不等式选讲-高考数学（理）二轮专项复习

不等式选讲

不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法

以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等

式与函数的综合问题的求解.本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，

所以可重点突破.

【知识要点】

1.含有绝对值的不等式的解法

(1)|/(冗)|>〃(〃>0)=次X)>〃或/(X)<一〃；

(2)|/(x)|V〃(〃>0)=~V〃；

(3)|x—〃|+|x一臼曰(c>0)和|x—〃|+|九一川土(c>0)型不等式的解法

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

2.绝对值三角不等式

\a\~\b\<\a±b\<\a\+依.此性质可用来解不等式或证明不等式.

3.基本不等式

定理1：设则，+b2N2Q/?.当且仅当〃=/?时，等号成立.

定理2：如果〃，匕为正数，则告当且仅当〃=匕时，等号成立.

定理3：如果a,b,c为正数，则茨说,当且仅当a=b=c时，等号成立.

定理4：(一般形式的算术一几何平均不等式)如果“2、…、斯为”个正数,则‘"+"2：…+斯

N勺QQ…处,当且仅当〃1=。2=3=斯时，等号成立.

4.柯西不等式

(1)设mb,c,d为实数,贝!)(/+庐)(，+/)2mc+机/)2,当且仅当时等号成立.

⑵若at，C(idN*)为实数,则(注1届)(汪田巨(注历产，当且仅当左=0(=1,2,…，〃)或

存在一个数上，使得a产物(i=l,2,…，")时，等号成立.

(3)柯西不等式的向量形式：设.a,0为平面上的两个向量，贝1J|“H川日"回，当且仅当这两个

向量同向或反向时等号成立.

【复习要求】

(1)理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

①|a+/?|<|a|+|/?|;@|a-/?|<|a-c|+|c-Z?|;

(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:

|ot+/7|<c|ax+/7|>c|x-c|+|x-ft|>a

(3)会用不等式①和②证明一些简单问题。能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值

(4)了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法

【例题分析】

例1⑴设函数八尤)=|2x+l|一|x一4|.

①解不等式式x)>2；

②求函数y=/U)的最小值.

［解］①解法一：令2x+l=0,x—4=0分别得x=一x=4.

原不等式可化为：

1(1

x<—^,一彳4<4,fx>4,

<2或12-或

、一x-5>213x-3〉2lx+5>2,

所以原不等式的解集为：尤<—7或x>jj.

解法二：

(1

-x-5,x<_

f(x)=\2x+l\-\x-4\=<3%—3,-1<x<4,画出大工)的图象

、x+5,x>4.

y=2与兀c)图象的交点为(-7,2),(1,2).由图象知八犬)>2的解集为“<一7或无>(

9

②由①的解法二中的图象知：兀X)min=-,

解绝对值不等式的步骤和方法：

(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤

①求零点.

②划区间、去绝对值号.

③分别解去掉绝对值的不等式.

④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.

(2)用图象法求解不等式

用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化,既通俗易懂,

又简洁直观，是一种较好的方法.

例2:设函数y(x)=|3x—1|+6+3.

①若〃=1,解不等式yu)s4；

②若函数犬X)有最小值，求Q的取值范围.

［解］①当a=l时，“x)=|3x—l|+x+3.

当入［时，/x)<4可化为3x—1+x+3<4,

解得gg曷；

当时，可化为-3%+1+x+3<4,

解得0<x<|.

综上可得，原不等式的解集为1|0夕三［

3+办+2,史］

{〃-3%+4,xV］

［a+3>0

函数兀1)有最小值的充要条件为。八，即一3%W3.

Ltz—3<0

例3⑴若函数#%)=枕+1|+2仇一〃|的最小值为5,则实数。=.

［解析］当a=—\时，/x)=3|x+1|>0,不满足题意；当a<-1时，fix)=

-3%—1+2〃，x<a

<x—1—2〃，a<x<-l，兀x)min=/(〃)=—3“-1+2］=5,解得〃=—6；

3x~\~1—2a9x>-1

—3x—1+2。，x<-1

当〃>一1时，段)=<~x+l+2a9~l<x<a/工功也二人①二一〃+1+2〃=5,解得〃=4.［答案］

3x~\~1~2a,x>a

4或一6

例4已知函数/(x)=|x+l|一2|x—。>0.

①当a=l时，求不等式八元)>1的解集；

②若兀x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求〃的取值范围.

［解］①当a=l时，Xx)>l化为仇+1|一2|x——

当立一1时，不等式化为％—4>0,无解；

2

当一1<X<1时，不等式化为3x—2>0,解得］4<1;

当这1时，不等式化为一x+2>0,解得13<2.

所以於)>1的解集为卜|<%<2).

②由题设可得，

X—1—2(2,X<—1,

fix)=<3x+l—2fl,-\<x<a,所以函数/(x)的图象与X轴围成的三角形的三个顶点分

、一x+l+2a,x>a.

别为小“、I0),B(2<J+1,0),C(a,a+1),ZkABC的面积为京a+1产

2

由题设得*a+l)2>6,故a>2.所以。的取值范围为(2,+oo).

1.解决含参数的绝对值不等式问题，常用以下两种方法

(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决；

(2)借助于绝对值的几何意义，先求出兀0的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参

数的取值范围.

2.解答此类问题应熟记以下转化；尤)>a恒成立导")min>a；於)<。恒成立U7(x)max<a；

j\x)>a有解耸/(X)max>a；j{x)<a有解u7")min<a；j{x}>a无解句K)max%；人尤)无解司仪加云以

例5(1)已知函数«r)=|x—1|.

①解不等式八2x)+Kx+4)次；

②若间<1,\b\<\,存0,求证：端>聆).

［解］①/(2x)+大尤+4)=|2x—l|+|x+3|

‘一3无一2,x<-3

=<-x+4,-3<x<1,当x<—3时，由—3x—2次，解得烂一竽；

3x+2,x>2

当一3Sxvg时，一次+428无解；当x弓时，由3x+2N8,解得后2.

所以不等式12x)+/U+4)次的解集为%烂一¥或定2；.

②证明：胃刁等价于人即1"一1|>1。一回.

因为141V1，\b\<lf所以1|2—1］一。|2=(〃2。2—2〃。+1)—■(/—2〃。+。2)=(〃2—1)(。2

-1)>0,所以1|>|〃一例.故所证不等式成立.

例6设。>0,比>0,且〃+/?=：+：证明：

①〃十尼2；

②〃2+〃<2与b2+b<2不可能同时成立.

［证明］由〃+/?=：+.=-,",〃>0,b>0,得〃。=1.

ClDdD

①由基本不等式及ab=l,

有0+6之2旃=2,即a+b>2,

当且仅当a=b=l时等号成立.

②假设。2+。<2与〃+6<2同时成立，则由q2+q<2及a>0得0<。<1；同理，0<b<l,

从而a6c1,这与仍=1矛盾.故°2+但2与辰+6<2不可能同时成立.

①构造基本不等式求出代数式的最值，直接证明不等式成立；②直接证明较难，假设两

个不等式同时成立，利用①的结论，得出矛盾，则假设不成立.

不等式证明的常用方法

不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明不等式时,

主要是运用基本不等式与柯西不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等

式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、

变形.

例7(1)已知a,%e(0,+co),a+b=l,xi，尤2G(0,+<»).

①求那+千+*的最小值；

ClUX\X2

②求证：(QX1+bX2)(dX2+bXl)>XlX2.

[解]①因为。£(0,+«?),a~\-b—1,x\,+oo),

所以瑟+E+粉3々5臂2r3，品弧=6,

当且仅当段=瓷=熹，a=b,即『6=担为=尤2=1时，蜉有最小值6.

uDX\X2ZaDX\X2

②证法一：由〃，。£(0,+oo),a+b=l,xi，X2^(0,+oo),

及柯西不等式可得：

(ax\+bx2)(axi+bxi)=[(yjaxi)2+(*\/ta2)2]-[(V^)2+(Vte)2]>(V^i'y[0x2+y[bx2-y[bxi)2=

(a\]xiX2+by/xix2)2=xiX2,

当且仅当疹=醇，即无1=X2时取得等号.

yjax27bxi

证法二：因为〃，。£(0,+oo),a~\~b=1,x\,(0,+00),

所以(ax\+bxi)(ax2-\-bx\)=c^x\xi+abxi+abxi+b2x\X2=x\X2(a2+Z?2)+(於+xf)

>xiX2(«2+b2)+ab(2xiX2)=x\X2(a2+Z72+lab)=修工2(〃+b)2=x\X2,

当且仅当沏=X2时，取得等号.

例8①已知函数/(x)=|x-l|+|x+3|,求％的取值范围，使#%)为常函数；

②若x,y,z£R,f+y2+z2=l,求m=也冗+也y+小z的最大值.

—2x—2,x<—3

[解]①/(x)=|九一1|+仅+3|=，4，-3<x<l,

、2x+2,x>l

则当3,1]时，段)为常函数.

②由柯西不等式得：(*+V+z2)[(地产+(也户+(小)2及陋叶班y+小挈

所以6r+也y+小zg3,因此机的最大值为3.

柯西不等式的求解方法

柯西不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，运用柯西不等式求最值

时，关键是进行巧妙的拼凑，构造出柯西不等式的形式.

练习13

1.不等式仅一1|一|x-5|<2的解集是()

A.(—00,4)B.(-00,1)

C.(1,4)D.(1,5)

2.解不等式x+|2x+3R2.

3、已知函数危)=%|%—矶〃£R).

(1)若〃=2,解关于x的不等式

⑵若对任意的x£(0,4］都有兀v)<4,求〃的取值范围.

3.已知x,y是两个不相等的正实数，求证：Hy+x+F).(盯2+y+f)>9/y2.

4.设〃，b,c,d均为正数，且a+Z?=c+d,证明:

(1)若ab>cd,则如+也>^+近；

(2)/+或AJ^+也是|〃一例<|。一切的充要条件.

5、已知〃>0,b>0,c>0,函数兀x)=|x+〃|+|%—A|+c的最小值为4.

(1)求的值；

(2)^a2+^b2+c2的最小值.

6.已知fix)=\x\+2\x-a\(a>0).

(1)当”=1时，解不等式加)34；

(2)若於巨4恒成立，求实数a的取值范围.

7.已知函数危)=|2%—1|+|21+〃|,g(x)=x+3.

⑴当a=~2时，求不等式#x)<g(x)的解集；

⑵设〃>—1,且当工£一去3)时，7U)0g(x)恒成立，求〃的取值范围.

8.已知函数«x)=|3x+2|.

(1)解不等式火%)<4一枕一1|；

(2)已知机+〃=1(相，n>0),若枕一〃|一恒成立，求实数〃的取值范围.

9.设函数启)=，一%+15,且仅一水1,求证：\f(x)—J(a)\<2(\a\+1).

10.⑴已知［都是正数,且求证：a3+Z?3>a2Z?+ab2；

〃2庐+白？+c2a2

(2)已知mb,c都是正数，求证：——-T-——>abc.

a-vb-vc

11.已知不等式|x+l|+|尤一2日77的解集是R.

(1)求实数机的取值范围.

(2)在(1)的条件下，当实数机取得最大值时，试判断加+于内企+回是否成立？并证

明你的结论.

练习13参考答案

1.答案A

解析当X<1时，不等式可化为一(X—D+(x—5)<2,即一4<2,显然成立，所以此时不

等式的解集为(一co,1);当l<x<5时，不等式可化为x—1+(尤-5)<2,即2A—6<2,解得x<4,

又1装5,所以此时不等式的解集为口,4)；当x>5时，不等式可化为(x—1)—(x—5)<2,即

4<2,显然不成立，所以此时不等式无解.

综上，不等式的解集为(一8,4).故选A.

1—3(>—3

2.解原不等式可化为》或『2’

、一%—3>2,、3%+3之2.

解得左一5或定一/综上，原不等式的解集是

卜|立一5或启一；｝.

3、解⑴当a=2时,不等式段)4即x\x-2\<x.

显然#0,当x>0时，原不等式可化为：\x—2|<1=^>—l<x—2<l=l<x<3.

当％<0时，原不等式可化为：仇一2>1或兀-2<—1=>1>3或x<l,.*.x<0.

综上得：当。=2时，原不等式的解集为｛x[l<x<3或KO｝.

44

(2)对任意的工£(0,4]都有7(%)<4,即一44(%一〃)<4nVx£(0,4],x—恒成立.

4444一

设g(%)=x—：，x£(0,4],p(x)=x+：,x£(0,4],则对任意的x£(0,4],x—恒

成AL^^g(X)max<〃V〃(X)min，XW(0,4].

：g(x)=1+4,当XG(04]时，g，(x)>0,，函数g(x)在(0,4]上单调递增，

.••g(x)max=g(4)=3.

AY—2x-I-2

又・・・p〈x)=l—$=—9—,・・・p(x)在(0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增，

・・・〃(x)min=p(2)=4.故〃£(3,4).

3.证明因为x,y是正实数，所以―+1+产与小五子=3孙，当且仅当导=1=产，

即x=y=l时，等号成立；

同理：xy2+y+x2>3=3xy,当且仅当町^=、=—,即％=y=i时，等号成立.

所以(4+工+丁乂孙2+y+v巨9%2,2,

当且仅当％=y=l时，等号成立.

因为与y,所以(4+工+丁乂孙2+>+2>9吠.

4.证明(1)因为N^+M^)2=〃+b+2，^,(y[c-\-y[d)2=c-\-d-\-2\[cd,

由题设"+/?=c+d,ab>cd得也)2>N^+^^)2

因此出+也>\尸+4^.

(2)①若|〃一b|v|c—d|,则(〃-0)2<(c—<7)2,即(〃+b)2—4〃6v(c+42一4cd

因为〃+Z?=c+d,所以

由⑴得,+或>必+6.

②若,十港八「+夜，贝!](/+业户>(加+校)2,

即a+b-\-2y[ab>c+d+2y[cd.

因为〃+Z?=c+d,所以〃Z?>cd.

于是(。一。尸=(〃+。)2—4ab<(c+d)2—4cd=(c—d)2.

因止匕|“一。|<|。一d\.

综上，,+或也是|〃一。|<匕一d|的充要条件.

5^解(1)因为/(x)=|x+a|+|x—b\~\~c>\(x~\~a)一(x—Z?)|+c=|〃+A|+c,

当且仅当一〃勺匕。时，等号成立.

又。>0,b>0f所以|〃+。|=〃+。,

所以/(x)的最小值为a+b+c.

又已知危)的最小值为4,所以〃+/?+c=4.

(2)由(1)知〃+。+。=4,由柯西不等式得

/2+#+#(4+9+1巨信2+京3+CX1)2=(〃+0+°)2=]6,即宗+护+是辛

11

当且仅当爹=丁=；,即a=q,b=—,c=,时等号成立.

故1层+#+c2的最小值为方

6.解⑴当〃=1时，不等式段)“即为以|+2仅一1区4,

①当公1时，原不等式可化简为x+2(x—1)34,得13左2；

②当03<1时，原不等式可化简为％+2(1—%)34,得OSxvl；

2

③当x<0时，原不等式可化简为一元+2(1一元)04,得一]上<0.

综合①②③得，一|三烂2,即当。=1时，不等式小m4的解集为口一|三烂21.

(2)①当x>a时，j[x)=x+2(x—a)=3x—2a；

②当时，fix)=x+2(a—x)=~x+2a；

③当x<0时,艮4=—x+2(a~x)=~3x+2a.

作出函数危)的大致图象如图所示，

由图象知人%)min=。，所以定4，即实数〃的取值范围为[4,+oo).

7.解(1)当〃=—2时，不等式/Cx)<g(x)即|2x—l|+|2x—2|—x—3<0.

设函数y=|2x—l|+|2x—2|—x—3,

-5x,x<2,

则y=<1

7J'—X—2,步区1,

、3%一6,x>l,

其图象如图所示.从图象可知，当且仅当x£(0,2)时，y<0.

所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.

⑵当工£一冬，时，/(x)=l+m不等式7(x)0g(x)即l+〃Sr+3,所以正〃一2对工£

一余，恒成立，故一君L2，解得悬.又〃>一1，所以一1<忌.

所以〃的取值范围是(一1，1.

8.解⑴不等式段)<4一|x—1|,即|3冗+2|+枕一1式4.

252

当xv—W时，即—3x—2—x+l<4,解得一4<x<一亨

221

当一铲烂1时，即3x+2—x+l<4,解得一铲x<2；

当x>l时，即3x+2+x—1<4,无解.

综上所述,无《V

(2)5+!=七十力("+")=1+1+3+%4(当且仅当"="=3时等号成立),

令^(x)=\x-a\~f(x)=\x-a\—\3x+2\

<2

2x+2+〃，x<-