2023年河南省南阳市桐柏县中考数学一模试卷（含答案）

2023年河南省南阳市桐柏县中考数学一模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。

1.（3分）-1的相反数是（）

C.-2

2.（3分）如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它从上面看到的形状图为（）

O

B.≤∑≈∑>

3.（3分）中国信息通信研究院测算，2020-2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将

超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元.其中数据10.6万亿用科学记数法表

示为（）

A.10.6×104B.1.06×10l3C.10.6×1013D.1.06×108

4.（3分）如图所示，直线a、b被c、d所截，下列条件中能说明“〃。的是（）

ab

A.Nl=N2B.Z2+Z4=180oC.Z3=Z4D.Zl+Z4=180o

（3分）下列计算正确的是（

B.Λ2∙X3=X6

C.r⅛c2=x5D.(x+y)2=x2+y2

6.（3分）下列调查中，最适合采用普查的是（

A.对某市居民垃圾分类意识的调查

B.对某批汽车抗撞击能力的调查

C.对一批节能灯管使用寿命的调查

D.对某班学生的身高情况的调查

7.（3分）若一元二次方程ax2+2x+l=0有两个不相等的实数根,则实数”的取值范围是（）

A.α<lB.αWlC.αWl且D.«<1J.a≠0

8.（3分）如图，A,B为定点，定直线/〃AB,尸是/上一动点，点N分别为布，PB

的中点.下列各值：①线段MN的长；②△/¾B的周长；③4PMN的面积；④直线

AB之间的离；⑤/AP3的大小.其中会随着点P的移动发生变化的值是（）

A.②③B.①③④C.④⑤D.②⑤

*q>0）

9.（3分）定义新运算：〃㊉q=，,例如：2㊉3=2,2㊉（-3）=2,则y=

上（q<0）33

q

4φ.r（x≠0）的图象是（）

10.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点Al在X轴的正半轴上，BI在第一象限，且4OA∣Bι

是等边三角形.在射线OE上取点比，阴，…，分别以为比，B2B3.…为边作等边三角

形Z∖82A383,…使得4，A2,A3,…在同一直线上，该直线交y轴于点C若

OAi=LZOAιC=30o,则点砌的横坐标是（）

%

A.255B.511C.256D.ʒɪɜ

222

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）因式分解：3nvc-Gmy=.

24

12.（3分）若点A（-3,yι）,B（-4,”）在反比例函数¥=-^——^的图象上,则yι）2.（填

X

">”或"<”或"=”）

13.（3分）某社区组织A、B、C、。小区的居民接种加强针新冠疫苗.若将这4个小区的

居民随机分成两批，每批2个小区的居民接种加强针，则A、B两个小区都被分在第一批

的概率是.

14.（3分）如图，正五边形ABCDE的边长为4,以AB为边作等边AAB凡则图中阴影部

分的面积为.

15.（3分）如图，在AACB中，NACB=90°,NB=30°,AB=4,C。是中线，E是边

上一动点，将AQEB沿。E折叠得到4QEF,若点F（不与点C重合）在aABC的角平

分线上，则CE的长为

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.（10分）（1）计算：I-2∣+（3.14-π）0-（-ɪ）^'

3

（2）化简：（Zr-I）2-（2x+3）（Zr-3）.

17.（9分）王老师任教的（1）班和（2）班均为40人，期末数学成绩相关的统计表和统计

图如下.

统计量平均数众数中位数优秀率

(1)班79847640%

成绩均为整数，满分100分，成绩等级分为：优秀（80分及以上），良好（70~79分），

合格（60~69分），不合格（60分以下）.（2）班中“良好”这一组学生的成绩分别是：

70,71,73,73,73,74,76,77,78,79.

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出（2）班成绩的中位数和优秀率.

（2）成绩是76分的学生，在哪个班的名次更好些？为什么？

（3）你认为哪个班整体成绩更好，请说明理由.

18.（9分）己知四边形ABC3是平行四边形，AB<AD.

（1）利用尺规作图作NBA。的平分线AE交BC于点E,在AQ上截取AF=A8,连接

EF；（要求保留作图痕迹，不写作法）

（2）求证：四边形力BE尸是菱形.

19.（9分）北京冬残奥会期间，为方便中外参赛运动员的生活起居、参赛出行，组委会在

无障碍设施方面做了精心的安排，让运动员在细节里感受“中国温度”.如图1是一场馆

内的无障碍坡道，其示意图如图2所示，台阶的垂直高度AB的长为14",缓坡BD的

坡角∕Q3C=6°,缓坡FZ）的坡角NEf>F=8°,平台AF的长为2机，求BC的长.（结

果精确到0.1m）（参考数据：sin6o-0.10,cos6°≈=≈0.99,tan60≡=≈0.1Lsin8oQo.14,

cos8o5⅛0.99,tan8o^0.14)

图1图2

20.（9分）学校用6000元购买了A、B两种树苗共150棵进行植树活动.已知一棵B种树

苗是一棵A种树苗价格的2倍，且购买4种树苗与购买B种树苗费用相同.

（1）求购买一棵A种树苗、一棵B种树苗各需多少元？

（2）若学校第二次购买4、8两种树苗共90棵，且第二次购买A种树苗的棵数不多于B

种树苗棵数的2倍，问至少要花多少钱？

21.（9分）如图，AB是。。的直径，E为AB延长线上一点，EC切。。于C,A。，CE于

点D.

（1）求证：NDAC=NEAC；

（2）如果BE=2,CE=4,求线段4。的长.

D

C

22.（10分）小明家所在小区要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的

顶端安一个喷水头，喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线的路径落下，记水流

与池中心水管的水平距离为X米，距地面的高度为y米，测量得到如下数值：

x/m0411.522.53

y!m2.53.33.93.853.32.257

小明根据学习函数的经验，发现y是X的函数，并对y随X的变化而变化的情况进行了

探究.

（1）首先通过描点法画出该函数的图象，结合函数图象发现，水管出水口距地面的高度

OC为〃?，可得到y关于X表达式为,水流达到最高点时与池中心水管

的水平距离为in；

（2）如图，考虑到小区的喷水池面积有限，现只降低水管出水口距离地面的高度OC,

使水流落地点与水管的距离OA缩短为3m,请求出降低后的水管高度是多少？

23.（10分）在AABC中，NACB=90°,AC=BC,点。是直线AB上的一动点（不与点A,

B重合）连接CD,在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE,点H是80的中

点，连接EH.

【问题发现】

（1）如图（1）,当点。是AB的中点时•，线段E”与AO的数量关系是.EH与

AD的位置关系是.

【猜想论证】

(2)如图(2),当点。在边AB上且不是48的中点时，(1)中的结论是否仍然成立？

若成立，请仅就图(2)中的情况给出证明；若不成立，请说明理由.

【拓展应用】

(3)若AC=BC=2如,其他条件不变，连接AE、BE.当aBCE是等边三角形时，请

直接写出AAOE的面积.

图O)图(2)备用图

2023年河南省南阳市桐柏县中考数学一模试卷

（参考答案与详解）

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。

1.（3分）-1的相反数是（）

2

A.-ɪB..1C.-2D.2

22

【解答】解：-1的相反数是工，

22

故选:B.

2.（3分）如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它从上面看到的形状图为（）

【解答】解：根据题意得：从上面看到的形状图为:

故选：D.

3.（3分）中国信息通信研究院测算，2020-2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将

超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元.其中数据10.6万亿用科学记数法表

示为（）

A.10.6×1034B.1.06×10l3C.10.6×1013D.1.06×108

【解答】解：10.6万亿=10600000000000=1.06X10∣3.

故选：B.

4.（3分）如图所示，直线a、b被c、d所截，下列条件中能说明的是（)

ab

A.Z1=Z2B.Z2+Z4=180oC.N3=N4D.Zl+Z4=180o

【解答】解：∙..∕3=N4,

...a〃b（同位角相等，两直线平行）,

故选：C.

5.（3分）下列计算正确的是（）

A.X8÷Λ4=X4B.x2∙x3=x6

C.Λ3+X2=X5D.(X+y)2=x1+y2

【解答】解：A.χ8÷χ4=χ4,故本选项符合题意;

B.√∙Λ3=X5,故本选项不符合题意；

C.N与/不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意;

D.（X+y）2=∕+2xy+）2,故本选项不符合题意；

故选：A.

6.（3分）下列调查中，最适合采用普查的是（）

A.对某市居民垃圾分类意识的调查

B.对某批汽车抗撞击能力的调查

C.对一批节能灯管使用寿命的调查

D.对某班学生的身高情况的调查

【解答】解：Λ.对某市居民垃圾分类意识的调查，普查工作量大，适合抽样调查，故本

选项不合题意；

B.对某批汽车抗撞击能力的调查，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；

C.对一批节能灯管使用寿命的调查，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；

D.对某班学生的身高情况的调查，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意.

故选：D.

7.（3分）若一元二次方程/+21-1=0有两个不相等的实数根,则实数。的取值范围是（）

A.aVlB.β≤lC.“W1且αW0D.α<l且“W0

【解答】解：•••一元二次方程/+2x+l=0有两个不相等的实数根，

Λa≠0,Δ=?-4<7C=22-4XaXl=4-4α>0,

解得：α<l且αW0,

故选：D.

8.(3分)如图，A,B为定点，定直线/〃AB,尸是/上一动点，点N,N分别为现，PB

的中点.下列各值：①线段MN的长；②△/¾B的周长；③4PMN的面积；④直线MM

AB之间的离；⑤/AP2的大小.其中会随着点P的移动发生变化的值是()

A.②③B.①③④C.④⑤D.②⑤

【解答】解：；点A，B为定点，点M,N分别为外，PB的中点，

.∙.MN是△/¾B的中位线，

MN=IAB,

2

即线段MN的长度不变，故①错误；

PA,PB的长度随点P的移动而变化，

所以，△以B的周长会随点P的移动而变化，故②正确；

•：MN的长度不变，点P到MN的距离等于I与AB的距离的一半，

.∙.△尸MN的面积不变，故③错误；

直线MN,AB之间的距离不随点尸的移动而变化，故④错误；

N4PB的大小点P的移动而变化，故⑤正确.

综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤.

故选：D.

R(q>0)

9.(3分)定义新运算：P㊉Q,例如：2㊉3=2,2φ(-3)贝Uy=

-x(q<0)33

Q

4φx(x≠0)的图象是()

yy

A.OB.O

R(q>O)

【解答】解：㊉q=

ws<°)

国(x>0)

X

∙R=4㊉X='

-ʌ(x^≤0)

X

故选：D.

10.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点Al在X轴的正半轴上，Bi在第一象限，且AOAiBi

是等边三角形.在射线OBl上取点历，B3,…，分别以以比，B2B3,…为边作等边三角

形ABιAzB2,∙∆82A383,…使得4，A2，小，…在同一直线上，该直线交y轴于点C.若

04=1,NoAIC=30°,则点砌的横坐标是（）

C.256

22

【解答】解：∙.∙a048ι是等边三角形，OA1=I,

,Bi的横坐标为工，OA∖=OBi,

2

设8ι(A,y),则e/+y2=/,

解答），=*■或y=二冬（舍），

ΛB1（X返），

22

/.OBi所在的直线的解析式为y=√5x,

VOAi=I,∕O4C=30°,△（?AIBl是等边三角形,

ΛZBιAIC=90°,

；/0814=NBiB2A2=60°,

.".B1A1//B2A2,

.../BIAC=NB2AMI=90°,

...NBiAMi=30°，

.".B↑A2=2Λ∖B∖=2,

：.B2的横坐标为3,

2

：.y=Mx=^^-，

2

ΛB2（3,ɜʧɪ.）,

22_

同理：B3（1,zʧɜ.）,

22

B4（ɪ旦应），

22

总结规律：

Bl的横坐标为工，

2

历的横坐标为Ll=旦，

22

B3的横坐标为1+1+2=工，

22

B4的横坐标为工+1+2+4=K,

22

.∙.点Bg的横坐标是∙j∙+l+2+4+8+16+32+64+128=至IL

故选：B.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.（3分）因式分解：3g-6my=3〃？（X-2y）.

【解答】解：原式=3加（χ-2y）.

故答案为：3/n（X-2y）.

2口

12.（3分）若点A（-3,川），3（-4,y2）在反比例函数y=正上L的图象上，则yιV

X

（填或"V”或“=”）

【解答】解：••乂=∕+l>0,

・・・反比例函数y=。L的图象在一、三象限，且在每个象限内y随工的增大而减小，

X

丁点A（-3,y↑）,8（-4,”）同在第三象限，且-3>-4,

∙*∙yι<>j2,

故答案为：V.

13.（3分）某社区组织A、B、C、。小区的居民接种加强针新冠疫苗.若将这4个小区的

居民随机分成两批，每批2个小区的居民接种加强针，则A、8两个小区都被分在第一批

的概率是1.

-6-

【解答】解：画树状图如下：

开始

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中A、8两个小区都被分在第一批的结果有2种，即AB、

BA,

...A、B两个小区都被分在第一批的概率为2=工，

126

故答案为：1.

6

14.（3分）如图，正五边形ABCQE的边长为4,以AB为边作等边AABR则图中阴影部

分的面积为_丝兀_.

【解答】解：在正五边形48CDE中，NEAB=（5-2）X180。=]08。,

5

•.♦△48尸是等边三角形,

ΛZFAB=60°,

ΛZEAF=48o,

.C48×42π32兀

・∙S阴影二―360—15

故答案为：丝2L.

15

15.（3分）如图，在AACB中，∕ACB=90°,NB=30°,AB=4,CD是中线，E是边

上一动点，将aOEB沿DE折叠得到AOEH若点F（不与点C重合）在AABC的角平

分线上，则CE的长为考^■或2（E-I）.

【解答】解：如图1,当尸点在/CAB的角平分线上时,

VZB=30o,

ΛZCAB=60°,

ΛZBAF=30",

由折叠可知，/8=NOfE=30°,BE=EF,

,：ZFAD=ZDFA=30o,

ΛZBDF=60°,

J.DF//AC,

：.DHLBC,

.∙.，是BC的中点，

∙.,AB=4,

.'.AC=2,BC=2√3,

：.BH=M,

：。是AB的中点，

：.HD=\,

在RtZ∖EF“中，HE=工EF,

2

"E=返,

3

如图2,当尸点在NABC的角平分线上时，

由折叠知，BD=BE,

,.,NDBF=NFBE,

,△DBF注AEBF(SAS),

：.EF=FE,

•JEB=EF,

IBD=DF=EF=BE,

'：BD=AD^2,

：.BE=2,

VBC=2√3-

ΛCE=2√3-2；

综上所述：CE的长为生应或2(√3-1),

_3

故答案为：生应或2(√ξ-1).

3

图2

A

三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)

16.(10分)(1)计算：I-2∣+(3.14-π)0-(-ɪ)1

3

(2)化简：(2Λ--1)2-(2x+3)(2Λ∙-3).

【解答】解：(1)原式=2+1+3

=6；

(2)原式=M2-4x+l-(4?-9)

=4Λ2-4x+l-4X2+9

=10-4x.

17.（9分）王老师任教的（1）班和（2）班均为40人，期末数学成绩相关的统计表和统计

图如下.

统计量平均数众数中位数优秀率

(1)班79847640%

成绩均为整数，满分100分，成绩等级分为：优秀（80分及以上），良好（70~79分）,

合格（60~69分），不合格（60分以下）.（2）班中“良好”这一组学生的成绩分别是:

70,71,73,73,73,74,76,77,78,79.

根据以上信息，回答下列问题：

(1)写出(2)班成绩的中位数和优秀率.

(2)成绩是76分的学生，在哪个班的名次更好些？为什么？

(3)你认为哪个班整体成绩更好，请说明理由.

【解答】解：(1)(2)班成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数

据分别为71、73,

所以其中位数为‘I+"=72,优秀率为9至XIOO%=30%；

240

(2)成绩为76分的学生在(2)班的名次更好，

V(1)班成绩的中位数是76,(2)班成绩的中位数是72,

成绩为76分的学生在(2)班的名次更好；

(3)(1)班，

因为(1)班成绩的中位数和优秀率均高于(2)班.

18.(9分)已知四边形ABCC是平行四边形，AB<AD.

(1)利用尺规作图作的平分线AE交8C于点E,在AO上截取4F=AB,连接

ER(要求保留作图痕迹，不写作法)

(2)求证：四边形ABE尸是菱形.

,,.AD//BC,

：.AFAE=ABEA,

；4£：平分/84尸，

：.NBAE=NFAE,

"BAE=ZBEA,

：.BA=BE,

'：AB=AF,

.∖AF=BE,

AF//BE,

：.四边形ABEF为平行四边形，

'：AB=AF,

.∙.四边形ABE尸是菱形.

19.（9分）北京冬残奥会期间，为方便中外参赛运动员的生活起居、参赛出行，组委会在

无障碍设施方面做了精心的安排，让运动员在细节里感受“中国温度”.如图1是一场馆

内的无障碍坡道，其示意图如图2所示，台阶的垂直高度AB的长为14”，缓坡8。的

坡角NOBC=6°,缓坡FD的坡角∕EQF=8°,平台AF的长为2祖，求BC的长.（结

果精确到0.1〃?）（参考数据：sin6o-0.10,cos6o≈¾0.99,tan6o-0.11,sin80M）.14,

cos8°≈:⅛0.99,tan80≈⅛0.14）

解：作尸MJ_BC于点M,延长。E交尸M于点N,设8C=Λ≡,则CM=。N=X-2,

在RtABCZ)中，tan∕CBD=里，

BC

Λtan6o=空，

X

ΛCD=x∙tan6o=0.1Ix,

：.MN=CD=OMx,

.JN=1.4-0.11%,

在RtZYDFN中，tan/FQN=更，

DN

.∙.tan8°=2r-⅜~Q..:.ɪ,ɪΣ≈0.14,

χ-2

解得xs⅛6.7.

答：BC的长约为6.7米.

20.(9分)学校用6000元购买了A、B两种树苗共150棵进行植树活动.已知一棵B种树

苗是一棵A种树苗价格的2倍，且购买A种树苗与购买B种树苗费用相同.

(1)求购买一棵4种树苗、一棵B种树苗各需多少元？

(2)若学校第二次购买A、B两种树苗共90棵，且第二次购买A种树苗的棵数不多于8

种树苗棵数的2倍，问至少要花多少钱？

【解答】解：(1)设购买一棵A种树苗，购买一棵B种树苗分别为X元、2x元，

根据题意得：3000+3000=150,

X2x

解得：X—30,

经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，

Λ2x=2×30=60.

答：购买一棵8种树苗需要60元，购买一棵A种树苗需要30元；

(2)设购买A种树苗加棵，则购买B种树苗(90-∕n)棵，

根据题意得：InW2(90-m),

解得：∕w≤60,

设购买两种树苗90棵所需总费用为W元，则卬=30m+60(90-77?)=-30πz+5400.

'.N=-30<0,

ʌW随m的增大而减小，

V∕n≤60,且相为正整数,

.,.当机=60时，w取得最小值为3600.

答：至少要花3600元钱.

21.(9分)如图，AB是。。的直径，E为AB延长线上一点，EC切00于C,A。，CE于

点D.

(1)求证：ZDAC=ZEAC;

(2)如果BE=2,CE=4,求线段AQ的长.

【解答】(1)证明：连接OC,如图，

；EC切。。于C,

J.OCLDE,

∖"ADLCE,

J.OC//AD,

：.ADAC=AOCA,

"：OA=OC,

.∙.∕OC4=NEAC,

：.ΛDAC=ZEAC-.

(2)解：设C)O的半径为r,则OC=OB=r,

在Rt△OCE中，r2+42=(H2)2,

解得r=3,

.'.OC=OB=3,

∖'OC∕∕AD,

：.XECOsXEDA,

•OC—EoRn3—5

ADEAAD5+3

.∙.AO=9

5

D

22.（10分）小明家所在小区要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的

顶端安一个喷水头，喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线的路径落下，记水流

与池中心水管的水平距离为X米，距地面的高度为y米，测量得到如下数值：

x/m0411.522.53

y!m2.53.33.93.853.32.257

小明根据学习函数的经验，发现），是X的函数，并对y随X的变化而变化的情况进行了

探究.

（1）首先通过描点法画出该函数的图象，结合函数图象发现，水管出水口距地面的高度

OC为2.5m,可得到y关于X表达式为V=--+2=+2.5,水流达到最高点时

与池中心水管的水平距离为1.2mx

（2）如图，考虑到小区的喷水池面积有限，现只降低水管出水口距离地面的高度OC,

使水流落地点与水管的距离OA缩短为3〃?，请求出降低后的水管高度是多少？

【解答】解：（1）；记水流与池中心水管的水平距离为X米，距地面的高度为y米，当X

=0时，y=2.5,

.∙.水管出水口距地面的高度OC为2.5，”；

设抛物线的解析式为y=αv2+bx+c,将（0,2.5）,（1,3.9）,（2,3.3）代入得：

'c=2.5

,a+b+c=3.9，

4a+2b+c=3.3

a=-l

解得一b=2.4-

c=2.5

.*.y关于X的函数表达式为y=-Λ2+2.4Λ+2.5;

；），=-X2+2.4X+2.5=-（X-1.2）2+3.94,

，该抛物线的顶点坐标为（1.2,3.94）,

.∙.水流达到最高点时与池中心水管的水平距离为1.2m.

故答案为：2.5；y=-，+2.4x+2.5；1.2；

（2）Y只降低水管出水口距离地面的高度OC,

•••设降低水管出水口距离的抛物线的解析式为y=-x2+2Ax+m,

水流落地点与水管的距离OA缩短为3m,

，抛物线y=-Λ2+2.4X+机经过（3,0）,

-32+2.4×3+W=0,

；・m=1.8,

.∙•降低水管出水口距离的抛物线的解析式为y=-Λ2+2.4X+1.8,

令x=0,则y=1.8,

降低后的水管高度为1.8米.

23.（10分）在AABC中，N4CB=90°,4C=8C,点O是直线AB上的一动点（不与点A,

B重合）连接CD,在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE,点”是Bo的中

点