东北大学“中天钢铁”数学建模校选B题 学生座位问题

承诺书我仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我将受到严肃处理。我参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：B所属学院、专业、学号：承诺人姓名：日期：2014年4月26日

B学生排座问题摘要学生排座问题，是一个多目标优化问题。通过不失公平性，而又要使学生个人以及班集体的利益最大化。对于第一个问题，同桌以及前后桌之间的影响，可以根据学生在今后考试的成绩预测logistic模型，来说明被影响的程度。首先通过二次考试的数据，通过加权计算得到二次考试的综合成绩，并对学生重新排名，这样处理会使排名更具准确性。考虑同桌与前后桌互相影响，在成绩方面，定义三个决策变量并通过层次分析法分析权重。而同桌的学习成绩将对此三个变量产生影响，用增长阻滞模型刻画在以后的考试学生成绩变化的情况。即可说明同桌与前后桌对其学习成绩的影响。对于第二个问题，是一个二维问题，在横向座位的时还要考虑纵向的座位匹配。采用特种匹配与聚类分析法,算法的复杂度为O（n2）。在排座位的过程中要满足四个层次的匹配，即成绩匹配：成绩差越大匹配度越高，由于考虑班级的纪律问题，那么我们不能将性格活泼的学生放在一起，因此模糊为性格匹配：性格差距越大匹配度越高以及性别匹配：一男一女匹配度高。建立特征匹配模型，得到具有相同特征的学生，聚为同一类。由于座位不可失去公平性，身高是对公平性的重要指标，那么以具有接近的身高来代表学生座位的相同行特征值。以此类比图片的灰度模型。对于第三个问题，在这些学生中有5名活泼好动型的学生，那么这5名学生的位置要尽可能的远。安排此5人的尽量远的位置，安排其他学生的位置。将座位等价抽象为网络图，转化为图上的5个点距离最大化的问题。第四个问题，有三对学生不能做同桌。那么采用问题2的排座模型，进行特征匹配时将此三对学生匹配数记为0，我们需要最大匹配数字的同学做同桌或前后桌，因此这三对同学采用问题2中模型匹配使，将不会被选择为同桌关系。二、关键字logistic模型；层次分析法；特征匹配；聚类分析法三、问题重述某中学班主任在两次考试后想对本班学生重新安排座位。教室中每排只能有八人，4对属于同桌关系。该班主任希望通过一个合理的座位排列使得学生们互相之间可以更有效的团结与帮助，并对班级自习纪律的改善有一定帮助。请建立同桌及前后同学相互影响的数学模型；假设已经给定一个座位排列，请建立一个或多个指标描述座位排列所带来的影响；根据你所定义的指标和最近的考试成绩（见附件1、2），给出一个最优的排座策略；假设班级中有5名“活泼好动”型的同学，请设计一个排座策略使得在学习能够互助的情况下，能够使得班级自习纪律得到一定改善；由于某种原因，班级中有3对同学不能成为同桌，该如何排座？四、问题分析1.第一问是一个相互影响的问题，可以通过预测学生的今后考试成绩，来说明影响因子的大小，成绩的三个主要决策因素为学习策略，学习归因与学习态度，同桌以及前后桌将对此三个因素产生影响。那么对于同学成绩的相互影响，就可以通过成绩预测看出。2.学生排座位的问题。采用特征匹配以及聚类分析法来对学生进行排座位。学生对排座位有影响的特征有四个层次：身高，性格，成绩，以及性别。身高决定了学生排座位的公平性。因此用产生合适区间的身高通过聚类分析产生行特征相同的学生，即作为同一行。在通过同行之间，前后之间的学生特征匹配来合理规划学生的座位安排情况。3.有5名学生活泼好动型安排座位，为了保证课堂纪律，尽力使得这5个人的距离相相距较远，采用建立坐标系，整数规划求最大距离的模型。确定5人位置坐标后，其余学生按照问题2中建立的模型安排座位。4.针对第四个问题来说，有三对学生不能做同桌。那么采用问题2的排座模型，进行特征匹配时将此三对学生匹配数记为0，我们需要最大匹配数字的同学做同桌或前后桌，因此这三对同学采用问题2中模型匹配使，将不会被选择为同桌关系。五、问题假设1.假设学生身高在[1.50,1.90]范围内。2.假设学生座位有m行n列。3.忽略学生视力的影响，假设学生视力都正常或使用眼镜可调节视力。4.我们假定身高是学生排座位的首要考虑因素，不论学生成绩如何，我们都应该对每一个学生的座位有公平性。六、符号规定符号含义E期望S学生两次考试综合成绩x(t)第t次学生成绩P两次考试学生综合排名第i名ω权重r(t)学生成绩增长率x学生成绩最大值A正互反阵C，C左右，前后学生特征矩阵B,B左右，前后学生特征匹配数C学生成绩指标C学生性别指标学生性格指标h学生身高b学习策略因子c学习归因因子d学习态度因子m一共有m排座位n一共有n列座位l学生间距离七、模型的建立与求解：问题1.同桌或前后桌的互相影响1.1学生成绩分析1.1.1综合学生两次成绩的排名模型对两次考试每名学生的总成绩进行加权，得到每名学生的综合成绩，并借此重新排名。此模型能够较好的评价学生的学习程度，排除考试发挥等问题的干扰。那么可得权重值为：ω第i个学生的两次考试综合成绩为：Sj二次考试的加权期望为：E=Ei2Ei,i=1,2利用C语言软件冒泡排序算法，将{Sj}从大到小进行排序，得出{Sj}的新的数那么相邻两个人（同桌与后桌）可有的组和有Cmnk-m{(P1,P2)…(Pk,Pk+1)求得的权重为：ω按照上述模型将学生重新排名如下：以下的模型排座位按照学生的排名代表该名学生。学生两次考试成绩以及加权后的综合成绩排名与学号的关系考号总分

分数名次分数班级名次分数综合排名353111925760.81720.751741.91354111911744.32713.52729.82352111908743.93704.253725.23353111917725.64684.8755706.55351111907724.65688.3754707.54353111915719.466717696.66354111901696.97616.62511659.483541119026958681.1256688.57353111922659.59045348.540352111913655.410657.1258656.29354111912653.511620.12510637.810352111909638.112622.3759630.71135411190462013573.7516598.21435211191661814593.12513606.31235311192961814588.12514603.913352111910616.116575.2515596.815351231940606.61719843413.935352231936592.518464.7539532.323354111914592.518566.517580.217351111927588.62060112594.416353111924588.421536.521563.918354111918586.322485.2528538.621353111921579.523545.519563.518353111906575.82448727533.922351111903569.52540918493.829352111928565264782052425352111926562.827514.52254020354111905550.128497.12524525.124353231934541.329450.12530498.328351111920540.630491.526517.426351111919528.131499.12523514.427351231935480.43249525487.330353111930476831351231937471.334407.7534441.332351111923439.535413.2533427.133353231945404.336325.7539367.338352231939403.837427.37532414.934351231938378.538379.37536378.937352211931377.639387.87535382.436352231932361.540302.541333.741353231933353.641359.87537356.639352231944342.642311.2540327.842353231941302.543346.12538323.143351231946299.144178.1254424245353231942265.145224.7542246.1441.1.2同桌及前后同学相互影响成绩的模型（1）背景资料：[1]在学习归因、学习策略、年龄、性别诸因素中,只有学习策略和年龄与学习成绩之间存在着线性影响关系,并且影响很大,其可决系数为0.218;而学习归因和性别与学习策略之间也存在着线性影响关系,但可决系数很低,仅为0.064。学习归因是通过学习策略间接影响学习成绩的。如图：线性关系模型图表明,学习策略和年龄直接影响着学习成绩。其可决系数为R2=0.218,这就是说,在学习成绩中,21.8%的比例是由学习策略和年龄带来的。在这两个因素中,学习策略对学习成绩的影响较为突出,其路径系数为0.46,说明学习策略对学习成绩的贡献最大;而年龄对学习成绩的影响则呈负向态势,说明在同一个年级内,在总体趋势上年龄大的学生,其学习成绩比年龄小的学生要差。学习归因和性别对学习策略有线性影响,其可决系数为R2=0.064,这就是说,学习策略只有6%的比例是由学习归因和性别来决定的;而学习归因对学习策略的影响,其路径系数为0.22,其中成功归因和努力归因对学习策略的影响略大于能力归因的影响。（2）对成绩影响因素的权重[3]由于同一班级的学生年龄大致相同。那么可以假设同桌及前后桌之前对成绩影响的主要因素为：学习策略优化率b以及学习归因增长率c以及学习态度增长率d。并利用层次分析法求权重.学习成绩学习成绩目标层：学习态度学习归因学习策略学习态度学习归因学习策略策略层正互反阵131/21/3元素之间两两对比，对比采用相对尺度。设要比较的各个准则C1C2C3C4对目标O的重要性。CA=尺度采用Saaty等人提出的1~9尺度——aij取值1,2,…相对尺度参考表尺度aijCi:得出准则层对于目标的对比矩阵一致性检验:计算权向量并作一致性检验，成功比较完全一致的情况：满足a的正互反阵A称为一致阵。一致性检验（对A确定不一致的允许范围）：已知n阶一致阵的唯一非零特征根为n，可证n阶正互反阵最大特征值λ≥n对于不一致（但在允许范围内）的成对比较阵A，建议用对应于最大特征值的特征向量作为权向量Aω定义一致性指标：CI=λ为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij随机一致性指标n12345678910RI000.580.901.121.241.321.411.451.49定义一致性比率CR=CI/RI，当CR<0.1时，通过一致性检验。求得权重为：ω同桌以及前后桌对决策变量b、c、d的影响分析，{(P1,P2)…(Pk,P假设：（成绩高者，成绩高者），b、c、d三个决策变量将由于学生间的竞争或之间的压力给予而变大，更加促进双方学习。（成绩高者，成绩低者），对于成绩高者来说，b、c、d不变或将稍作减少；对于成绩低者来说，b、c、d三种决策变量会由于成绩高者的带动和影响而增加。（成绩低者，成绩低者）明显地，b、c、d三种决策变量将为负数。（3）在各个因素影响下的成绩预测模型logistic:那么对于任意的学生i第t+1次考试的成绩xit+1与第t次考试的成绩xi(t)成一定具有某种相关性，那么可以建立以下方等价于dxdt=r(x)×且xi0而实际情况下，学生的成绩受客观条件的限制根本无法按照指数的增长模型无限增长。那么采用logistic模型，对成绩的增长进行分析，即当成绩越来越高时，上升的空间将会变小。那么对增长率r的简单假定是，设r(x)为x的线性函数，即：r(6)将（6）式带回（4）式。得到方程的求解为：xit=xm1+(对于（7）式的分析：对于第i个学生来说，在今后考试的过程中，影响成绩的因素主要有三，即学习策略，归因以及态度，这三种因素受到环境的影响，即该同学的前后或同桌。那么该式即表明了该同学今后的成绩变化曲线。即该同学受到同桌和前后桌影响后成绩的变动情况。问题2．学生座位安排方案：2.1聚类具有相同行特征的学生2.1.1由于座位的排序一定要不失公平性，不论成绩的好与坏，都应该优先考虑学生的身高问题。[2]因此，我们用学生身高的匹配代表这些学生具有相同的行特征值。那么各行学生组成了m个行向量。根据身高第i行的学生为：Pi满足的条件是：h=hj并且hi利用范围在[1.50,1.90]生成随机数，代表学生的身高，随机数的顺序对应在问题一中重新排名后的学生排名。取一个合适的小的置信区间[a,b],若hi∈[a,b],则认为学生Pj2.2建立学生座位前后左右的匹配模型：2.2.1学生特征匹配指标学生座位的安排，往往考虑三个主要方面，即学生的成绩 C1，学生性别C2以及学生的性格C3。使用层次分析法，得到三者的权重为：0.5396，0.1634，0.2969模糊处理，现规定如下：将学生成绩差，学生性格差，与学生性别差三个指标的区间按照权重分配，并且规定45名学生的成绩以第一问中学生的排名来表示。那么学生成绩差的区间为[1,44]，学生的性格差为[1,24];性别规定男性为13，女性为1.性别随机生成，性格由规定区间内的随机数生成。2.2.2学生左右特征匹配模型[2]设第i个学生的特征矩阵为：Ci=C1i将第k个学生与同一行第s个学生(j,k=1,2….m×n,Bk,s=将第k个学生的左（右）边界与其余同行的任意一个学生进行匹配，得到n个值：Bk,1,…Bk,s=max⁡{B2.2.3学生前后特征匹配模型在2.2.1模型中，我们可以得到，每行有哪些人；在2.2.2模型中，我们可以得到，每行的学生，两两匹配的结果。那么现在讲两人视为一体，将同桌的两个人的特征向量对应元素相加，那么现在的座位矩阵为m×n2特征向量记为：Ci'=C将第i行的学生k以此与第i+1行的j学生进行特征匹配，求出各个匹配层次对应差值的绝对值的和：得到n/2个值：Bk,1Bk,j'Bk,j'=max{座位模型：h=hiBk,sBBB2.3模型的求解：2.3.1.求解步骤Step1取问题一中求得的排名第i的学生，将其以此与第1,2,…,i-1,i+1,…,nm进行身高的特征匹配，将匹配成功的学生存入同一行；Step2重复Step1，得到具有相同行特征的行集合；Step3取同一行中第i排名的学生，将其依次与同行的其他学生进行特征匹配，选择两者之间最大值对应的匹配方式，将两名学生按匹配方式安排座位，视为一体。Step4重复Step4，直到确定每行内部学生的排列顺序。Step5取第i行，将其依次与各个行进行前后匹配，得到匹配值。选择两者最大值对应的匹配方式，将两者按匹配方式安排座位，视为一体。Step6重复进行Step5，直到确定出每行的上下位置，得到最优化的排座方案。S学生KS学生K学生P学生P学生J学生2.3.2模型的求解（1）三种匹配层次的随机数生成该班级的学生身高分部直方图那么按行特征相同的学生如下表：排数处于该排的学生的综合成绩排名第i名第一排9、11、15、23、28、33、37、38第二排3、10、12、13、26、29、34、39第三排6、8、20、22、25、27、35、45第四排14、18、19、43、2、6、44、32第五排1、5、40、42、41、24、36、4第六排16、17、30学生性别（数字代表该学生班级排名）性别学生综合排名第i名女生2、4、5、8、11、12、13、14、17、23、29、30、31、32、35、36、37、38、39、41、42、45男生1、3、6、7、9、10、15、16、18、19、20、21、22、24、25、26、27、28、33、34、40、43、44学生性格随机数排名12345678性格12.311.215.917.318.47.316.14.7排名910111213141516性格3.712.523.18.86.118.36.912.6排名1718192021222324性格17.121.513.64.24.46.920.36.8排名2526272829303132性格6.622.49.05.56.815.29.120.1排名3334353637383940性格14.513.622.17.618.320.114.513.6排名4142434445性格22.17.618.39.814.1（2）进行特征匹配得到座位分布模型求解排座结果，matlab求解：（数字为一问中学生的综合排名）即：学生的前两排座位（数字为该学生班级排名）排/列一二三四五六七八Ⅰ331128231537938Ⅱ102933934122613Ⅲ64527822253520Ⅳ32614191843244Ⅴ4424054312624Ⅵ163017由排名确定学生对应的学号，那么确定了每位学生的位置。问题3.五名活泼好动型学生的排座策略模型3.1五人最远距离整数优化模型将座位的安排等价为网格图，为了保证纪律，建立5个学生安排座位使其彼此距离最大的模型。根据座位建立坐标系以第一排左边第一个位置作为原点，行为x轴，列为y轴。5个人中第i个人的位置坐标为（xi即l=max且有0≤xi,y3.2五人性格活泼好动情况下的排座模型利用上述模型求出5个点集之后，根据这5人的身高来安排他们这五个人的位置，身高矮者在前排。之后根据问题2的排座模型，进行聚类分析以及匹配度的检验来安排其他学生的座位。问题4.三对同学不能成为同桌的排座模型有三对学生不能做同桌。那么采用问题2的排座模型，进行特征匹配时将此三对学生匹配数记为0，我们需要最大匹配数字的同学做同桌或前后桌，因此这三对同学采用问题2中模型匹配时，将不会被选择为同桌关系。八、模型评价第一问的求解在于研究影响，那么通过模仿人口模型的logistic模型预测学生成绩，同桌或前后桌学生之间的互相影响主要体现在影响某位同学的学习策略，学习归因以及学习态度，可以预测今后的考试中，每一个学生的成绩变化曲线来得出影响。但模型缺少整体化意识，在短期可以保证准确率，而时间越久，变动因素越多，该模型可能不是准确率最优的方案。第二个问题是二维问题，通过对左右前后的学生进行特征匹配，基于聚类分析法和特征匹配递归的方法匹配同行同行，同桌，前后桌的同学。总体来说，本模型运用的聚类分析和特征匹配法思想，是对所学知识的融合。而本模型，也建立在产生随机数以代表身高高度性格程度以及性别区分。同时也本模型也基于一些假设，以及考虑主要因素。更深层次的问题算法还有待改进。第三四个问题，基于第二个问题的模型排座法，我们可以将三四问题看做问题二特殊情况。对模型二进行改进分析。第三四问题欠缺深层的讨论。附录一参考文献[1].学生学习归因，学习策略与学习成绩关系的研究2010谷生华[2].碎片的拼接2013陈华[3].高中生学习成绩影响因素模型的初步建立2009张洋附录二程序>>E1=mean(S1)E1=551.3911>>E2=mean(S2)E2=492.0361>>E=((E1)^2+(E2)^2)/((E1)+(E2))E=523.4018ω[X,B]=eig(A)X=0.4881+0.0000i0.2440-0.4227i0.2440+0.4227i0.1862+0.0000i0.0931+0.1613i0.0931-0.1613i0.8527+0.0000i-0.8527+0.0000i-0.8527+0.0000iB=3.0183+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.0091+0.2348i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.0091-0.2348i问题2：h=random('unif',1.5,1.9,1,45)1.73191.71991.55801.84121.74881.64041.70531.66071.53041.59601.54931.57361.59601.66691.51991.86111.87791.69631.69571.63511.86001.64771.54451.81211.65591.59671.66161.53861.5528