2023年高考数学二轮复习教案新高考专用不等式含解析

解密03讲：不等式

【考点解密】

1.两个实数比较大小的方法

a—

(1)作差法"a—b=0oa=b(a,Z?eR)

b

⑵作商法<*\=a=b(aeR,Z?>0)

L6

2.不等式的基本性质

性质性质内容特别提醒

对称性a>tx^>Ka=

传递性a>b,b>c=>a>c=>

可加性a>lx^a+c>b+c=

a>b

nad>bc

c>0

可乘性注意c的符号

a>b

=>ac<be

HO

a>6\

同向可加性(=>a+c>b+d=>

c>d\

同向同正可a>b>0\

\=ad>bd=>

乘性c>d>Q\

可乘方性a>6>0=a">Z/'(/?£N,〃21)a,8同为正数

可开方性a,。同为正数

a〉b>0=(n《N,〃22)

3.一元二次不等式的解集

判别式—t)—\acJ>04=0d<0

y

K2

二次函数y=ax+bx-\-c

g〉o)的图象XrLz2O\X=xx

}2MX

0

有两相等实根

方程af+bx+cn。(a>0)有两相异实根M,x2

b没有实数根

的根(x〈X2)小=*2=—若

"T}

a¥+6x+c>0(a>0)的解集{x|底由或x>照}{x|xGR}

ax+bx+c<0(a>0)的解集{x\X\<X<Xi\00

4.基本不等式A/另W三"

(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a=6时取等号.

(3)其中号叫做正数a,6的算术平均数，4/叫做正数a,6的几何平均数.

5.几个重要的不等式

Wa+t)^2ab(a,bGR).

(2)-+->2(a,，同号).

ab

(3)(a,bRR).

a2+/)2

⑷一y-2U-J(a,6GR).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

6.用基本不等式求最值

用基本不等式，获《号求最值应注意：一正二定三相等.

(Da,6是正数；

⑵①如果仍等于定值只那么当a=6时，和a+6有最小值2病

②如果a+b等于定值S,那么当a=6时，积数有最大值

(3)讨论等号成立的条件是否满足.

2

【方法技巧】

一、比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.

二、判断不等式的常用方法

(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.

(2)利用特殊值法排除错误答案.

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、事函数等函数

的单调性来比较.

三、利用基本不等式求最值

(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.

(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.

【核心题型】

题型一：比较两个数(式)的大小

1.已知a=&,b=-Jj-6，c=G应,则a，b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】通过作差法，“-8=&+百-近，确定符号，排除D选项；

通过作差法，a-c=2无-娓,确定符号，排除C选项；

通过作差法，fe-c=(V7+72)-(76+73),确定符号，排除A选项；

【详解】由a-b=&.+6-币，且(0+6)2=5+2指>7,故

由a-c=2&—6且(2夜y=8>6,故”>c；

6-c=(V7+夜)-(6+6)且(#+&丫=9+2炳>9+2717=(77+夜y，故c〉b.

所以a>c>b,

3

故选：B.

2.已知：2"=6"=10，则3,ah,a+b的大小关系是()

A.ab<a+b<3B.ab<3<a+b

C.3<a+b〈abD.3<ab<a+b

【答案】D

【分析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.

【详解】a=log210>log28=3,^=log610>l,

ab>3；

X£J±=l+l=lg2+ig6=lgl2>l=a+b>ab,。+6>而>3.故选D.

abab

【点睛】本题考查指数式化与对数式关系以及对数函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.设M=2a(a-2)+7,%=(4-2乂.-3),则M与N的大小关系是()

A.M>NB.M=NC.M<ND.无法确定

【答案】A

【分析】利用作差法解出M-N的结果，然后与0进行比较，即可得到答案

【详解】解：因为〃=24叱2)+7,N=(a-2)(“-3),

所以M-N=(2〃-4a+7)-(a2_5a+6)=a2+a+l=(a+；)+齐0，

：.M>N,

故选：A

题型二：不等式的基本性质

4.对于实数a,b,c,下列命题中正确的是()

A.若a>b,贝lJac2>Z?02

B.若AK2,24a+A<4,则4<4。一2》411

C.若。<a<b,则2cq

ab

D.若人>c>0,则/>：+c

bb+c

【答案】D

【分析】由不等式性质判断各选项正误即可.

【详解】对于选项A,注意到若c=0,当。时，改2=从2=0.故A错误.

4

对于选项B,设机一。）+n（a+匕）=4a-28,

得『+"=4解得『=3又3<3.一与<6,2M(a+6)44,

\n-m=-2\n=l''

得5W4a—»K10.故B错误.

h242

对于C选项,因0vav6,则从>/——>一<=>故c错误.

ababab

aa+c

对于D选项,，因。>b>c>0,则，器,故口正确.

~bb+cb(b+c)

故选：D

5.已知a,b,c,d均为实数，则下列命题正确的是（)

A.若a>bfc>d,则a~d>b~cB.若a>bf贝!]ac>bd

C.若ab〉0,bc~ad>0,则£>&c>d>0,则@>2

D.若a>b

abtdc

【答案】AC

【分析】根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案.

【详解】解：由不等式性质逐项分析：

A选项：由c>d,故-cv-d,根据不等式同向相加的原则。--。，故A正确

B选项：若Q>0>。，0>c>d则。cvbd,故B错误；

C选项：ab>0,bc-ad>Q,则如三㈣>0,化简得£-g>0,故C正确；

abab

D选项：a=-l,b=-2,c=2,d=l则==2=-1,故D错误.

ac

故选

Ac

6则

1111

A->-B--

bah4

c.a5-b5>2[a2b-ab2)D.y/a+l—>Jb+\>\fa-y[b

【答案】AC

【分析】对A,对两边同除数化筒即可判断;

对B,对不等式移项进行因式分解得即可进一步判断1-±的符号不确定，即可判断;

对C,对不等式移项进行因式分解得（”-3（/一她+52）>0,由〃+从-"=（。-。）2+而即可判断;

对D,对不等式移项进行根式运算得“+；+ja>J"」”，即可进一步判断

5

【详解】对A,a>b>O==>§n，>LA正确；

ababba

对B,a-->b—<=>a-b-\---->0<=>(a-b]\1--|>0,a-b>0»/.1——>0>1,不等式不一定成

baab'ab)ab

立，B错误；

对C,a3-b3>2(a2h-ab2)<^(a-h)(a2-ah+b2)>0,'：a-b>0,：.a2+b2-ab>O<^>(a-b)2+ab>Q,不等式

成立，C正确；

对D,Ja+l-y/b+l>4a-\[b<=>~Ja+l-4a>\]b+\->fb,所以

-,---尸<=>\jb+\+yfb>Ja+1+yfiu不等式不成立，1)错误;

-Jb+l+y/b

故选：AC.

题型三：不等式性质的综合应用

7.已知-\<a-b<2,则4a-2Z?的取值范围是()

A.H，10]B.[-3,6]C.[-2,14]D.[-2,10]

【答案】D

【分析】利用待定系数法得出4a-2A=(a+〃)+3(a-与，并计算出3(〃-与的取值范围，利用不等式的性质可得出

4a-26的取值范围.

,、/、/、/、fx+y=4fx=1

【详解】设4a-2A=x(a+Z?)+y(a-/?)=(x+y)a+(x-y)/?,_^__2,解得1),一3，

.,.4a-2/?=(a+6)+3(a-。),

Q\<a+h<4,-\<a-h<2,3<3(a-/?)<6,

由不等式的性质可得一2V(a+b)+3(a—6)410,即-2<4a-2^<10,

因此，4a-力的取值范围是[-2,10],故选D.

【点睛】本题考查求代数式的取值范围，解题的关键就是将所求代数式用已知的代数式加以表示，在求解可充分利

用待定系数法，考查运算求解能力，属于中等题.

8.已知-IMx+yMl,1<x-y<3,则的取值范围是()

A.[2,2s]B.1,28C.[2,27]D.p27

【答案】C

6

【分析】利用待定系数法求得3x—y=(x+y)+2(x-y),由—IMx+yWl,l<x-y<3,结合8'j=23、，从

而可得结果.

【详解】令3x-y=s(x+y)+f(x-y)=(s+r)x+(s-r)y

[s+f=3

则J

[5-Z=-1

•,♦层

又-14x+yMl,….,.①

l<x-y<3,

2<2(x-y)<6-0

...①+②得lV3x-y47.

则&'•(；)=23x-ve[2,27].

故选C.

【点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档

题.

9.已知12<。<60,15<6<36,则£的取值范围为_________.

b

【答案】(；,4)

【分析】由15<6<36可以推出上<《<二，由不等式的性质可以得到/的取值范围.

36b15b

【详解】0<15<^<36=>0<^<y<-^-,而0<12<。<60,根据不等式的性质可得

36b15

l2x」<a=<]x60=>?<f<4,所以；的取值范围为(14).

36153bb3

【点睛】本题考查了不等式的性质.不等式的性质中没有相除性，可以利用相乘性进行转化，但是应用不等式相乘

性时，要注意不等式的正负性.

题型四：利用基本不等式求最值

命题点1配凑法

7

4

10.设实数x满足x>0,函数y=2+3x+一；的最小值为（）

x+1

A.4百-1B.4百+2C.472+1D.6

【答案】A

4

【解析】将函数变形为y=3X+1+—7-1,再根据基本不等式求解即可得答案.

【详解】解：由题意x>0,所以x+l>0,

44

所以y=2+3x+——=2+3（%+1）-3+——

x+1x+1

=3（x+l）+-^--l>2^3（x+l）--^--l=4>/3-l,

当且仅当3（x+l）=+，即》=¥-1>0时等号成立，

所以函数y=2+3x+-J的最小值为473-1.

x+1

故选：A.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的

因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的

最值，这也是最容易发生错误的地方

11.已知*>0,/0,2x+3y=6,则*y的最大值为.

【答案好

【详解】因为x>0,y>0,2x+3y=6,

所以灯飞&厂By）%•（2）一，一件3

）\2J2

3

当且仅当2x=3y,即尸1时，盯取到最大值5

⑵已知a>»c,求（ac）Q—一j的最小值.

【详解】。）居萨置

一（ab+b.1,1

8

b-ca-b

=1+14

a-bb-c

Va>b>c9：.a-b>Ofb-c>Of

,b-c,a-b、,b—ca—b

・'・2+—z+v—22+2、/—7•7-=4,

a-bb-c\Ja-bb-c

当且仅当a—b=b—c,即2b=d+c时取等号,

（a—，）（£；+£）的最小值为4.

命题点2常数代换法

13

13.已知”>0,6>0,。+。=1,则卜=上+2的最小值是()

ab

A.7B.2+>/3C.4D.4+20

【答案】D

【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.

【详解】因为。>0*>0,。+8=1,

rrKl137,13、.b3a、人、历3a../r

所以y=—i■—=(〃+/?)—i■—=4H—i>4+2./------=4+2,3,

abb)abyab

当且仅当2=¥即8=6”时，等号成立.

ah

结合。+〃=1可知，当a==时，y有最小值4+26.

22

故选：D.

12

14.已知x>Ly>0,且一;+—=1,则x+2y-l的最小值为()

X-1y

A.9B.10C.11D.7+2太

【答案】A

【分析】利用“乘1法”将问题转化为求[*-l)+2y][白+][勺最小值，然后展开利用基本不等式求解.

12

【详解】Qx>l,/.x-i>0,又y>0,且—；+—=1,

x-\y

s+2y-l=[(1)+2扉，+2)=5+—+3知2、^^=9,

(x-1y)x-1yVx-1》

当且仅当必7=,解得x=4,y=3时等号成立，

x-12y"”

9

故x+2y-i的最小值为9.

故选：A.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的

因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的

最值，这也是最容易发生错误的地方.

15.若实数x+2y=4（x>Ly>!）,则」7+丁二的最小值为（）

2x-12y

14

A.-B.1C.-D.2

23

【答案】D

再结合基本不等式求最小值.

【详解】由条件可知，x-i+2y-l=2,

所以」一+」一=,I

+------l）+（2y-l）］

x-12y-l22y-l

当即2y—l=x-l,结合条件x+2y=4(x＞l,,

x-12y-l2

可知x=2,y=l时，等号成立，所以一二+不二的最小值为2.

x-12y-l

故选：D

11Q

⑹已知“＞。，b＞。,且则丁丁帝的最小值为一

【答案】4

【分析】根据已知条件,将所求的式子化为审+福’利用基本不等式即可求解.

118abab8

【详解】a>0,h>0,.,.a+b>0ab=l,一+一+---=一+一+----

92a2ba+b2a2ba+b

二晋+高*2月旺;4,当且仅当a+b=4时取等号'

10

结合刈=1,解得”=2-&*=2+百，或a=2+后方=2-百时，等号成立.

故答案为：4

【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

命题点3消元法

17.负实数X、丫满足x+y=-2,则的最小值为()

y

A.0B.-1C.D.-石

【答案】A

【分析】由已知可得》=-2-y,再利用基本不等式可求得x-上的最小值.

y

［详解】因为负实数N、>满足x+y=-2,则％=_2_yv0,可得_2<yv0,

由基本不等式可得x=-2—y2-2+2(-y)----=0,

yy\-y

当且仅当r=-'(y<o)时，即当y=—1时，等号成立.

y

故”,的最小值为o.

y

故选：A.

18.若实数方y满足xy+3x=3(0<xg),则:+金^的最小值为______.

【答案】8

【详解】•・,实数x,y满足灯+3*=3(0<水；｝

**•解得P>3.

31ii/i-3

则一+----=y+3+----=y—3+----+6>2A/(y—3)•----+6=8,当且仅当y=4,牙=弓时取等号.

xy3y3y3\lv7y-37

19.已知5/丁+>4=](x,y£R),则f+y2的最小值是()

-B.-C.—D.2

455

【答案】B

【分析】依题意可得/=赛，又寸之0,即可得到丁«0』，从而得至h2+)，2=44｝，2+$),利用基本不等式计

11

算可得;

【详解】因为a+y*j所以八号,

因为工睦0,所以y2«0,l],

所以―2+声空中4TzM柠子白

当且仅当4y2=+,即V=；,/=磊时取等号，

所以f+J?的最小值是:

故选：B

题型五：基本不等式的综合应用

20.已知正实数a、b满足=若[+；],+行的最小值为4,则实数0的取值范围是（）

ab\b）\a）

A.{2}B.[2,+oo）C.（0,2]D.（0,+"）

【答案】B

【分析】由题意可得[+ab+^-+2?2,lab,—2=4,当她=二，即他=1时等号成立,所以有b=L

Ib八aJabVabaha

将1+[=根化为〃+[=,“，再利用基本不等式可求得小的范围.

aba

【详解】解：因为a力为正实数，

+TII~一］二。人■*■~\~+2?2cibJ-2=4,

bj<aJab」Vab

当疝=上,即必=1时等号成立，

ab

此时有〃=L

a

又因为"+=

ab

所以a+'二机，

a

由基本不等式可知〃（a=l时等号成立）,

a

所以m>2.

故选：B.

12

21.在_ABC中，角A,8,C所对的边分别为a1,c,且点。满足CO==&,若cos448。=工，则2c+a

4

的最大值为（）

A.弓5B.卓C.A/5D.3亚

【答案】A

【分析】利用向量知识可得BO=：254+g1BC,两边平方可得a2+4c?+ac=18,再利用不等式知识可求得结果.

【详解】因为CO=2D4,所以BO_BC=2（8A_8O）,所以8O=|BA+gsC,

,/71A24■,124

所以BD=-BA+-BC=-BA+-BC+-\BA\\BC\-cosZABC,

（33J999

所以（&），整理得a?+4/+ac=i8,

v79994

所以（2C+〃）2-18=3〃C,

因为2c+a22d2c•a,所以ac<^——^-^—，

8

所以（2c+a）2—18W3（2c+a）~,解得0<2c+aK^.

所以2c+a的最大值为经正

5

故选：A

21

【点睛】关键点点睛：将向量条件CD=2D4化为=+利用向量数量积的运算律运算得到

a2+4c,+ac=18是解题关键.

22.设等差数列｛2｝的公差为&其前〃项和是S”若&="=1,则二一的最小值是

9

【答案】5

【详解】&=4+（力-1）"=〃，5=一亭」,

S+8

所以•

an

当且仅当〃=了，即〃=4时取等号,

13

所以管的最小值是今

【高考必刷】

一、单选题

1.（2021•山西太原•高一阶段练习）已知1=。+2/?,s=a+b1+\,则/和s的大小关系为（）

A.，>sB.t>sC.，vsD.t<s

【答案】I）

【分析】利用作差法，令S-f,结果配方，判断符号后得出结论.

【详解】s-t=a+b2+l-（a+2b）=b2-2b+l=（b-l'）2>0,

故有sNf,

故选：D.

【点睛】本题考查用比较法证明不等式的方法，作差--变形--判断符号--得出结论涉及完全平方公式的应

用.属于基础题.

2.（2022•湖北•葛洲坝中学高一阶段练习）已知xeR,M=2x、l,N=4x-6,则的大小关系是（）

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定

【答案】A

【分析】作差法比较大小，即得解

【详解】由题意，M-A^=2X2-1-（4X-6）=2X2-4X+5=2（X-1）2+3>0

因此M>N

故选：A

【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题

3.（2022•江苏宿迁•高一期中）若a>b且而>4,则下列不等式一定成立的是（)

«bb+lcb,a,、2a+ba

A.->---B.a+—>b+—C.a——>b——D.----->-

a〃+lababa+2bb

【答案】B

【分析】利用不等式的性质，通过举特例结合作差法比较大小即可判断各个选项正误.

【详解】对于A，当。=32时，铝T显然A错误;

对于B,a>bSiab>4,a-b>O1一一y>0,

fab

1.17b-a

ci+——b——=(«-/?)+----=(~)(1一£|>0,

abab

14

.,*ciH—>bt—,BpB正确；

ab

对于C：当a=-：,匕=一10时，a--=~,b—£=-黑，显然C错误；

2a2b20

对于D：当a=3力=2时，”显然D错误；

故选：B.

4.（2022•江西•贵溪市实验中学高三阶段练习（文））若0<x<；,则y=xjl-4d的最大值为（）

A.1B.；C.-D.-

248

【答案】C

【解析】化简函数，利用基本不等式求出最值，并验证取等条件.

【详解】0cx<g,y=xjl-4x2=F（］-4巧=g{4田（1-4当二十；-4"=；

当且仅当4/=1-4/,即犬="时取等号

4

则y=xyll-4x2的最大值为—

故选：C

【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.

5.（2022•黑龙江•牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知匕为正实数且〃+8=2,则2+］的最小值为

ab

（）

3厂5

A.-B.yf2+1C.-D.3

22

【答案】D

【分析】由题知2+3=再结合基本不等式求解即可.

ab\ahJ

【详解】解：因为〃力为正实数且。+匕=2,

所以b=2-a,

…b22-a222।Jl।

所以，—+工=---+Z=_+/-1=2-+--1

ababab\abj

因为~+T=~+=++=2+—+^->2+2=4,当且仅当a=6=］时等号成立；

abb）\ab）ab

所以2+£=ZH+1=2+^-123,当且仅当a=O=l时等号成立；

ababab

故选：D

19

6.（2022•全国•高三专题练习）已知两个正实数x,V满足X+>=2,则最+■的最小值是（）

15

16

A.TB-7C.8D.3

【答案】A

展开后根据基本不等式，即可得出结果.

9%16

y+T

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件:

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的

因式的和转化成定值;

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的

最值，这也是最容易发生错误的地方.

14

7.(2022•全国•高一单兀测试)已知正数x、V满足x+y=l,则一+*;--的最小值为()

x1+y

914

A.2B.—C.—D.5

23

【答案】B

14

【分析】由x+y=l得x+(i+y)=2,再将代数式x+(i+y)与一—相乘，利用基本不等式可求出

x1+y

14

一+■;的最小值.

x1+y

【详解】x+y=\,所以，x+(l+y)=2,

J4、「八"I4、4x1+y「-I4x1+y尸八

贝ij2(—+-----)=[x+(1+y)](—+-----)=------—-+5..21-------・——+5=9,

x1+yx1+y1+yxy1+jx

149

所以,—l---------..—.

x1+y2

2

4x_1+yx=——

当且仅当i+yx,即当，、:时，等号成立,

x+y=\V=-

3

14Q

因此，一能的最小值为5,

故选B.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题.

16

8.（2022•浙江•高一期中）已知实数x,y>0,且二+y=l,则2x+一的最小值是（）

xy

A.6B.3+20C.2+30D.1+72

【答案】B

【分析】构造2x+L=（2x+，Y」+y］=3+2xy+-!-,利用均值不等式即得解

yIy八%）孙

【详解】2x+-=（2x+^i-+y\=3+2xy+—>3>+2y/2,

yIyj\xjxy

当且仅当2孙=,，即x=l+立，>=应-1时等号成立

到2

故选：B

【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中

档题

9.（2021•安徽合肥•高一期末）已知x>0,y>0,且」：+1=；,则x+y的最小值为（）

x+1y2

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【分析】运用乘1法，可得由户y=（户1）+y-l=［（卢D+刃・（一二+，）-1,化简整理再由基本不等式即可

x+1y

得到最小值.

【详解】由x+y=（x+1）+y-1

=［（A+1）+y］,1-1

=［（A+1）+刃・2（工+一）-1

x+1y

y（x+1）、

=2（2+^-+-——-）-1

x+1y

当且仅当x=3,y=4取得最小值7.

故