江西省宜春市2023届高三模拟考试数学（文）试题（含答案）

宜春市2023年高三年级模拟考试数学（文）试卷

命题人：朱江平（丰城九中）邹噪（宜春九中）审题人：彭武军（宜春一中）

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上.

2.回答选择题前，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设全集U=R,集合A={x∣x<—1或42},5={-2,—l,0,l,2},贝MdA)CB=()

A.{O,1}B.{T,O}C,{0,l,2}D.{-1,0,1)

2.已知复数Z满足z(l+i)=—2,则彳=()

ʌ--1÷iB--1—iC.]+iD.1—i

3.非零向量α∕,c满足d∙Lp-c),α与》的夹角为(，W=2,则C在α上的投影为()

A.lB.√3C.-lD.-√3

χ-y≥o,

4.已知实数x,y满足约束条件<x+y-3≤0,则Z=3-2A>'的最大值是()

.y≥l,

1√31

A.3B.-e.ɪD.—

3927

5.从棱长为2的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于1的概率为()

兀

71λ1TC1兀

A.-B.-C.1----D.1——

6464

6.若。=0∙04,Z?=InLO4,C=Iog31.04则()

A.c<h<aB.h<a<c

C.c<a<b^>.b<c<a

7.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数加，几只有1为公

约数，则称加,〃互质，对于正整数〃,夕（〃）是小于或等于〃的正整数中与〃互质的数的个数，函数°（〃）以其

首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：o（3）=2,e（7）=6,o（9）=6.记S.为数列加（3"）｝的前〃

)

项和，则SK）二（

3l0-l

B.39-lcD.310-l

22

8.函数/(x)=sin[s+^J的图象(0<<y<4)关于直线X=Y对称，将/(x)的图象向左平移?个单位长

度后与函数y=g(χ)图象重合，下列说法正确的是()

A.函数g(x)图象关于直线X=工对称

6

B.函数g(x)图象关于点(一看,0卜称

C.函数g(无)在(θ,单调递减

D.函数g(x)最小正周期为]

9.在RjABC中，C4=1,C6=2.以斜边AB为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体

积为()

A6兀R8√2Λ-r32乃4万

338181

22

10.如图，耳，鸟是双曲线C:二一二=1(。〉0力〉0)的左右焦点，点4，8分别在两条渐近线上，且满足

aIr

21

OA=-OF2-^--OB,OA∙BF2=Of则双曲线C的离心率为()

A.2√3B.√10C.2D.√3

77+2

11.已知数列｛gj满足％+&+&■+-+”=2用，若数列,，的前〃项和S,对任意〃∈N"不

23n〃+1)4n

等式S,<4恒成立，则实数4的取值范围是()

A.Λ>1B.λ≥lC.∕l>-D.λ>-

88

12.已知函数/(x)=In(X+1)--Ej,g(x)=x+ln±O>0),且/(x∣)=g(x2)=O,则&■的最

大值为()

八21

A.1B.eC.-D.一

ee

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知a=(Jl—f+χ.,则到点"(a,0)的距离为2的点的坐标可以是.(写出一个满

足条件的点就可以)

14.已知点A(T,T),B(l,-1),若圆(X—α>+(y-2α+4)2=l上存在点“满足ΛM∙M5=3,则实数。

的取值的范围是.

15.已知某线路公交车从6：30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点

站的时间是在6：30-7：00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6：45-7：15任意时刻随机到

达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是.

16.如图，多面体ABC。所中，面ABS为正方形，OE，平面ABCr>,C产〃OE,且

A3=OE=2,CF=1,G为棱SC的中点，”为棱OE上的动点，有下列结论：

①当〃为QE的中点时，GH〃平面AB£；

②存在点H，使得GULAC；

③直线GH与BE所成角的余弦值的最小值为逑；

5

④三棱锥A-BCv的外接球的表面积为9万.

其中正确的结论序号为.(填写所有正确结论的序号)

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22.23题为选做题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.(12分)

在,.ABC中，角AEC所对的边分别为α,仇c,且α+匕=2ccosB.

（1）求证：C=2B；

（2）求丝过的最小值.

be。SB

18.（12分）

如图1,在直角梯形ABeD中，46〃。。,/。48=90,。。=248=24。=4,点£；,产分别是边

BC,CQ的中点，现将，C所沿用边折起，使点C到达点P的位置（如图2所示），且3P=2∙

Sl图2

（1）求证：平面APEJ_平面ABD；

（2）求点B到平面AQP的距离.

19.（12分）

为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：

①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人

数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5

月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见

表）

月份2022.122023.12023.22023.32023.4

月份编号，12345

竞拍人数y（万人）1.72.12.52.83.4

（1）由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数》（万人）与月份编号f之间的相关关系.请用

最小二乘法求y关于，的线性回归方程：y=bt+a,并预测2023年5月份参与竞拍的人数.

（2）某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数

表：

报价区间（万元）[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)[6,7]

频数206060302010

（i）求这200位竞拍人员报价X的平均数亍和样本方差?（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代

替）；

(ii)假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布N(∕∕,σ∙2),且〃与c√可分别由G)中所求的

样本平均数1及方差/估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000,请你合理预测(需说明理由)竞拍的

最低成交价.

附：族=j≡H---------------,√L7≈1∙3,若y~N(0/)，则P(Y<1.11)=0.8660,

z(ɪ,-ʧ

1=1

P(Y<1.12)=0.8686.

20.(12分)

已知函数/(x)=X-InX-2.

(1)求函数的最小值；

(2)若方程/(x)=α有两个不同的实数根和％2且玉<工2，证明：玉+2∕>3∙

21.(12分)

V221

在平面直角坐标系XOy中，已知椭圆C:}+方v=l(α>b>0)的离心率为5,左、右焦点分别是6,鸟，以

月为圆心，6为半径的圆与以K为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设过椭圆C的右焦点工的直线4，，2的斜率分别为4,左2,且勺内=—2,直线乙交椭圆。于M,N两

点，直线4交椭圆。于G,”两点，线段MN,G"的中点分别为RS,直线RS与椭圆。交于p,Q两点，

S

AB是椭圆C的左、右顶点，记，PQA与-PQB的面积分别为S2,证明：U1为定值.

32

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计

分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在平面直角坐标系XOy中，曲线C的参数方程彳')(f为参数)，以坐标原点为极点，X轴正半

轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程mpcosθ+2χτsin(9-l=0.

(1)求曲线C的普通方程；

(2)若直线/与曲线C有两个不同公共点，求〃2的取值范围.

23」选修4-5：不等式选讲］(10分)

己知函数/(x)=∣2x+4∣+∣x-4∣.

(1)求不等式等4+4∣+∣x-4R4的解集;

(2)若“力的最小值为机，正实数α,"c满足α+A+c=m,求证：」：+「一+」一≥2.

a+bb+cc+02m

宜春市2023届高三年级模拟考试数学(文)答案

一'选择题.

题号ɪ23456789IO1112

答案DBABAADCCACB

二,填空题.

「1211

13.(x—2)2+y?=4上的任意一点都可以14.0,—15.—16.①④

5_12

三■解答题.

17.(1)证明：在.ASC中，α+b=2ccosB,

由正弦定理得SinA+sinθ=2sinCbosB，

又A="-(5+C),

因为Sin(JB+C)+sinB=2sinC∙CosB

所以sinC∙cosB-SinB∙cosC=SinB

所以Sin(C-B)=SinB又SinB>0

所以0<C-B<C<乃，且B+C-3=Cvττ

所以Jg=C—3,故C=2B.

(2)由(1)C=2B得5+C二33∈(0,τr),

所以B∈

因为。〃=2ccosB,C=2B

。+3。2ccosB+2b

所以------二------------

bcosBbcosB

_2sinC∙COSB+2sinβ_2sin28∙cosB+2sinβ

sinB∙cosBsinB∙CosB

=4cosβ+-2∙≥4Λ∕2

cosB

当且仅当4cosB=二一即CosB=—

COSB2

且3∈∣0,q）当且仅当B=?时等号成立，

所以当8=工时，/包的最小值为4板.

4bcosB

18.（1）证明：由题意，连接8D,8E,因为CD=2AB=2AD=4,AB〃C。,

∕D48=90,E是边Co的中点，所以BF=CF=2,则8。=2夜

又E是边BC的中点，则E尸_LBC,在折起中产石_LE产.

又BE2+PE2=（√2）2+（√2）2=4=8尸，所以PELBE，

又BECE/=E,BEu平面£产U平面ABD，

故PEJ_平面48。，又PEU平面APE，所以平面APEJ_平面ABO.

（2）由（1）中取Af）的中点。，连接OE,DE,PO,

由（1）可知，PEL平面AB。，所以PELDE,PE上AE,PELOE,

而OE=；（AB+OC）=3,Or>=gAO=l,

所以DE=JoE2+OD?=√I5，

同理AE=Ji6，

所以PD=√PE2+DE2=2√3,PA=√PE2+AE2=2√3,PO=y∣PEr+OE2=√∏

所以.PAD是等腰三角形，

所以SPAD=ɪADPO=∣2√ΓT=√T1'

v

乂VB-PAD=P-ABD>即;SftlDI=/SABD.PE,

所以〃=2?。JE=®_2应

PD√∏H

即点B到平面ADP的距离为2亚2.

11

19.(1)7=[(l+2+3+4+5)=3,歹=((1.7+2.1+2.5+2.8+3.4)=2.5,

55

22=]+4+9+16+25=55,J⅛=1.7+4.2+7.5+11.2+17=41.6,,

/=1/=I

.r41.6-5×3×2.5.ʌc<.1”

..b=--------------；—=0n.4L1Q=2.5-0n.411×3a=1.27,

55-5×32

N关于，的线性回归方程9=0∙4U+1.27

2023年5月份对应，=6，所以夕=0.41x6+1.27=3.73

所以预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.

(2)(i)由题意可得：

%=1.5×0.1+2.5×0.3÷3.5×0.3÷4.5×0.15+5.5×0.1÷6.5×0.05=3.5

Si=(1.5-3.5)2X0]+(2.5-3.5)2X0.3+(3.5-3.5)2×0.3+(4.5-3.5)2×0.15

+(5.5-3.5)2×0.1+(6.5-3.5)2X0.05=1.7

(H)2023年5月份实际发放车牌数是5000,设预测竞拍的最低成交价为〃万元，

根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为理叩~x100%≈13.40%

37300

根据假设报价X可视为服从正态分布N(μ,σ1),μ=3.5,σ2=1.7,σ=√L7≈1.3,

令y=岂二K=岂二至，由于P(Y<1.11)=0.8660,

σ1.3

Λ1-P(K<1.11)=0.1340

.∙.P(y<a)=pfy<-~^∙5

=1.111=0.8660,所以=得α=4.943

)1.3

所以预测竞拍的最低成交价为4.943万元.

20.解：(1)由题意可知：函数/(x)=x—Inx—2的定义域为：(0,+∞).

则r(x)=l-L,令(X)=0,解得χ=l.

当X∈(0,1),∕∙'(x)<O,函数/(X)单调递减；

当x∈(l,+8),∕'(x)>0,函数/(X)单调递增.

所以X=I为极小值点，且/(x)min=/(1)=T∙

所以函数“X)的最小值为-L

(2)根据题意可知：/(一)=/('),根据(1)设O<X∣<1,尤2>1，

构造函数∕z(χ)=/(X)—/(2-X),x∈(O,l).

F(X)=∙""2r)=∣⅛

<0,所以尸(X)在(0,1)上单调递减.

则有尸(%)<产(I)=0,也即/(石)一/(2-％)>0.

因为/(%)=/(%)，所以/(w)一/(2—西)>0,也即/(w)>∕(2一％)

因为2-%>1,工2>1，由(1)可知/(x)在(1,+⑹上单调递增，

所以马>2—%，也即玉+/>2.由已知々>1，所以玉+2∕>3.

21.(1)解：依题意得

c1.

—=—,«r=4,

∖a2则《

6+2=2。，〔'

22

则。2=/一=]2所以椭圆C的方程为土+2_=1

1612

(2)直线4:y=K(x-2)

y=K(χ-2),

X2>2设M(M,))N(W,M

——+—=1,

11612

则(3+4k；)x2-l6k；X+166-48=0

Δ>0,

16k；

x+x

12-3+44'

16%：-48

xx

t23+%

'腑-6kl'8片—6网

则中点R同理可算S

、3+46'3+4将、3+4后’3+4抬

①当直线斜率存在时，设直线PQ-.y=mx+n点R,S在直线PQ上

(8〃?+4〃)攵：+6k[+3/1=0,

则V

(8〃z+4〃)公+6k,+3〃=0,

易知K,%2为方程(8m+4/*2+6攵+3〃=0的两个根,

3〃

则他-2得n=-ɪɪw

8”？+4〃

所以直线PQ：y=/nr-1ɪ6ɪ/n则直线恒过点

11

②当直线的斜率不存在时，由对称性可知K=-k2由Kh=-2

上

828抬16

不妨设K=-yflyk2=y/2所以—~ɪ-τ=

ɔ^∣IKT3+4411

直线PQ:X=S16过](,0卜艮据①②可知,

直线PQ恒过点E[9,°

因为一PQA的面积Sl=∣∣AE∣∙∣y1-y2∣

_PQB的面积S?=]B