b﹣2|＝0，则2a﹣b+7的值为．考点七．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•＝1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．13．（2022秋•潍坊期末）的倒数是（）A．﹣2023 B．2023 C． D．14．（2022秋•阿荣旗校级期末）一个有理数的倒数是它本身，这个数是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1考点八．有理数大小比较（1）有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．（2）有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．【规律方法】有理数大小比较的三种方法1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．3．作差比较：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b＝0，则a＝b．15．（2022秋•顺平县期末）有理数a、b、c、d在数轴上的对应点如图所示，这四个数中绝对值最小的是（）A．a B．b C．c D．d16．（2022秋•五华区期末）在有理数﹣2.5，+2，﹣3，0，中，最小的是．考点九．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．17．（2022秋•长春期末）定义：对于一个有理数，我们把{x}称为x的相伴数．若x≥0，则x﹣1；若x＜0，则x+2．计算{3}+{﹣1}的结果为（）A．3.5 B．2.5 C．1.5 D．0.518．（2022秋•兰溪市期末）比﹣2大1的数（）A．﹣3 B．﹣1 C． D．2考点十．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．19．（2022秋•杜尔伯特县期末）100比80大（）A．20% B．25% C．80% D．60%20．（2022秋•阿克苏市期末）某市今年1月份某天的最高气温为6℃，最低气温为﹣1℃，则该市这天的最高气温比最低气温高℃．考点十一．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．21．（2022秋•昌图县期末）把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（）A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+522．（2022秋•龙马潭区期末）计算：12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣|﹣15|．考点十二．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．23．（2022秋•固安县期末）如果□×，那么“□”内应填的数是（）A． B．4 C． D．﹣424．（2022秋•武冈市期末）对于有理数x，y，若xy＜0，则的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3考点十三．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•（b≠0）（2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．25．（2022秋•阿荣旗校级期末）计算：的结果是（）A．﹣8 B．8 C．2 D．﹣226．（2022秋•垫江县期末）计算（﹣6）÷（﹣）×6的结果是（）A．6 B．36 C．﹣1 D．1考点十四．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．27．（2022秋•平桥区期末）计算：6÷（﹣1）3﹣|﹣22×3|．28．（2022秋•密云区期末）计算：．考点十五．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．29．（2022秋•五华区期末）如果|x﹣2|+（y+3）2＝0，那么yx的值为（）A．9 B．﹣9 C．6 D．﹣630．（2022秋•湛江校级期末）若|x+6|+（y﹣2）2＝0，则xy＝．考点十六．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．31．（2022秋•丰都县期末）现规定一种新的运算“*”：x*y＝xy，如3*2＝32＝9，则（﹣）*3的结果为（）A． B． C． D．32．（2022秋•二七区校级期末）﹣23÷4﹣|﹣5|×（﹣1）2023＝．考点十七．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．33．（2022秋•二道区校级期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1） B．0.051（精确到千分位） C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到0.0001）34．（2022秋•东台市期末）2021年，中国宣布现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，提前十年完成《联合国2030年可持续发展议程》减贫目标．近似数9899万精确到位．考点十八．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．35．（2022秋•二七区校级期末）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约55000000000千克．这个数据用科学记数法表示为（）A．0.55×1011千克 B．55×109千克 C．5.5×1010千克 D．5.5×1011千克36．（2023春•合浦县期末）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为（）A．20.1×10﹣3kg B．2.01×10﹣4kg C．0.201×10﹣5kg D．2.01×10﹣6kg【核心素养提升】直观想象--利用数形结合的思想方法比较大小或化简求值1．（2022秋•闽侯县校级期末）如图所示，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足|2a+6|+|b﹣9|＝0（1）点A表示的数为，点B表示的数为；（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在点A、点B之间的数轴上找一点C，使BC＝2AC，则C点表示的数为；（3）在（2）的条件下，若一动点P从点A出发，以3个单位长度/秒速度由A向B运动；同一时刻，另一动点Q从点C出发，以1个单位长度/秒速度由C向B运动，终点都为B点．当一点到达终点时，这点就停止运动，而另一点则继续运动，直至两点都到达终点时才结束整个运动过程．设点Q运动时间为t秒．请用含t的代数式表示：点P到点A的距离PA＝，点Q到点B的距离QB＝；点P与点Q之间的距离PQ＝．2．（2022秋•和平区校级期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+2|+（b﹣1）2＝0．（1）求线段AB的长；（2）设点P在数轴上对应的数为x，当PA﹣PB＝2时，求x的值；（3）若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当点P在A的左侧移动时，PN﹣PM的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由．分类讨论思想3．（2022秋•黄陂区期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是；（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．4．（2022秋•福田区期末）[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为．[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P为数轴上一动点，对应的数为x．（1）a＝，b＝；（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数x为；（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒3个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，则经过秒点A追上点B；（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点A、点B、点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？【中考热点聚焦】热点1、用正数和负数表示具有相反意义的量1．（2023•云南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向东走60米记作+60米，则向西走80米可记作（）A．﹣80米 B．0米 C．80米 D．140米热点2、相反数、倒数、绝对值的概念2．（2022•宜昌）下列说法正确的个数是（）①﹣2022的相反数是2022；②﹣2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．A．3 B．2 C．1 D．03．（2022•黔东南州）下列说法中，正确的是（）A．2与﹣2互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是﹣2热点3、数轴4．（2023•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣3．（2023•杭州）已知数轴上的点A，B分别表示数