备考2024年中考数学专题突破（全国通用）专题2-3 八种隐圆类最值问题圆来如此简单（原卷版）

专题2-3八种隐圆类最值问题，圆来如此简单在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！TOC\o"1-3"\n\h\z\u知识点梳理题型一定点定长得圆2023年湖北省鄂州市中考数学真题2023·邵阳市中考真题2023·广西南宁市二模2022·辽宁抚顺·中考真题2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径2023·菏泽市中考真题2022·通辽·中考真题2023·汕头市金平区一模2023·广州市天河区三模2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆2023年·广元市一模题型四定弦定角得圆2023·成都市新都区二模2023·成都市金牛区二模2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值2023·随州市中考真题2022·江苏无锡·中考真题2022扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考知识点梳理一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算 二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)

三、对角互补前世：在⊙O上任意四点A，B，C，D所围成的四边形对角互补今生：若四边形ABCD对角互补，则A，B，C，D四点共圆 四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．前世：在⊙O中，若弦AB长度固定则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用) 今生：若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的点，C在⊙O的优弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动)

五、四点共圆模型 前世:在⊙O中，ABCD是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD)今生:若四边形ABCD中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则△ABC的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。 问题解决：如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因此三角形ABC的面积就有一个最小值。所谓定角定高是指三角形的一条边和这条边上的高是定值．一般是考查直角三角形，此时我们可以取斜边中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及斜垂关系来解决面积最小值问题；通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的问题．这类问题都是在等腰时取得最小值．当定角不是直角时，通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的方法仍然适用，而面积最小值可以通过构造三角形的外心或外接圆来解决．七、米勒角（最大张角）问题【问题提出】己知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时，∠APB最大?米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题.米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角＞圆外角，即 问题解决证明：在直线l上任取一点Q（不与P点重合），连接AQ、BQ，∠AQB即为圆O的圆外角∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大∴当圆与直线l相切时，∠APB最大题型一定点定长得圆如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2 B． C．3 D．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为？2023年湖北省鄂州市中考数学真题如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（）

A． B． C． D．2023·邵阳市中考真题如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为．

2023·广西南宁市二模在矩形中，，将绕点B顺时针旋转α（）得到，连接，若的最小值为2，则的长为．

2022·辽宁抚顺·中考真题如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边AD、BC上的动点，且CF＝2AE，连接EF，将四边形ABFE沿EF翻折，点A、B的对应点分别为A'、B'，连接A'D，则A'D的最小值为___________．AADEA′BCFB′如图，半圆O的直径AB的长为6，长度为2的弦CD在半圆上滑动，E是CD的中点，DF⊥AB于F，连接AC、EF，当线段EF的长最大时，AC的长为___________．AABOCDEF2022·长春·中考真题如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．(1)点D到边的距离为__________；(2)用含t的代数式表示线段的长；(3)连结，当线段最短时，求的面积；(4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值．题型二直角的对边是直径如图，在中，，，为上的一个动点，以为直径的与相切于点，交于点，则的最小值为．

（2021威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF，连接DE与AF交于点G，连接BG，则BG的最小值为_________．CCBGDAEF（2023·嘉兴·二模）在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结．点从点向点运动的过程中，的最小值为．

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝6，OC＝4，点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使得边EF经过点B，当点F到原点O的距离最大时，点F的坐标为___________．xxBAODCyEF2023·菏泽市中考真题如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为．

（2023·武汉·一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的面积是．

2022·通辽·中考真题如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为．（2023·广州·三模）如图，矩形中，，，点E、F分别是线段上的动点，且，过D作的垂线，垂足为H．

（1）当时，．（2）当E在上运动时，的最小值为．（2023·安阳·一模）如图，正方形的边长为，点E是边上的一个动点，点F是边上的一个动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值为．

（2023·深圳·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为．

2023·汕头市金平区一模如图，的直径，点C为中点，弦经过点C，且．点F为上一动点，连接．于点G．若，在点F运动过程中，线段的长度的最小值为．

2023·广州市天河区三模如图，矩形中，，，点E、F分别是线段上的动点，且，过D作的垂线，垂足为H．

（1）当时，．（2）当E在上运动时，的最小值为．

2022·成都市成华区二诊如图，在中，．若点为平面上一个动点，且满足，则线段长度的最小值为，最大值为．如图，在矩形中，，，为边上一动点，为中点，为上一点，，则的最小值为．

如图，在矩形中，，E，F分别为，边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最小值为．

题型三对角互补得圆（2023·广东深圳·统考二模）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（

）A． B． C． D．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝__________.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为．2023年·广元市一模如图，正方形的边长为4，点E是边上的动点，过点E作交于点F，点G在上，且，点M、N分别为、的中点，连接，则的最小值为．（2023·广东深圳·统考二模）如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为．题型四定弦定角得圆如图，在△ABC中，BC＝2，点D是BC的中点，∠DAC＝45°，则AB2＋AC2的最大值为___________．DDBCA如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC内一点，∠BPC＝120°，连接AP，则AP长的最小值为___________．AABCP如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且BD＝3DC，若AD＝1，则△ABC的面积的最大值为____________．AABCD如图，△ABC中，∠BAC＝30°，AD是中线，AD＝2，求△ABC面积的最大值．AABCD2023·成都市新都区二模如图，在边长为的等边中，动点在边上（与点，均不重合），点在边上，且，与相交于点，连接当点在边上运动时，的最小值为．

2023·成都市金牛区二模在菱形中，，点P是对角线上一动点，点Q是边上一动点，与始终相等，连结，交点为E，连结，则的最小值是．2023·达州·中考真题在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为．题型五四点共圆如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC边上一动点，BE⊥AD交AD的延长线于点E，则EQ\F(DE,AD)的最大值为___________．CCABED如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝eq\r(,3)，AD⊥AC交BC于点D，点E是AB边上一动点，过A、D、E三点的圆交EC于点F，连接AF，则AF的最小值是___________．AABCEDF如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一点，BD＝2DC，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，连接EF，则线段EF长的最小值为___________．AABCDEF题型六相切时取到最值如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD边上一动点，BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值为___________．AADBCEGF2023·随州市中考真题如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为；的最大值为．

2022·江苏无锡·中考真题△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．2022扬州中考真题如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，AB＝6，点D是BC边上一动点，过点D作DE⊥AD，交AB于点E，则线段AE长度的最小值为_________．CCBDAE题型七定角定高面积最小、周长最小问题如图，点A是直线l外一点，AH⊥l于H，AH＝2，点B、C是直线l上的动点，且∠BAC＝90°，探究△ABC面积的最小值和周长的最小值，并说明理由．AABCHl如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为．．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝eq\r(,7)，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′（点A、B的对应点分别为A'、B′），CA′、CB′的延长线分別交直线m于点P、Q．试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．mmBQACB′DA′P如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点B、C是直线l上的两个动点，且∠BAC＝30°，求线段BC长度的最小值．AABCHl如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别是边BC、CD上的动点，∠EAF＝60°，求△AEF面积的最小值．AADBCEF如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是BC边上的一点，BD＝2，CD＝4，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝120°，求△DEF的面积的最小值．AABDCEF如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，BD＝2．（1）求△ABC周长的最小值；（2）当△ABC的周长最小时，求四边形ABCD面积的最大值．AABCD如图，在等边△ABC中，点D是BC边上的一点，BD＝2，CD＝4，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且∠EDF＝90°，则△DEF的面积的最小值为___________．AABDCEF题型八米勒角（最大张角）模型如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（）A．2 B．3 C． D．如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP＝．在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使∠MPN最大，则P点的坐标为如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是米.已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C是x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标为____如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．

辅助圆之定角定高求解探究（1）如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2