新教材高中数学人教A版学案8-6-3第1课时平面与平面垂直的判定

8．6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定[目标]1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小；2.理解两平面垂直的定义；3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题．[重点]两个平面垂直的判定定理及应用．[难点]二面角及其平面角的定义的理解；求二面角．要点整合夯基础知识点一二面角及其平面角[填一填]1．二面角2．二面角的平面角(1)满足条件：如图，射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，则平面角∠AOB应满足的条件为：①O∈l；②OA⊥l；③OB⊥l.(2)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．(3)取值范围：二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.[答一答]1．二面角是一个角吗？其平面角是否只有一个？提示：不是，二面角是从一条直线出发的两个半平面构成的空间图形．不是，其平面角有无数个．知识点二平面与平面垂直[填一填]1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β.2．画法：两个互相垂直的平面，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如下图(1)(2)所示．3．判定定理文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．符号语言：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β.图形语言：如图所示．[答一答]2．面面垂直的判定定理的条件有几个，减少一个条件定理是否还成立？提示：判定定理有两个条件，若去掉一个条件，则定理不一定成立．3．当开启房门时，为什么房门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？提示：因为房门无论转到什么位置，都始终经过与地面垂直的门轴，根据两个平面垂直的判定定理知，门所在平面都与地面垂直．4．过一点有多少个平面与已知平面垂直？为什么？提示：过一点有无数个平面与已知平面垂直，虽然过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，但是经过这条垂线的所有平面都和已知平面垂直．典例讲练破题型类型一二面角的概念及求法[例1]如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A­PD­C平面角的度数；(2)求二面角B­PA­D平面角的度数；(3)求二面角B­PA­C平面角的度数．[分析](1)证明平面PAD⊥平面PCD；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小．[解](1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A­PD­C平面角的度数为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B­PA­D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，∴二面角B­PA­D平面角的度数为90°.(3)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B­PA­C平面角的度数为45°.清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”.[变式训练1]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求二面角B­A1C1­B解：如图，取A1C1的中点O连接B1O、BO.由题意知B1O⊥A1C1又BA1＝BC1，O为A1C1所以BO⊥A1C1所以∠BOB1即是二面角B­A1C1­B1因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB设正方体的棱长为a，则OB1＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2)，所以二面角B­A1C1­B1的正切值为eq\r(2).类型二平面与平面垂直的判定[例2]如图所示，四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.[证明]∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.判定两平面垂直的常用方法：1定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角；2判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；3性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.[变式训练2]如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，E为AB的中点．求证：平面DD1E⊥平面CD1E证明：在矩形ABCD中，E为AB的中点，AD＝2，AB＝4，所以DE＝CE＝2eq\r(2)，因为CD＝4，所以CE⊥DE，因为D1D⊥平面ABCD，所以D1D⊥CE，因为D1D∩DE＝D，所以CE⊥平面D1DE，又CE⊂平面CED1，所以平面DD1E⊥平面CD1E.

类型三线面垂直、面面垂直的综合应用[例3]如图所示，已知三棱锥P­ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角D­AP­C的正弦值；(3)若M为PB的中点，求三棱锥M­BCD的体积．[分析]本题的题设条件有三个：①△ABC是直角三角形，BC⊥AC；②△PDB是正三角形；③D是AB的中点，PD＝DB＝10.解答本题(1)，只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直，对于(2)首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值，解答(3)小题的关键是用等体积法求解．[解](1)证明：∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB＝20，∴PD＝eq\f(1,2)AB＝10，∴△PAB为直角三角形且∠APB＝90°，∴AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC.又AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)∵PA⊥PC，且PA⊥PB，∴∠BPC是二面角D­AP­C的平面角．由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，∴sin∠BPC＝eq\f(BC,PB)＝eq\f(2,5).(3)∵D为AB的中点，M为PB的中点，∴DM∥PA，故DM＝5eq\r(3)，由(1)知PA⊥平面PBC，∴DM⊥平面PBC.∵S△BCM＝eq\f(1,2)S△PBC＝2eq\r(21)，∴VM­BCD＝VD­BCM＝eq\f(1,3)×5eq\r(3)×2eq\r(21)＝10eq\r(7).本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直.[变式训练3]如图，在三棱锥P­ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．(1)求证：DE∥平面PAC；(2)求证：AB⊥PB；(3)若PC＝BC，求二面角P­AB­C的大小．解：(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC，所以DE∥平面PAC.(2)证明：因为PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PC⊥AB.又因为AB⊥BC，PC∩BC＝C，所以AB⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，所以AB⊥PB.(3)由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC，所以∠PBC即为二面角P­AB­C的平面角，因为PC＝BC，∠PCB＝90°，所以∠PBC＝45°，所以二面角P­AB­C的大小为45°.课堂达标练经典1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α­l­β的平面角，则必须具有条件(D)A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则二面角A­B1D1­BA.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(\r(6),4)D.eq\f(\r(7),4)解析：如图所示，连接AC交BD于点O，取B1D1的中点E，连接AE，OE，则AE⊥B1D1，OE⊥B1D1，所以∠AEO是二面角A­B1D1­B的平面角．又正方体的棱长为1，所以B1D1＝B1A＝AD1＝eq\r(2)，所以AE＝eq\f(\r(6),2).又OE＝BB1＝1，所以cos∠AEO＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(6),3)，即二面角A­B1D1­B的余弦值为eq\f(\r(6),3)，故选A.3．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(D)A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.4.在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P­ABC的四个面中，互相垂直的面有3对．解析：∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC.∵PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：平面PAB⊥平面PAC.5．如图，在四面体A­BCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD.证明：如图，取BD的中点E，连接AE，CE.由AB＝AD＝CB＝CD，知AE⊥BD，CE⊥BD，所以∠AEC为二面角A­BD­C的平面角．在△ABE中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，所以AE2＝AB2－BE2＝eq\f(1,2)a2，同理CE2＝eq\f(1,2)a2，所以AE2＋CE2＝a2＝AC2，所以∠AEC＝90°.所以平面ABD⊥平面BCD.——本课须掌握的三大问题1．证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．3．求二面角的大小关键是要找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．学科素养培优精品微课堂不能正确找出二面角的平面角而致错开讲啦求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：线面的垂直，图形的对称性，与棱垂直的面等．[典例]在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA＝eq\r(3)，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，求二面角P­CD­B的大小．[分析]抓信息，找思路．[错解]如图所示，过A在底面ABCD内作AE⊥CD于E，连接PE，AC.∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵PA∩AE＝A，∴CD⊥平面PAE.又∵PE⊂平面PAE，∴CD⊥PE，∴∠PEA为二面角P­CD­B的平面角．(以下略)[错因分析]点E的位置应首先由已知的数量关系确定，而不是盲目地按垂线法直接作出．在找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按垂线法作二面角的平面角．[正解]过点A作AF⊥BC于点F，可求BF＝eq\f(1,2)，AF＝eq\f(\r(3),2)，CF＝eq\f(3,2)，则AC＝eq\r(AF2＋CF2)＝eq