专题15电磁感应中的棒轨模型（原卷版）

专题15电磁感应中的棒轨模型目录TOC\o"13"\h\u模型一单杆＋导轨模型 1类型1单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题 1类型2单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型 2模型二双杆＋导轨模型中的四类问题 3模型一单杆＋导轨模型单杆＋导轨模型是由单杆、导轨、电阻或电容器、磁场一般为匀强磁场组成，从导轨的放置方式上来分，可有水平导轨、竖直导轨、倾斜导轨三种类型，求解过程中要做好三个分析：电路分析、动力学分析、能量分析，在计算感应电荷量时，还要用到动量定理知识，试题难度一般较大。类型1单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题题型一(v0≠0)题型二(v0＝0)题型三(v0＝0)题型四(v0＝0)说明质量为m，电阻不计的单杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L竖直轨道光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L示意图力学观点杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝eq\f(BLv,R)，安培力F＝BIL＝eq\f(B2L2v,R)。杆做减速运动：v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止开始时a＝eq\f(F,m)，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq\f(FR,B2L2)开始时a＝gsinα，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mgsinα－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq\f(mgRsinα,B2L2)开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq\f(mgR,B2L2)图像观点能量观点动能全部转化为内能：Q＝eq\f(1,2)mv02F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WF＝Q＋eq\f(1,2)mvm2重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝Q＋eq\f(1,2)mvm2重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝Q＋eq\f(1,2)mvm2类型2单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型题型一(v0＝0)题型二(v0＝0)题型三(v0＝0)题型四(v0＝0)说明轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定轨道倾斜光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L轨道竖直光滑，杆cd质量为m，电阻为R，两平行导轨间距为L示意图力学观点S闭合，杆cd受安培力F＝eq\f(BLE,r)，a＝eq\f(BLE,mr)，杆cd速度v↑⇒感应电动势E感＝BLv↑⇒I↓⇒安培力F＝BIL↓⇒加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vmax＝eq\f(E,BL)开始时a＝eq\f(F,m)，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq\f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，F－F安＝ma，a＝eq\f(F,m＋B2L2C)，所以杆做匀加速运动开始时a＝gsinα，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq\f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，mgsinα－F安＝ma，a＝eq\f(mgsinα,m＋CB2L2)，所以杆做匀加速运动开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq\f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，mg－F安＝ma，a＝eq\f(mg,m＋CB2L2)，所以杆做匀加速运动图像观点能量观点电源输出的电能转化为动能：W电＝eq\f(1,2)mvm2F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF＝eq\f(1,2)mv2＋EC重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝eq\f(1,2)mv2＋EC重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝eq\f(1,2)mv2＋EC模型二双杆＋导轨模型中的四类问题双杆＋导轨模型是由双杆和导轨、匀强磁场组成，其中导轨有光滑和不光滑两种情况，两杆各自运动范围内导轨的宽度有相等和不相等两种情况，两杆可能有初速度，也可能受外力作用，总之，试题情景多样，过程复杂，难度较大。题型一(光滑的平行导轨)题型二(光滑不等距导轨)题型三(光滑的平行导轨)题型四(不光滑平行导轨)示意图导体棒长度L1＝L2导体棒长度L1＝2L2，两棒只在各自的轨道上运动导体棒长度L1＝L2摩擦力Ff1＝Ff2＝Ff导体棒长度L1＝L2图像观点力学观点棒1做加速度减小的减速运动，棒2做加速度减小的加速运动，稳定时，两棒以相等的速度匀速运动棒1做加速度减小的减速运动，棒2做加速度减小的加速运动，稳定时，两棒的加速度均为零，速度之比为1∶2开始时，两棒做变加速运动；稳定时，两棒以相同的加速度做匀加速运动开始时，若Ff<F≤2Ff，则棒2先做变加速运动后做匀速运动，棒1静止。若F>2Ff，则棒2先做变加速运动后做匀加速运动，棒1先静止后做变加速运动，最后和棒2做加速度相同的匀加速运动动量观点两棒组成的系统动量守恒两棒组成的系统动量不守恒对单棒可以用动量定理两棒组成的系统动量不守恒对单棒可以用动量定理两棒组成的系统动量不守对单棒可以用动量定理恒能量观点系统动能的减少量等于产生的焦耳热系统动能的减少量等于产生的焦耳热拉力做的功一部分转化为双棒的动能，一部分转化为内能(焦耳热)：W＝Q＋Ek1＋Ek2拉力做的功一部分转化为双棒的动能，一部分转化为内能(摩擦热和焦耳热)：W＝Q1＋Q2＋Ek1＋Ek2【模型演练1】（2024上·广东·高三广东华侨中学校联考期末）如图甲所示，光滑的金属导轨和平行，间距，与水平面之间的夹角，匀强磁场磁感应强度，方向垂直于导轨平面向上，间接有阻值的电阻，质量，电阻的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移时达到稳定状态，对应过程的图像如图乙所示。取，导轨足够长（，）。求：（1）末金属棒两端的电势差；（2）恒力F的大小；（3）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态，此过程中R产生的焦耳热；（4）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态过程，通过金属棒ab横截面的电荷量q和所用的时间t。【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。（1）如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。（2）如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源的输出功率。（3）如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1.求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。（4）若图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为μ，写出导体棒的速度大小随时间变化的关系式。【模型演练3】．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为=0.3，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得=2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和b的加速度大小；（2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度=2m/s的同时，导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度=4m/s，求流经导体棒a的最大电流；（3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为0.25J，求此过程中导体棒b的位移。一、单选题1．（2024上·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）如图所示，用金属制成的平行导轨由水平和弧形两部分组成，水平导轨窄轨部分间距为，有竖直向上的匀强磁场，宽轨部分间距为，有竖直向下的匀强磁场；窄轨和宽轨部分磁场的磁感应强度大小分别为和，质量均为金属棒垂直于导轨静止放置。现将金属棒自弧形导轨上距水平导轨高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，两棒接入电路中的电阻均为，其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，棒始终在窄轨磁场中运动，棒始终在宽轨磁场中运动，重力加速度为，不计一切摩擦。下列说法不正确的是（）A．棒刚进入磁场时，棒的加速度方向水平向左B．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，棒和棒组成的系统动量守恒C．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，通过棒的电量为D．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，棒上产生的焦耳热为2．（2024上·山西朔州·高三统考期末）光滑导轨固定于水平面上，导轨宽度为，导轨处于垂直水平面竖直向下的匀强磁场中，俯视图如图1所示，质量为的金属棒置于导轨上，金属棒在外力作用下由静止开始运动，已知外力随金属棒速度变化规律如图2所示，导轨左端连接阻值为的电阻，其余电阻不计，则关于金属棒运动过程下列说法正确的是（）A．金属棒做加速度逐渐减小的加速运动B．内通过电阻R的电量为C．磁感应强度大小为D．内外力的冲量大小为3．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源，并联电阻的阻值为R。不计轨道和导体棒的电阻，闭合开关S后导体棒从静止开始，经t秒以v匀速率运动，则下列判断正确的是（）A．速率B．从秒电源消耗的电能C．t秒后通过电阻R的电流为零D．t秒末导体棒ab两端的电压为E二、多选题4．（2024上·山东青岛·高三山东省平度第一中学校考期末）如图，空间中存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场中水平放置两根足够长的光滑金属导轨，导轨间距为d。一质量为m，电阻不计的导体棒MN垂直横跨在导轨上，与导轨接触良好。导轨一端分别与电源、电容器和定值电阻通过开关连接，电源的电动势为E，内阻不计，电容器电容为C，定值电阻为R。首先将开关S2与d接通，待电路稳定后再将开关S1与b点相接、开关S2与c点相接，当导体棒匀速时，将开关S2与c点断开、开关S1与a接通，导体棒运动一段距离后速度为零。下列说法正确的是（）A．导体棒匀速时速度B．当S1与a刚接通瞬间导体棒的加速度C．从S1与a接通至导体棒速度为零用时D．若导体棒匀速运动时速度为v，S1与a接通后导体棒位移5．（2024·云南昭通·统考模拟预测）如图甲所示，一电阻不计且足够长的固定光滑平行金属导轨间距，其下端接有阻值的电阻，导轨平面与水平面间的夹角，整个装置处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。一质量、阻值的金属棒垂直导轨放置并用绝缘细线通过光滑的定滑轮与质量的重物相连，左端细线连接金属棒的中点且沿方向。金属棒由静止释放后，在重物的作用下，沿方向的位移与时间之间的关系如图乙所示，其中为直线。已知在内通过金属棒的电荷量是0.9~1.2s内通过金属棒的电荷量的2倍，重力加速度取，金属棒与导轨始终接触良好，下列说法中正确的是（

）A．通过金属棒的电荷量与金属棒的位移的关系为B．内金属棒运动的位移大小为C．磁感应强度的大小为D．内整个回路产生的热量为6．（2024上·山东日照·高三日照一中校联考期末）如图所示，两根间距为L的平行光滑的金属导轨MN和PQ水平放置，导轨电阻不计，水平导轨右端接有电阻R，水平导轨所在区域有宽度为d的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小分别为B和，Ⅰ区域磁场方向竖直向上，Ⅱ区域磁场方向竖直向下。一根质量为m的金属棒ab与导轨垂直放置，接入电路的电阻为R，C、D两点为磁场区域Ⅱ两侧导轨的中点，时刻，给金属棒ab一水平向右的初速度，ab棒穿出磁场区域Ⅰ时的速度为进入磁场Ⅰ时速度的一半。已知金属棒ab始终与金属导轨垂直，下列判断正确的是（）A．时刻，金属棒ab的初速度B．金属棒ab到达磁场区域Ⅱ的中点CD时速度为C．ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的过程中通过金属棒的电荷量为D．ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的过程中电阻R上产生的焦耳热为7．（2024·湖南邵阳·统考一模）如图所示，竖直放置的固定光滑“”形导轨宽为L，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感应强度为B。质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等。金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g。金属杆（

）A．刚进入磁场Ⅰ时加速度大小大于gB．穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间无磁场区的运动时间C．穿过两磁场产生的总热量为D．释放时距磁场Ⅰ上边界的高度8．（2024上·山东潍坊·高三统考期末）如图甲所示，粗细均匀的无限长平行导轨固定在倾角的斜面上，在边界EF下方区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场B，有两根相同金属棒ab、cd分别从磁场边界EF上方位置和边界EF位置同时由静止释放，cd棒运动的图像如图乙所示，其中OM、NP段为曲线，其他段为直线。已知磁感应强度，导轨间距，金属棒与导轨间的动摩擦因数，导体棒的质量均为，导体棒电阻均为，导轨电阻不计，g取。则下列说法正确的是（

）A．0~2s内通过导体棒ab的电荷量为B．ab棒刚进入磁场时ab两端的电压为16VC．0~2s内导体棒cd产生的焦耳热为D．ab、cd棒之间的最小距离为9．（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）如图所示，间距的平行光滑金属导轨、固定在水平面内，垂直于导轨的虚线的左、右两侧存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小分别为、。质量、阻值的金属棒静止在虚线左侧足够远的位置，质量、阻值的金属棒静止在虚线的右侧。0时刻，金属棒以初速度、金属棒以初速度沿导轨运动，时刻，金属棒达到最大速度。已知、两棒的长度均为，且始终与导轨垂直并接触良好，导轨电阻不计。则在、棒的运动过程中，下列说法正确的是（）A．通过金属棒的最大电流为B．金属棒的最大速度C．时间内通过金属棒的电荷量为D．时间内金属棒上产生的焦耳热为10．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）如图所示，水平面上固定有形状为“”的光滑金属导轨MON、PO'Q，OO'左右导轨的宽度分别为2L、L，两侧匀强磁场的方向分别竖直向上和竖直向下，磁感应强度大小分别为B0和2B0，导体棒a、b垂直于导轨放在OO'两侧，长度分别为2L、L。已知导体棒的材料相同、横截面积相同，导体棒b的质量为m，两导体棒与导轨接触良好，不计导轨电阻。使导体棒b获得水平向右的初速度，直到导体棒b达到稳定状态的过程中，下列说法中正确的是（）A．导体棒b克服安培力做功等于其产生的焦耳热B．导体棒a上产生的焦耳热为C．导体棒a、b最终以相同的速度做匀速直线运动D．通过a棒的电荷量为11．（2024上·全国·高三统考阶段练习）如图所示，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导体棒接入电路的有效长度为l，导轨电阻和电容器极板的电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S后，下列说法正确的是（）A．导体棒MN所受安培力的最大值为B．导体棒MN最终向右匀速运动，且速度为C．导体棒MN速度最大时，电阻R两端的电压为0D．开始时电容器中储存的电能全部转化为焦耳热和导体棒的动能12．（2023·辽宁沈阳·统考二模）如图所示，两条足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，电阻不计，导轨最右端接有阻值为R的定值电阻。整个装置处于两种磁感应强度大小均为B、方向竖直且相反的匀强磁场中，虚线为两磁场的分界线。质量均为m的两根导体棒MN、PQ静止于导轨上，两导体棒接入电路的电阻均为R，与导轨间的动摩擦因数均为（设导体棒的最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。时刻，用水平向左的恒力F拉MN棒，使其由静止开始运动，时刻，PQ刚好要滑动。该过程中，两棒始终与导轨垂直且接触良好，通过金属棒PQ的电荷量为q，重力加速度为g。下列说法正确的是（）A．时刻，金属棒PQ受到的安培力方向水平向右B．时刻，金属棒MN速度大小为C．从到时间内，金属棒MN在导轨上运动的距离为D．从到时间内，金属棒MN产生的焦耳热为13．（2023·山东德州·德州市第一中学统考三模）如图所示，足够长且电阻不计的平行光滑金属导轨MN、OP倾斜固定，与水平面夹角为，导轨间距为L，O、M间接有阻值为R的电阻。质量为m的金属杆CD垂直于导轨放置，与金属导轨形成闭合电路，其接入电路部分的电阻也为R，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。开始时电键S断开，由静止释放金属杆，当金属杆运动一段时间后闭合电键S，闭合瞬间金属杆的速度大小为，加速度大小为、方向沿导轨向上。自闭合电键到金属杆加速度刚为零的过程，通过电阻R的电荷量为q，电阻R上产生的焦耳热为Q。金属杆运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。则（）A． B． C． D．14．（2024·广东肇庆·统考二模）如图所示，空间中存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。有两根完全相同的金属棒a和b垂直静置于足够长的水平光滑平行金属导轨上，导轨间距为L、电阻不计，金属棒与导轨接触良好，两根金属棒的质量均为m、长度均为L、电阻均为R。将b固定在导轨上，某时刻给a施加一个水平向右的恒力F。下列说法正确的是（）A．a棒所受的安培力先增大后减小B．a棒的最大速度为C．若解除b的固定，则稳定后两棒的速度相等D．若解除b的固定，则稳定后两棒的加速度相等15．（2024上·山东德州·高三统考期末）如图所示，导体棒a、b放置在足够长的光滑平行金属导轨上，导轨左右两部分的间距分别为l，，导体棒a、b的质量为m和，接入电路的电阻分别为R和，其余部分电阻均忽略不计。导体棒a、b均处于方向竖直向上的匀强磁场中，感应强度大小为B，a，b两导体棒均以的初速度同时水平向右运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，导体棒a始终在窄轨上运动，导体棒b始终在宽轨上运动，直到两导体棒达到稳定状态。下列说法正确的是（）A．开始导体棒a中的电流为Q→PB．导体棒中的最大电流为C．稳定时导体棒a的速度为D．从开始至稳定状态，电路中产生的焦耳热为三、解答题16．（2024·吉林·校联考模拟预测）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距l=1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。杆1、杆2是两根用细线连接的金属杆，质量分别为m1=0.1kg和m2=0.4kg，两杆垂直导轨放置，且两端始终与导轨接触良好，两杆的总电阻R=2Ω，两杆在沿导轨向上的外力F作用下保持静止。整个装置处在磁感应强度B=1T的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，在t=0时刻将细线烧断，保持F不变，重力加速度g取10m/s2，求：（1）细线烧断后，两杆最大速度v1、v2的大小；（2）两杆刚达到最大速度时，杆1上滑了0.8m，则从t=0时刻起到此刻用了多长时间？17．（2024·山西晋城·统考一模）如图所示，MN、PQ和JK、ST为倾角皆为θ的足够长的金属导轨，都处在垂直于导轨所在平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，JK与ST平行，相距3L，MN与PQ平行，相距2L。质量分别为3m、2m的金属杆a和b垂直放置在导轨上。已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持光滑接触，a杆和b杆在构成回路中的总电阻为R，导轨足够长且导轨的电阻不计，重力加速度大小为g。（1）若a杆固定，由静止释放b杆，求b杆的最大速度；（2）若同时释放a、b杆，求a杆匀速下滑时的速度大小。18．（2024上·山西太原·高三统考期末）如图所示，两条电阻不计的平行光滑金属导轨固定在同一水平面内，间距为。甲、乙两根金属棒垂直导轨放置，与导轨接触良好，整个装置处于竖直向上磁感应强度为的匀强磁场中。锁定乙棒，对甲施加水平向右的恒力，作用时间后甲获得速度，立即撤去拉力，同时解锁乙棒。甲、乙的质量分别为和，接入电路中的电阻均为，金属轨道足够长且甲、乙两棒始终未发生碰撞。求：（1）撤去外力瞬间，金属棒甲、乙加速度的大小；（2）作用的时间内，通过乙棒的电荷量；（3）撤去拉力后，直到甲、乙之间的距离不再变化，这一过程中，甲棒中产生的热量以及甲、乙运动的位移差。19．（2023上·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考阶段练习）半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面上，一长为r，质量为m且质量分布均匀的直导体棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆导轨的中心O，装置的俯视图如图所示；整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下；在内圆导轨的C点和外圆导轨的D点之间接有一阻值为R的电阻（图中未画出）。直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触。设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒电阻和导轨的电阻均可忽略，重力加速度大小为g。（1）通过法拉第电磁感应定律推导导体棒中的感应电动势大小；（2）通过电阻R的感应电流的方向和大小；（3）外力的功率。20．（2024上·天津·高三天津市宝坻区第一中学校联考期末）如图甲所示，竖直放置的足够长的光滑平行金属导轨相距，在点和点间接有一个阻值为的电阻，在两导轨间的矩形区域内有垂直导轨平面向里、长度为的匀强磁场，磁感应强度为。一质量为、电阻为的导体棒垂直地搁在导轨上，与磁场的上边界相距为。现使棒由静止开始释放，棒在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平，导轨的电阻不计，重力加速度大小）。（1）求棒离开磁场的下边界时的速度的大小；（2）求金属杆在磁场中运动所用的时间；（3）定性的作出棒开始下落后的图像。21．（2024·云南大理·统考二模）如图所示，与为水平放置的无限长平行金属导轨，与为倾角为的平行金属导轨，两组导轨的间距均为，导轨电阻忽略不计。质量为、电阻为的导体棒置于倾斜导轨上，质量为、电阻为的导体棒置于水平导轨上，轻质细绳跨过光滑滑轮一端与的中点相连、另一端悬挂一轻质挂钩。导体棒与导轨间的动摩擦因数相同，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为。初始时刻，棒在倾斜导轨上恰好不下滑。（取）（1）求导体棒与导轨间的动摩擦因数；（2）在轻质挂钧上挂上物体P，细绳处于拉伸状态，将物体P与导体棒同时由静止释放，当P的质量不超过多大时，始终处于静止状态。（导体棒运动过程中，一直与平行，且没有与滑轮相碰）；（3）若P的质量为时，细绳处于拉伸状态，将物体P与导体棒同时由静止释放，当P下降时已经处于匀速直线运动状态，求这个过程中上产生的焦耳热为多少（结果保留两位小数）？22．（2024上·湖北·高三校联考期末）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动。磁场内的细金属杆N处于静止状态，且到cd的距离为。两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M质量为2m，金属杆N质量为m，两杆在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。（1）求M刚进入磁场时M两端的电势差；（2）N在磁场内运动过程中N上产生的热量；（3）N在磁场内运动过程中的最小加速度的大小；（4）N在磁场内运动的时间t。23．（2024·河南·统考一模）如图（a）所示，一个电阻不计的平行金属导轨，间距，左半部分倾斜且粗糙，倾角，处于沿斜面向下的匀强磁场中；右半部分水平且光滑，导轨之间存在一个三角形匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，其边界与两导轨夹角均为。右半部分俯视图如图（b）。导体棒借助小立柱静置于倾斜导轨上，其与导轨的动摩擦因数。导体棒以的速度向右进入三角形磁场区域时，撤去小立柱，棒开始下滑，同时对棒施加一外力使其始终保持匀速运动。运动过程中，两棒始终垂直于导轨且接触良好。已知两磁场的磁感应强度大小均为，两棒的质量均为，棒电阻，棒电阻不计。重力加速度大小取，以棒开始下滑为计时起点。求（1）撤去小立柱时，棒的加速度大小；（2）棒中电流随时间变化的关系式；（3）棒达到的最大速度及所用时间。24．（2024上·陕西安康·高三统考期末）如图所示，两根足够长的固定的光滑平行金属导轨位于同一绝缘水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根长度也为L的导体棒ab和cd，两根导