专题3.4双曲线的简单几何性质（九个重难点突破）

标准方程22xy a2b222yx a2b2焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上性质焦点F(c,0),F2(c,0)F(0,c),F2(0,c)焦距范围对称性关于坐标轴、原点对称顶点A(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)轴长实轴长2a,虚轴长2b离心率a渐近线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质：(1)方程形式为x2-y2=λ(λ子0)；(2)渐近线方程为y=士x,它们互相垂直；该双曲线的焦距为(x2yx2a23)x22．双曲线y2m=1的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为()B9C. 191D．-922xy -a2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点为F，焦距为6，点M在双曲线C上，且MFLAF，MF=2AF，则双曲线C的实轴长为()4．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：-=1的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为()A．离心率相等B．焦距相等C．实轴长相等D．虚轴长相等6．等轴双曲线y2=1(a>0)的焦距为.+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是C1上任意一点，△MF1F2的面积的229．已知双曲线9．已知双曲线 a2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，若点(2,)与点(e,2)都在双曲线上，则该双曲线的渐近DD．y210．双曲线=1的两条渐近线的夹角为()11．在平面直角坐标系xOy中，双曲线2x2一y2=1的渐近线方程为()=1(a>0,b>0)的一个焦点是F，点F到C的渐近线的距离为d，则d()A．与a有关B．与a无关15．已知双曲线C:=1的一条渐近线斜率为2，实轴长为4，则C的标准方程为()A．y2x2=1By2x2=1Cy2x2=1D16．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(2,0)，则双曲线的标准方x2yx2C．x2x24=1=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离=1的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是()A.x2yx2B.x2yx2=1D.x2yx2=1x2yx2a2b2C位于第一象限内的一点，则m=()21．如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为F1(0,_6)，那么此双曲线的标准方程为.22．若双曲线C与双曲线是._=1有相同的渐近线，且经过点(2,)，则双曲线C的标准方程23．与双曲线__=1渐近线相同，且一个焦点坐标是(0,5)的双曲线的标准方程是.24．若双曲线C与_y2=1有共同渐近线，且与椭圆+=1有相同的焦点，则该双曲线C的方程为.2_y25．双曲线C:2_y25．双曲线C:x22xx226．求与双曲线x2yx2=1有共同的渐近线，且经过点M(3,一2)的双曲线的标准方程.y2y2)，若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程.(1)求双曲线C的虚轴长；(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点Q(一3,6)的双曲线的标准方程.29．过原点的直线l与双曲线E：22xy a2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点（点A在第一象限ACLx交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且kAB.kAD=1，则双曲线的渐近线方程为()30．双曲线E:x2y2a2b2=1(a>0,b>0)，点A，B均在E上，若四边形OACB为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为(),F2分别是双曲线x2y2a2b2且cosZPF1F2=，则双曲线的渐近线方程为()33．已知F为双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点，过点F线在第一象限内依次交于点A和点B．若AB=AF，则双曲线C的渐近线方程为()34．如图，已知F1，F2为双曲线22xy -a2b2=1(a>0,b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的，则双曲线的渐近线方程为.35．过双曲线W:-=1的右焦点F作x轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若‘OAB为等边三角形，则W的渐近线方程为，W的离心率为.22,F2是双曲线C: -a2b2若2MF若2=b，则双曲线C的离心率为()A.33B.33D.5537．已知F为双曲线C：22xy -a2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，平行于x轴的直线l分A.662B.22C.32D.3322、F2分别为双曲线 a2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x22切于点E，与双曲线右支交于点P，且|OP|=F1F2，则双曲线的离心率为()39．已知双曲线C:x2y2a2b2，点F2关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是()=1与双曲线C2：=1的离心率分别为e1，A．e1e2的最小值为B．e1e2的最小值为e2的最大值为D．e1e2的最大值为41．已知双曲线C:22yx a2b22=a2=a相切于点A，并与双曲线C的一条渐近线交于点B(A,B不重合若2=5，则双曲线C的离心率为.22xy a2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若B两点，若43．已知双曲线C:x2y2部分上存在一点P，且OP=OF1，直线PF1的斜率为，则该双曲线的离心率为.2244．过双曲线x44．过双曲线 a2b2=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，D为虚轴上的一个端点，且ZADB为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为())22xy a2b2则双曲线离心率的最小值为()yx a2b2yx a2b2=1(a>0,b>0),F为双曲线的右焦点，过点F作渐近线的垂线MN(kMN<0)，垂足为M，交另一条渐近线于N，若=λ(λ之2)，则双曲线C的离心率的取值范围是()48．双曲线x2=1的左焦点为F，A(0,b)，M为双曲线右支上一点，若存在M，使得FM+AM=5，则双曲线离心率的取值范围为())49．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：22xy a2b2转体．若该双曲线右支上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为则该双曲线离心率的取值范围为.8x2yx2a2b2点使得ZPF2F1=3ZPF1F2，则C的离心率的取值范围为.51．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的焦距的取值范围是()PF1LPF2．若△PF1F2的面积为4，则a=()54．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且ZF1PF2=60。，PF1=λPF2(λ>1)，若C的离心率为，则λ的值为.2255．已知双曲线55．已知双曲线 a2b2，F2，P是双曲线右支上一点，.=0，O为坐标原点，过点O作F1P的垂线，垂足为点H，若双曲线的离心率e=，存在实数m满足OH=mOF1，56．已知双曲线C:_=1的离心率大于，则实数m的取值范围是()，F2分别是双曲线C的左，右焦点，M为△PF1F2的内心，若双曲线C的离心率e=，且S‘MPF=S‘MPF+λS‘MFF，则λ=()2458．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距离340mB．东偏南45°方向，距离340mC．西偏北45°方向，距离170mD．东偏南45°方向，距离170m59．如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30。方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是()60．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m，水面宽AB=30m.若水面下降5m，则水面宽是结果精确到0.1m）61．如图，一个光学装置由有公共焦点F1,F2的椭圆C与双曲线C'构成，一光线从左焦点F1发出，依次经则该光线从点F1发出，经过C两次反m .过C'与C的反射，又回到点F1.，则该光线从点F1发出，经过C两次反m .射后又回到点F1历时n秒，若C'的离心率为C的离心率的4倍，则n62．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为.63多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：F1，F2是双曲线的左、右焦点，从F2发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过F1；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分F1PF2.若双曲线C的方程为x2y2=1，A．射线n所在直线的斜率为k，则kE一,C．当n过点Q(7,5)时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为1364．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：x2yx2a2b2从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且tanZCAB=一，ABLBD，则双曲线E的离心率为.标准方程22xy a2b222yx a2b2焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上性质焦点F(c,0),F2(c,0)F(0,c),F2(0,c)焦距范围对称性关于坐标轴、原点对称顶点A(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)轴长实轴长2a,虚轴长2b离心率a渐近线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质：(1)方程形式为x2-y2=λ(λ子0)；(2)渐近线方程为y=士x,它们互相垂直；该双曲线的焦距为(x2yx2a23)【答案】D(c22【分析】根据题意列出方程组〈22进行求解即可.x2yx2a232，(a22，(a22．双曲线y2-=1的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为()【答案】C【分析】根据双曲线的方程，求得a=1,b=，结合题意，列出方程，即可求解.x2m 1.922xy -a2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点为F，焦距为6，点M在双曲线C上，且MFLAF，MF=2AF，则双曲线C的实轴长为()【答案】A【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.2-a2=2ac+2a2，4．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：-=1的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为()【答案】D【分析】求出a=4，设出M(r,b)，代入双曲线方程，求出r=4，得到直径.【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，所以a=4.设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则M(r,b)，所以-=1，解得r=4，故该花瓶的瓶A．离心率相等B．焦距相等-2C．实轴长相等D．虚轴长相等【答案】B【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可.所以曲线22xy -155-mx2y215-m5=1都是焦点在x轴上的双曲线，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确；因为5-m子5，所以虚轴长不相等，故D错【答案】2【分析】根据等轴双曲线定义得到a2=b2=1，进而求出c=，得到焦距.故答案为：2+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是【答案】4【分析】根据椭圆焦点三角形的性质即可列方程求解〈2,，进而可求解.【详解】由于△MF1F2的面积为2,所以M ,故双曲线C2的方程为一=1，则C2的实轴长为4.故答案为：4【答案】C【分析】利用双曲线渐近线方程定义计算即可.【详解】由题意可得：双曲线yx a2ayx a2aa229．已知双曲线9．已知双曲线 -a2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，若点(2,)与点(e,2)都在双曲线上，则该双曲线的渐近【答案】B【分析】根据给定条件，列出方程组，结合离心率的意义求出a,b作答.|la2-b2, 4-e22 a2b2e2e2a22，此时方程-=1无解，b2所以该双曲线的渐近线方程为y=士x.10．双曲线-=1的两条渐近线的夹角为()【答案】C【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.11．在平面直角坐标系xOy中，双曲线2x2-y2=1的渐近线方程为()【答案】B【分析】化简双曲线的方程为标准方程，求得a,b的值，结合双曲线的几何性质，即可求解.2-y【详解】由双曲线2-y222-y=1，可得其标准方程为1212．已知双曲线C:x2y2a2-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点是F，点F到C的渐近线的距离为A．与a有关B．与a无关【答案】BC【分析】根据双曲线标准方程可求得焦点坐标，再利用点到直线距离即可求出d=b，便可得出结论.【详解】设双曲线C的焦距为2c，不妨取右焦点F的坐标为(c,0)，如下图所示：所以d=所以d与a无关，故选：BC.与b有关.【答案】3【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解.故答案为：3所以6a【答案】n2【分析】根据双曲线的渐近线方程结合条件可得=n2常n=2，进而求出双曲线的离心率.n2所以有=n2故答案为：15．已知双曲线C:=1的一条渐近线斜率为2，实轴长为4，则C的标准方程为()A．y2x2=1B．y2x【答案】C【分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.16．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(2,0)，则双曲线的标准方DD．y2x2yx2=1x24=1【答案】A【分析】根据条件列关于a，b，c的方程组求解即可.【详解】设双曲线的标准方程为【详解】设双曲线的标准方程为22所以双曲线的标准方程为-=1故选：A.2217．已知双曲线C:17．已知双曲线C: -a2b2=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离【答案】D【分析】由距离公式得出b=4，进而由双曲线的性质得出方程.【详解】右焦点F2(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离=b=4，因为实轴长为2a=6，18．求双曲线以椭圆+=1的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是()【答案】A【分析】根据椭圆+=1方程，可得出其焦点坐标、顶点坐标，进而得到双曲线的焦点坐标、顶点坐标，即可得到双曲线的方程.【详解】在椭圆+=1中，c==，椭圆的焦点坐标为(,0)，(-,0)，左右顶点坐标分别为(2,0)，(-2,0)，|a2|a2|22-a2,lc=所以双曲线C：-y2=1.则双曲线的顶点坐标为(,0)，(-,0)，焦点坐标为(2,0)，(-2,0)，且双曲线的焦点在x轴上，b22xyb22xy=1.所以双曲线的方程为：故选：A.x2yx2a2b2C位于第一象限内的一点，则m=()【答案】B【分析】根据已知条件求得a,b，从而求得双曲线的方程，代入P点坐标，由此求得m的值.【详解】法一：双曲线的几何性质又点P(2,m)是双曲线C位于第一象限内的一点，所以4-m所以法二：22a所以双曲线C：-y2=1.又点P(2,m)是双曲线C位于第一象限内的一点，所以4-m所以【答案】A【分析】根据渐近线方程、实轴长求得m,n，由此求得m-n.(|a221．如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为F1(0,-6)，那么此双曲线的标准方程为.【分析】根据焦点坐标及题意，设方程为-=1(a>0)，根据焦点坐标，可求得a2，即可得答案.【详解】因为一个焦点是F1(0,-6)，所以c=6，且焦点在y轴，所以设等轴双曲线方程为-=1(a>0)，2所以双曲线标准方程为-=1，22．若双曲线C与双曲线是.-=1有相同的渐近线，且经过点(2,)，则双曲线C的标准方程设双曲线C的方程为由双曲线C与双曲线x2yx22x2y=λ,根据双曲线C经过的点求得λ,从而求得双曲线C的标准方程.=1有相同的渐近线，可设双曲线C的方程为-=λ,又C过点(2,)，2xx2所以λ=-，-=-，y-xy-x=1.23．与双曲线-=1渐近线相同，且一个焦点坐标是(0,5)的双曲线的标准方程是.【分析】设所求双曲线的方程为-=1，由题意有a22y2y2x，由焦点坐标是(0,5)，可设所求双曲线的方程为22yx -a2b222双曲线渐近线的方程为y=士所以双曲线的方程为-=1.24．若双曲线C与-y2=1有共同渐近线，且与椭圆+=1有相同的焦点，则该双曲线C的方程为.【分析】根据双曲线与椭圆的标准方程，求得渐近线方程与焦点坐标，由双曲线标准方程，建立方程，可得答案.由题意可知，双曲线C的标准方程设为-则双曲线C的标准方程为则双曲线C的标准方程为22,=1，写出一个与双曲线C有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程=1，写出一个与双曲线C有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程.2-y4x2xx2x2【答案】-x2=1（答案不唯一）【分析】根据有共同渐近线的双曲线方程的性质进行求解即可.2【详解】与双曲线C有共同的渐近线的双曲线方程可设为【详解】与双曲线C有共同的渐近线的双曲线方程可设为x22=λ,2当λ=当λ=-1时，得到双曲线方程为-x2=1，显然该双曲线与双曲线C有共同的渐近线但离心率不同，故答案为：-x2=126．求与双曲线x2yx2=1有共同的渐近线，且经过点M(3,-2)的双曲线的标准方程.【分析】利用待定系数法即可得到所求双曲线的标准方程.【详解】与双曲线-=1有相同的渐近线的双曲线可设为-=λ(λ产0)又所求双曲线过点M(3,-2)，则-=λ,则λ=-2则所求双曲线的方程为-=-2，即-=1.y2y2虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程.4y2y2=t(t产0)，代入点A可得双曲线E的标准方程，从而得到双曲线双曲线M的标准方程.∵点A(2,-3)在双曲线E上，∴(21)2∴t=-42y,∴双曲线E的标准方程为94又双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，∴双曲线M的标准方程为-=1.(1)求双曲线C的虚轴长；(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点Q(一3,6)的双曲线的标准方程.【答案】(1)22（2）设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为x2一=λ(λ子0)，将点Q(一3,6)的坐标代入上述方程得λ即可.PF2PFFFFF在RtΔPF2F1中，PF1=PF22+F1F22=4故双曲线C的虚轴长为22 22y2设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为y229．过原点的直线l与双曲线E：22xy a2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点（点A在第一象限ACLx交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且kAB.kAD=1，则双曲线的渐近线方程为()【答案】D【分析】由题可设，A(x0,y0),B(一x0,一y0),D(x1,y1)，C(x0,0)，分别表示出kAB,kBC,kAD，逐步转化，即可求得本题答案.【详解】因为A,B直线过原点，所以A,B关于原点对称，设A(x0,y0),B(-x0,-y0),D(x1,y1)，因为AC与x轴垂直，所以C(x0,0)，设kAB=k1,kBC=k2,，30．双曲线E:x2y2a2-b2=1(a>0,b>0)，点A，B均在E上，若四边形OACB为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为()【答案】B【分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2)，显然线段AB的中点坐标为,，因为四边形OACB为平行四边形，所以线段OC的中点坐标和线段AB的中点坐标相同，即为,，因为直线OC，AB的斜率之积为3，所以y1+y2y1一y2x+22y1一y222xxx因为点A，B均在E上，22y1一y222xxxb22a=3常b a33所以两条渐近线方程的倾斜角为或，【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.【答案】B【分析】由离心率求得即得渐近线方程.【详解】a2a22a,F2分别是双曲线x2y2a2b2且cosZPF1F2=，则双曲线的渐近线方程为()【答案】B【分析】结合双曲线的定义，以及条件，得到=，再根据c2=a2+b2，即可求解双曲线渐近线的斜率.【详解】作F2QLPF1于点Q，如图所示，=PF2，所以Q为PF1的中点，x2yx2a2b2线在第一象限内依次交于点A和点B．若AB=AF,则双曲线C的渐近线方程为()A. 【答案】Bb【分析】分别求出点A,B的坐标，利用线段相等建立方程求出b即可得解.【详解】由题意得F(c,0)，双曲线C的渐近线方程为y=士x．设点A，B的纵坐标依次为y1，y2，因为y2因为y2所以BFbc.a因为AB=AF，所以 cc2b234．如图，已知F1，F2为双曲线22xy a2b2=1(a>0,b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的，则双曲线的渐近线方程为.【分析】利用点在双曲线上及直角三角形中30。所对的直角边等于斜边的一半，结合双曲线的定义和渐近线方程即可求解.∵PF∵PF2a,2.∴∴双曲线的渐近线方程为y=士x.135．过双曲线W:=1的右焦点F作x轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若ΔOAB为等边三角形，则W的渐近线方程为，W的离心率为.【分析】根据图形则得到=tan30。=，再利用离心率公式即可.【详解】双曲线渐近线方程为y=士x，22 a2b2=b，则双曲线C的离心率为()【答案】A【分析】根据题意，先求得焦点F1到渐近线的距离为b，在直角△MOF1中，求得cosZOF1M=，再在22【详解】由双曲线C【详解】由双曲线C: a2b2x，bca22bca22在直角△MOF1中，可得cosZOF1M==，a2ba2b22+在△MF1F2中，由余弦定理得MF2MF2=FFFFMF1MF22FFFFMFMFcosZOF1M，bbc又由b2=c2a2，所以2c2=3(c2a2)，所以双曲线的离心率为e==.故选：A.37．已知F为双曲线C：22xy a2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，平行于x轴的直线l分【答案】B离心率.22xy a2b2【详解】双曲线C：22xy a2b2【详解】双曲线C：,化简得到2a2=c2，进而求得双曲线的b. x.a ab.c=OF由ZOBF=ZOFB，=OF,所以m22ac+a22，22、F2分别为双曲线 a2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x22切于点E，与双曲线右支交于点P，且|OP|=F1F2，则双曲线的离心率为()【答案】A【详解】因为直线F1P与圆x2+y2=a2切于点E，则OELF1P，所以E为F1P的中点，而O为F1F2中点，于是OE//PF2，有PF1LPF2，所以双曲线的离心率e=.39．已知双曲线C:x2y2a2b2，点F2关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是()【答案】C【分析】利用双曲线的渐近线方程及点关于线对称的特点，结合双曲线的离心率公式即可求解.设点F2关于一条渐近线y=一x的对称点为m,m，bm2=1与双曲线C2：=1的离心率分别为e1，A．e1e2的最小值为e2的最大值为B．e1e2的最小值为D．e1e2的最大值为【答案】B【分析】由双曲线方程，把离心率表示出来，再利用基本不等式求得最小值.e241．已知双曲线C:22yx a2b22=a2=a相切于点A，并与双曲线C的一条渐近线交于点B(A,B不重合若2=5，则双曲线C的离心率为.【答案】/【分析】设出过上焦点F的直线方程为y一c=kx，由圆心到直线距离等于半径得到k=士，再分别联立直线与圆，直线与渐近线，求出xAxB=，根据比例关系得到方程，得到a,b,c的关系式，求出离心率.设过其上焦点F的直线方程为y-c=kx，如图所示，故过其上焦点F的直线方程为y-c=-x，联立y-c=-x与x2+y2=a2可得，x2-x+b2=0，联立y-c=-x与y=x，可得xB=，此时，A,B重合，舍去，联立y-c=-x与y=-x，可得xB=，此时A,B不重合，满足要求， 2abc5ab因为2FB=5FA，所以2xB=5xA，故b2- 2abc5ab化简得2c2=5b2-5a2，又b2解得=，双曲线C的离心率为.故答案为：22xy -a2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F分别作CB两点，若B两点，若22xy -a2b2【分析】设直线方程为22xy -a2b2【详解】解：如图所示：=2b求解.=2b求解.设直线方程为y=(x-c)与双曲线方程-=1(a>0,b>0)43．已知双曲线C:x2-y2部分上存在一点P，且OP=OF1，直线PF1的斜率为，则该双曲线的离心率为.【答案】2【分析】根据题意，设点P的坐标为x0,x0，根据OP=OF1，求得点P的坐标为(a,b)，再由PF1的斜率为，得到b=a+c，化简得到离心率e的方程，即可求解.【详解】由双曲线C:-x，(b)(b)2=c2=c22所以点P的坐标为(a,b)，故答案为：2.2244．过双曲线x44．过双曲线 a2b2=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，D为虚轴上的一个端点，且ZADB为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为())【答案】D【分析】根据双曲线的性质求出A,B,D的坐标，写出向量,，根据∠ADB为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可.可设Ac,,Bc,由题意知A,D,B三点不共线，所以∠ADB为钝角常.<0，即为c2将b22a2代入化简得e44a2c2+2a4>0，故选：D.45．已知F1，F2是双曲线22xy a2b2则双曲线离心率的最小值为()【答案】D【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设P(x0,y0)，双曲线的半焦距为c，则有|x0|之a，(c,0),F2(c,0)，------------2c2所以双曲线离心率的最小值为.2c2c a22ayx a2b2(1【分析】确定双曲线的渐近线方程，由题意可得关于a,b的不等关系，即可求得离心率范围.2 <2(147．已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),F为双曲线的右焦点，过点F作渐近线的垂线MN(kMN<0)，垂足为M，交另一条渐近线于N，若=λ(λ>2)，则双曲线C的离心率的取值范围是()【答案】C【分析】设人MOF=θ,根据=λ(λ>2)列式，根据λ的取值范围求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围.【详解】依题意可知M在第一象限，N在第二象限，MF即MF即-------由NM=λMF(λ>2)得MN-------则tanθ=tan人NOM=tan(π-2θ)则tanθ==λb=λb,:tan人NOM=2tanθtan2θ-12abb2-a22ab.故选:C48．双曲线x2-=1的左焦点为F，A(0,-b)，M为双曲线右支上一点，若存在M，使得FM+AM=5，则双曲线离心率的取值范围为())【答案】Bb2b22求双曲线离心率的取值范围.【详解】取双曲线的右焦点F1，由双曲线定义FM=F1M+2，如图所示，故存在点M使得FM+AM=5等价为存在点M使得F1M+AM=3，所以F1A<3，当且仅当A,M,F1三点共线时等号成立，2249．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：22xy a2b28转体．若该双曲线右支上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）则该双曲线离心率的取值范围为.(5)(5)【分析】A(a,0)，B(a,0)，设P(x0,y0)，计算kPA.kPB=，根据均值不等式计算得到<，得到离心率范围.a022，PFOFPFOFkPAa22a5(5)5(5)(5)(5)x2yx2a2b2点使得ZPF2F1=3ZPF1F2，则C的离心率的取值范围为.【分析】PF1与y轴交点Q，连接QF2，可求离心率的取值范围.【详解】设PF1与y轴交点Q，连接QF2，由对称性可知，ZQF1F2=ZQF2F1，如图所示，又∵ZPF2F1=3ZPF1F2，∴ZPF2Q=ZPQF2=-2PF又∵1-2PF又∵1QFQFe=a。:ZPFF<=45由ZPF2F:ZPFF<=4541QF1 41QF1 2a2故答案为：51．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的焦距的取值范围是()【答案】B【分析】设椭圆的焦距为2c，双曲线的实轴长为2a，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求出c的范围，进而可得出答案.【详解】解：设椭圆的焦距为2c，双曲线的实轴长为2a，则FF2又双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，20(20)20(20)52．设双曲线C:-PF1LPF2．若△PF1F2的面积为4，则a=()【答案】D【分析】由双曲线的离心率为可得c=a①,又因为PF1LPF2．若△PF1F2的面积为4，设P在双曲线22+16，结合①,即可求得a的值.【详解】解：因为双曲线的离心率为，又因为PF1LPF2，△PF1F2的面积为4，所以n2+m2=(n-m)2+2nm=4a2+16，2故选：D.53．设k为实数，已知双曲线-=1的离心率ee(2,3)，则k的取值范围为【答案】(12,32)【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可【详解】因为-=1表示双曲线的方程，即k的取值范围为(12,32)，54．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且ZF1PF2=60。，PF1=λPF2(λ>1)，若C的离心率为，则λ的值为.OFPFOFPF【答案】3【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出PF1,PF2，结合余弦定理求解即可.=λPF2(λ>1)及双曲线的定义可得PF1PF2=(λ1)PF2=2a，2即(λ1)2c2=(λ2λ+1)a2，所以e2==λ1=，13即3λ210λ+3=0，解得λ=3或λ13故答案为：32255．已知双曲线55．已知双曲线 a2b2为坐标原点，过点O作F1P的垂线，垂足为点H，若双曲线的离心率e=，存在实数m满足OH=mOF1， 19由题意，可得相似三角形，根据相似三角形性质，建立等量关系，结合离心率的公式，建立方程，可得答案.-------=0可得PF2LF1F2，由题易得ΔF1OH~ΔF1PF2.1111由相似三角形的性质可知，b2 a2PF2a2PFa2m2m2：e2c2ab2a2 19故答案为：.56．已知双曲线C:-=1的离心率大于，则实数m的取值范围是()【答案】A【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得m的范围. ,当双曲线实轴在，F2分别是双曲线C的左，右焦点，M为△PF1F2的内心，若双曲线C的离心率e=，且S‘MPF=S‘MPF+λS‘MFF，则λ=()24【答案】D【分析】设出△PF1F2内切圆的半径，表示出S‘MPF,S‘MPF,S‘MFF，由S‘MPF=S‘MPF+λS‘MFF得λ=，结合双曲线的定义及离心率即可求解.【详解】设△PF1F2内切圆的半径为r，则S‘MPF=.r.PF1,S‘MPF=.r.PF2,S‘MFF=.r.F1F2，由S‘MPF=S‘MPF+λS‘MFF可得.r.PF1=.r.PF2+λ..r.F1F2，化简得PF1=PF2+λF1F2，故选：D.58．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距离340mB．东偏南45°方向，距离340mC．西偏北45°方向，距离170mD．东偏南45°方向，距离170m【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.【详解】如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得PA=PC，故方程为y=x，因B点比A点晚2s听到爆炸声，故，PBPA=340x2=680故PO＝340.故巨响发生在接报中心的西偏北450距中心340m处.故选：A.5