甘肃省酒泉市敦煌中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷

敦煌中学2023-2024学年度第二学期高一年级月考数学试卷一、单选题（每题5分，共40分）1．某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（

）A．28 B．30 C．32 D．362．一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为（

）A．15 B．16 C．17 D．183．已知，，若，则（

）A．1 B． C． D．4．已知平面向量，，若向量与共线，则（

）A．－2 B． C．2 D．55．已知且向量与互相垂直，则k的值为（

）A．B．C．D．16．已知向量，满足，，，则（）A．B．C．D．7．下图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程（单位：公里）及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是（

）

A．这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多B．这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里C．这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4D．这10城市地铁运营线路条数的极差是128．已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题（每题5分，共20分）9．下列说法错误的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量与是共线向量，则四点共线C．若非零向量与共线，则D．若，则10．已知平面四边形，则下列命题正确的是（

）A．若，则四边形是梯形B．若，则四边形是菱形C．若，则四边形是平行四边形D．若且，则四边形是矩形11．下列命题中错误的有（

）A．的充要条件是且 B．若，，则C．若，则存在实数，使得 D．12．已知甲､乙两组数据分别为，和，若甲､乙两组数据的平均数相同，则（

）A．甲组数据的中位数为10B．乙组数据的第75百分位数为9.5C．甲､乙两组数据的极差相同D．甲组数据的方差小于乙组数据的方差三、填空题（每题5分，共20分）13．已知向量与的夹角为120°，且，则，．14．在中，，则，．15．已知两个单位向量的夹角为60°，，若，则t＝．16．如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为.四、解答题（共6大题，共70分）17．（10分）已知向量，，点．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值．18．（12分）已知向量，，．(1)求满足的实数m，n的值；(2)若，求实数k的值．19．（12分）记的内角的对边分别为，已知．(1)；(2)若，，求的面积．20．（12分）某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按的比例随机抽取人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的2倍．(1)求和的值；(2)若次数在以上（含次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？(3)估计全市学生跳绳次数的中位数和平均数？21．（12分）如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F.(1)用向量与表示和(2)用向量与表示(3)求出的值22．（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C的大小;(2)若，且，求周长的最小值.参考答案：1．A【分析】根据抽样比即可求解.【详解】由题意可知抽取到的男性职工人数为，女性职工人数为，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多．故选：A2．D【分析】将这些数从小到大重新排列后结合百分位数的定义计算即可得.【详解】将这些数从小到大重新排列后为：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，，则取从小到大排列后的第8个数，即该组数据的第75百分位数为18.故选：D.3．A【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】，由得，解得.故选：A.4．B【分析】直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．【详解】因为向量与共线，所以，解得．故选：B．5．B【分析】根据向量垂直时数量积为0，结合数量积的运算律，列方程求解，即可求得答案.【详解】因为向量与互相垂直，所以．所以，因为，所以，所以，解得，故选：B6．D【分析】借助向量数量积的计算及夹角公式计算即可得.【详解】，，故.故选：D.7．C【分析】根据给定的条形图，逐项分析判断即得.【详解】对于A，北京的地铁运营线路条数最多，而运营里程最长的是上海，A错误；于是B，地铁运营里程的中位数是公里，B错误；对于C，地铁运营线路条数的平均数为，C正确；对于D，地铁运营线路条数的极差是，D错误.故选：C8．A【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可.【详解】因为，由正弦定理可得：，即，，又，，故；由，解得；由余弦定理，结合，可得，即，解得，当且仅当时取得等号；故的面积，当且仅当时取得等号.即的面积的最大值为.故选：A.9．ABC【分析】利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可．【详解】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误；对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误；对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误；对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确．故选：ABC10．ACD【分析】根据向量相等及向量模长的判断各个选项即可.【详解】对于A选项：因为，所以,则四边形是梯形,A选项正确；对于B选项：因为相邻两边相等不能得出四边形是菱形，所以B选项错误；对于C选项：因为，所以四边形是平行四边形,C选项正确；对于D选项：因为，所以,则四边形是平行四边形,因为,所以,则四边形是矩形,D选项正确；故选：ACD.11．ABC【分析】利用平面向量相等的定义判断A；举反例判断BC；利用向量三角形法则判断D.【详解】对于A：的充要条件是且方向相同，故A错误；对于B：当时，则不一定平行，故B错误；对于C：当，时，不存在实数，使得，故C错误；对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确.故选：ABC.12．AD【分析】利用平均数相同求出参数，后利用平均数，中位数，极差，方差的计算公式求解即可.【详解】甲组共有5个数据，从小到大排列后，10为中间数字，所以甲组数据的中位数为选项正确；由题意得甲､乙两组数据的平均数相同，且易知甲组数据的平均数均为10，故乙组数据的平均数也为10，故得，所以，又，乙组数据从小到大排列为，所以乙组数据的第75百分位数为选项错误；易知甲组数据极差为4，乙组数据极差为选项错误；两组数据平均数相同，乙组数据离散程度更大，方差更大，D选项正确，故选：AD．13．【分析】已知结合数量积的运算律以及定义，即可得出.然后根据数量积的运算律，展开，即可得出答案.【详解】∵向量与的夹角为，且，，∴，，，因为，所以．因为.所以．故答案为：；.14．【分析】由题意可知，然后利用余弦定理即可求解；利用正弦定理的面积公式即可求解.【详解】对空：由题意知，则，所以，由余弦定理得，则；对空：由，，所以，所以.故答案为：；.15．2【分析】结合，将向量等式两边与作数量积，再利用向量数量积的定义式展开就算即得.【详解】将的两边分别与作数量积得：化简得：，即，解得：故答案为：2.16．6【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，则，，，，设，其中，则，，，当时，有最大值6．故答案为：6.17．(1)(2)【分析】（1）根据向量的坐标运算，求得点的坐标，利用中点坐标公式，可得答案；（2）由点的坐标表示出向量的坐标，利用共线向量的坐标公式建立方程，可得答案.【详解】（1）设，，，，，，，同理可得，设BD的中点，则，，.（2），，三点共线，，，解得.18．(1)；(2).【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量相等求解即得.（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求解即得.【详解】（1）由，得，则有，解得，所以.（2）依题意，，，由，得，解得，所以.19．(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，进而求得的值；（2）设的外接圆的半径为，根据正弦定理求得，进而得到，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，可得，因为，可得.（2）解：由（1）知，因为，设的外接圆的半径为，可得，所以，因为，可得，所以的面积为.20．(1)(2)，人(3)，平均数【分析】（1）根据频率之和为列方程，结合已知条件求得.（2）根据频率分布直方图计算出优秀率，并计算出全市优秀学生的人数.（3）根据中位数、平均数的求法求得正确答案.【详解】（1）由题意得，解得．（2）由图可知，超过分的组的频率分别为，，，优秀率为．全市优秀学生的人数约为（人）．（3）第组的频率分别为，，，，前三组的频率和为，中位数约为．平均数约为．21．(1)，；(2)(3)【分析】（1）（2）由向量的线性运算法则求解；（3）