2023年高考数学强基计划模拟试卷24 含答案

2023年高考数学强基计划模拟题(二十四)

(满分100分，测试时间：60分钟)

一、填空题(每小题10分)

1.若正项递增等比数列｛aj满足1+a4—a6+A(as—a7)=0(2GR),则+4a9的最

小值为.

2.不等式V%2-2x+2+yjx2-2V2x+4<声的解集为.

3.设复数z「Z2满足%|=%+Z2I，zrz2-a(l-V3i)>其中t是虚数单位,a是非零

实数，则含=.

4.已知方程*-2*+/0=0在(_2,2)内恰有两个实根，则k的取值范围是.

2

5.设a,b,c为实数，a,cHO,方程a/+.+c=0的两个虚数根%]，不满足v」为

x2

实数，则比绐("等于.

6.已知存在正整数a,b,c满足a+b+c=407,10n\abc,贝!]n的最大值为

二、解答题(每小题20分)

7.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4e的正四面体容器内可向各个方向自由运动,

则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是多少•

8.求单位圆内接正n边形的任意一顶点到其他各顶点距离的乘积.

答案

1.【答案】4

【解析】解:设正项递增等比数列｛%｝的公比为q,则q>l.

因为1+—。7)=°，

1

所以1+一。6+4式04-。6)=0，即1+(1+勿)(。4一。6)=0，也即G6-。4=亚元，

421

故。8+2a9=a8(l+2q)==热=q-1+尹+2>4.

2.【答案】｛%|x=4—2或｝

【解析】解：设P=-2%+2+/产一2岳+4=J(x-1)2+(0—+

J(x-V2)2+(0-V2)2>

则P可看成x轴上的点(x,0)到两点4(1,1),B(夜,企)间的距离之和，

则4关于x轴的对称点为4(1,-1)，此时P>\A'B\=V6.

而不等式为PW伤，因此「=乃，此时x为直线AB与％轴的交点的横坐标.

又直线4B的方程为y+1=建|(x-1),令丫=0有x=4-2a,

故不等式的解集为｛x|x=4-2V2｝.

3【答案】匚岁

【解析】解：由忆1]=区+z2|,得zMi=(z1+z2)(z1+&)，整理得Z1，2+5遥2+Z2&=0-

又5逐2=a(l—V3i),ztz2=a(l+V5i)，

所以少2=-2①言=籍=喜=一儡=三"

4.【答案】(-1-皮)

5.【解析】本题考查函数零点的应用，属于中档题.

直接对原函数求导，分析导函数的极值点和零点，从而得出上的取值范围.

【解答】

解：设函数f(x)=xe-2x+k,则问题等价于函数/(x)在(-2,2)内有两个零点.

又f'(x)=(1-2x)e-2x,

则易知函数/"(x)在(-琮)上单调递增，在&,2)上单调递减.

要使函数/(x)在(-2,2)内有两个零点，

伍》>0佳+k>

则其充要条件为《/(一2)<o，BP"-2e4+fc<0>则—=<k<—捺

(/⑵<09+卜<0,

故答案为(一击,一弓).

5.【答案】0

【解析】注意最为实数，且葛=£=学=9短6R,再转化利用1的虚立方根特点即可求

得.

6.【答案】6

【解析】当a,b,c的值为250,123,32时可满足条件，故n>6.又由不等式abc<（等£尸

可得n<7.

7.【答案】

通过空间想象不难发现，在正四面体的一个面上，小球最靠近边的切点的轨迹仍为一正三角

形，考查切点为该正三角形顶点的情况，此时小球恰与对应三面角的三个面均相切，如图所

示，作平面AiBiG〃平面4BC,与小球相切于点。.则小球球心。为正四面体P-4B1C1的中

心，「。1_面4/1的，垂足。为△的中心.因为

11

Up-Ajci=3^A4IBICI'=4,•1°叫，

所以|PD|=4|。。|=4,从而|PO|=|PD|-|。。|=3.记此时小球与面PA8的切点为匕，连

接。Pi，则

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\PP1\=J|PO|2一|PP1|2=V3-l=2V2.

现在考查小球在正四面体一个面上所有切点组成的平面区域，记为PiEF,如图J2所示（阴影

部分）.过Pi作PiM1P4于点M,由NMPPi=I，得

\PM\=\PP1\COS/LMPP1=2V2-y=V6>

故小三角形的边长

|PiE|=\PA\-21PMi=4V6-2V6=2V6.

因此平面区域PiEF的面积

SMIEF=，•(2㈣2=6V3，

从而小球与面P4B不能接触到的部分的面积

S=ShPAB-S“$F=245-6V3=18V3.

由对称性且四面体共4个面，知小球不能接触到的容器内壁的面积共为18百x4=72b.

8.【答案】

如图所示，设圆内接正n边形的顶点对应的复平面上的点为Zi，Z2,…，z”，且由于为单位

圆，故内接正兀边形所对应的顶点为Z”=1的71个方根Z「Z2,•••,Zn,且必有一根为1,不

妨设为Z]=1(即X轴与圆的正交点)，于是有

n

Z-1=(z-z1)(z-z2)-(z-zn),

即(由Zi=1)

nn-1n2

Z—1=(Z—l)(z+Z~4---卜Z+1)=(z—l)(z—Z2)•••(z—Zn),

nn2

所以Z-1+Z~4---1-Z+1=(z-Z2)•••(z-Zn).

由复数的几何意义可知氏-Zzl