2023年山东烟台中考数学试题及答案

2023年山东烟台中考数学试题及答案

一、选择题

_2

1.§的倒数是（）

223

A.-B.一一C.-

332

【答案】D

【解析】

【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答.

【详解】解:

二一；2的倒数是一3!,

32

故选：D.

【点睛】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1,是解题的关键.

2.下列二次根式中，与正是同类二次根式的是（）

A."B.瓜C.瓜D.Vl2

【答案】C

【解析】

【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可.

【详解】解：A,74=2.与正不同类二次根式，不符合题意；

B、、后与夜不是同类二次根式，不符合题意；

C、78=272.与0是同类二次根式，符合题意；

D、712=273.与0不是同类二次根式，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根

式化为最简一次根式后，被开方数相同的二次根式是同类一次根式：最简二次根式的特征：

（1）被开方数不含分母；（2）被升方数中不含能开得尽方的因数或因式.

3.下列四种图案中，是中心对称图形的是（）

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【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可，中心对称图形：在平面内，把一个

图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中

心对称图形.

【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把

一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫

做中心对称图形.

4.下列计算正确的是（）

224235

A.a+a=2aB.（2/）=6*C.a.a=aD.

【答案】C

【解析】

【分析】根据合并同类项、基的乘方、同底数幕的乘法、同底数幕的除法的运算法则逐项排

查即可解答.

【详解】解：A.a2+a2=2a2,故该选项不正确，不符合题意；

B.（2«2）,=8«6,故该选项不正确，不符合题意；

C.。2.4=々5,故该选项正确，符合题意；

故该选项不正确，不符合题意.

故选：C.

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【点睛】本题主要考查了合并同类项、制的乘方、同底数事的乘法、同底数事的除法等知识,

掌握运算法则是解题的关键.

f3/«-2>1,

5.不等式组16°的解集在同一条数轴上表示正确的是（）

2-m>3

0I-10

【答案】A

【解析】

【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，

点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定

方向的原则是：“小于向左，大于向右”.

【详解】解:

2-〃z>3②

解不等式①得：加2/

解不等式②得：，“<一1

将不等式的解集表示在数轴上，如图所示,

故选：A.

【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方

法是解题的关键.

6.如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为

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A

【答案】A

【解析】

【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答.

【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱AE的投影为点反棱A8的投影为

线段段:，棱AD的投影为线段EO,棱AC的投影为正方形8cOE的对角线，

.•.该几何体的俯视图为:

【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到

的图形是俯视图.

7.长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大.6月6日是“全国爱眼日”，为了

解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调杳，并将统计数据

绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（）

A.甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数

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B.甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数

C.甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差

D.甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差

【答案】D

【解析】

【分析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可.

【详解】甲班视力值分别为：4.7,5.0,4.7,4.8,4.7,4.7,4.6,4.4；

47+47

从小到大排列为：4.4,4.6,4.7,4.7,4.7,4.7,4.8,5.0；中位数为———-=4.7,

2

平均数为"(4.4+4.6+4.7+4.7+4.7+4.7+4.8+5.0)=4.7；极差为5.0-4.4=0.6

方差为0.3『+(0.1)2+(0.1)2+(0.3)[=0.025；

乙班视力值分别为：4.8,4.7,4.7,5.0,4.6,4.5,4.9,4.4；

47+47

从小到大排列为：4.4,4.5,4.6,4.7,4.7,4.8,4.9,5.0,中位数为二——-=4.7

2

平均数为1(4.4+4.5+4.6+4.7+4.7+4.8+4.9+5.0)=4.7；极差为5.0—44=0.6

方差为篇=([(0.3『+(0.2)2+(o]y+(o]J+(0.2)2+(03『]=0.035；

甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差,

故D选项正确

故选：D.

【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位

数，极差，方差的定义是解题的关键.

8.如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的

一半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方

形内的某一点上.若小球停在阴影部分的概率为匕，停在空白部分的概率为鸟，则《与鸟

的大小关系为()

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B."AD.无法判

A.Pt<P2C.P[>P2

断

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解.

【详解】解：如图所示，连接AE,BD交『0,

由题意得，AB,C,。分别是正方形四条边的中点,

.••点。为正方形的中心,

S四边形A。"=Spq边形AO0C，

根据题意，可得扇形。4B的面积等于扇形C4O的面积,

S四边形AOBF_S扇形.AS—S四边杉A00c-S扇影4优＞

••・阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面枳等于正方形面积的一半

：.P,=P2.

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面

积的一半是解题的关键.

9.如图，抛物线y=ar2+/；x+c的顶点A的坐标为［一g,〃“，与》轴的一个交点位于0

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合和1之间，则以下结论：①"c>0：②力+c>0；③若图象经过点（一3,X）,（3,%），

则%>%：④若关于》的一元二次方程欠2+瓜+。一3=0无实数根，则/”<3.其中正

确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出再根

据图象得出当X=1时，y=a+h+c<Q,即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再

根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③：将方程

以2+历:+C—3=0移项可得以2+力为+°=3,根据该方程无实数根，得出抛物线

丁=以2+法+C与直线y=3没有交点，即可判断④.

【详解】解：①•.•该抛物线开口向下，

a<0,

•・,该抛物线的对称轴在y轴左侧，

：.b<0,

•・•该抛物线于y轴交于正半轴，

c>0,

abc>0,

故①正确，符合题意；

（1、

②4-彳，〃2，

・,・该抛物线的对称轴为直线x=-2=-』，则a=〃，

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当X=1时，y=a+b+c,

把。=〃得：当x=l时，y=2b+c,

由图可知：当x=l时，y<0,

2/?+c<().

故②不正确，不符合题意；

③;该抛物线的对称轴为直线X=-，，

2

]s(1^7

.•.(一3/)到对称轴的距离为一：一(一3)=，(3,%)到对称轴的距离为3---=-,

22\2y2

•.•该抛物线开口向下，

在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，

57

22

X>%，

故③正确，符合题意；

④将方程or2+for+c-3=0移项可得or2+hx+c=3•

ax2+bx+c-3=0无实数根，

二抛物线y=ax2+bx+c与直线y=3没有交点，

/.m<3.故④正确

综上：正确的有：①③④，共三个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断

各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质.

10.如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中

心作正方形PA44,正方形P&AA，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点

上，其中正方形PA4&的顶点坐标分别为尸(一3,0),a(-2,i)，4(TO),4(-2,—1),

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则顶点Aoo的坐标为（）

A.(31.34)B.(31,-34)C.(32,35)D.

（32,0）

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律人-2（〃-3,〃）.

【详解】解：:A（—2,1）,A4（-l,2）,4（0,3）,4（1,4）,L,

二4"-2（〃-3，〃），

V100=3x34-2,则〃=34,

Ano（31，弘）,

故选：A.

【点睛】本题考查「点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律.

二、填空题

11.“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优

先定位.目前，北斗定位服务H均使用量已超过3600亿次.3600亿用科学记数法表示为

【答案】3.6x10"

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为“X1O”的形式，其中1W忖＜10,〃为整数.确定〃

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：3600亿=360000000000,用科学记数法表示为3.6x10”.

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故答案为：3.6x10".

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其

中14忖＜10,〃为整数，正确确定a的值以及〃的值是解决问题的关键.

12.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知/1=102°,则N2的度数为.

【答案】78°##78度

【解析】

【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解.

【详解】解：如图所示，依题意，AB//DC,

:.Z2=4BCD,

,：ZBCD+N1=180。，Z1=102°,

ZBCD=180°-Zl=78°

/.Z2=78°.

故答案为：78。.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

13.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于

点4,B,C,D,连接AB，则的度数为_______.

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nr

【答案】52.5°

【解析】

【分析】如图：连接QAO8,OC,ORARAB,由题意可得：OA=OB=OC=OD,

ZAOB=50°-25°=25°,然后再根据等腰三角形的性质求得NOAB=65。、

ZOAD=25°,最后根据角的和差即可解答.

【详解】解:如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB,

由题意可得：OA=OB=OC=OD,

ZAOB=50°-25°=25°,ZAOD=155°-25°=130°,

ZOAB=；(180。-NAO8)=77.5°,ZOAD=1(180°-ZAOB)=25°,

NBAD=ZOAB-ZOAD=52.5°.

故答案为52.5°.

【点睛】本题主要考查了角的度量、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用等腰三角形的性

质是解答本题的关键.

14.如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下:

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②QMIQ0❷1119能|日按键的结果为8：

③的。。回■KI。。口按键的结果为0.5：

aB/cl20O2IX2口按键的结果为25.

以上说法正确的序号是—

【答案】®@

【解析】

【分析】根据计算器按键，写出式/，进行计算即可.

【详解】解：①2MF「64按键的结果为闹=4：故①正确，符合题意;

②QaOOBOtS3日按键的结果为4+(-2)3=T；故②不正确，不符

合题意;

③SaQQBaUGD=按键的结果为Sin(45°-15°)=sin300=0.5；故③

正确，符合题意;

。日按键的结果为卜一；、卜2?=10；

2

④OBQO挑122)

故④不正确，不符合题意；

综上：正确的有①③.

故答案为：①@.

【点睛】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个

按键的含义.

15.如图，在直角坐标系中，A与x轴相切于点在C8为A的直径，点。在函数

y=4(k>0,x>0)的图象上，。为V轴上一点，AC£>的面积为6,则k的值为..

X

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【答案】24

【解析】

【分析】设则O5=a,AC=V,则4C=，8C=V,根据三角形的面积公式

kci）a22a

得出sACD=gAC.OB=6,列出方程求解即可•

【详解】解：设C（a,£）,

A与x轴相切于点8,

BC_Lx轴，

OB=a,AC=~,则点D到BC的距离为a,

a

,:CB为A的直径，

1A

AcrBC-

2-

=

12±a

s=

A2-C7-

CD•«2a

解得：〃=24,

故答案为：24.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定

义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征.

16.如图1,在ABC中，动点P从点A出发沿折线ABfBCfC4匀速运动至点A后停

止.设点P的运动路程为X,线段4＞的长度为y,图2是y与X的函数关系的大致图象，

其中点r为曲线OE的最低点，则ABC的高CG的长为_

【解析】

［分析】过点A作AQ，8C于点Q,当点p与Q重合时，在图2中尸点表示当

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AB+BQ=12时，点p到达点Q,此时当P在上运动时，AP最小，勾股定理求得AQ,

然后等面积法即可求解.

【详解】如图过点A作AQ_L8C于点。，当点p与。重合时，在图2中/点表示当

AB+8Q=12时，点?到达点Q,此时当P在BC上运动时，AP最小，

:.BC=1，8Q=4,QC=3

在RtABQ中，AB=8,3Q=4

•••AQ=JAB?—BQ?=Vs2-42=4G

'：SA„C=^ABXCG=^AQXBC,

.”BCxAQ7x4百7G

・・CG=---------------=-------------=--------，

A882

故答案为：述.

2

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是

解题的关键.

三、解答题

17.先化简，再求值：心61+9/q+2+/_],其中。是使不等式伫成立的

a-2I2-aJ2

正整数.

【答案】ET

【解析】

【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值,

再代入数据计算即可.

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_,._.„ci~—6a+9(c5)

【详v解n】解：-----------a+2+--

a-212-a)

2

(q-3)；r(2+a)(2-a)[5-

a-22-。2-a

_(a-3)24-/+5

a-22-。

(a-3y2-a

a-2(3+a)(3-a)

_a-3

a+3'

解不等式巴二141得：a<3,

2

为正整数，

a=1.2>3»

•••要使分式有意义。一2二0,

，a。2,

•.•当”=3时，a+2-i----=3+2-1-----=0，

2-a2-3

a。3,

1-31

...把a=1代入得：原式===一一.

1+32

【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练

掌握分式混合运算法则，准确计算.

18.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”

而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才.已知A，B,C,D,£五

所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生

只能选择其中一所大学.某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调杳，并将

统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图.

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（1）请将条形统计图补充完整；

（2）在扇形统计图中，。所在的扇形的圆心角的度数为；若该市有1000名中学

生参加本次活动，则选择A大学的大约有人:

（3）甲、乙两位同学计划从A，B,C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用

树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率.

【答案】（1）见解析（2）14.4°：200.

⑶-

3

【解析】

【分析】（1）根据C的人数除以占比得到总人数，进而求得8的人数，补全统计图即可求

解：

（2）根据。的占比乘以360。得到圆心角的度数，根据1000乘以选择A的人数的占比即可

求解；

（3）根据列表法求概率即可求解.

【小问1详解】

解：总人数为14+28%=50（人）

.•・选择B大学的人数为50-10-14-2-8=16,补全统计图如图所示,

【小问2详解】

2

在扇形统计图中，。所在的扇形的圆心角的度数为一x360。=14.4。，

50

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选择1大学的大约有1000x4=200（人）

故答案为：14.4°；200.

【小问3详解】

列表如下,

甲

ABC

乙

AA4ABAC

BBABBBC

CCACBCC

共有9种等可能结果，其中有3种符合题意,

...甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为

3

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概

率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚

地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

19.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角

为30。的坡地新安装了一架风力发电机，如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力

发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡。。长16米，在地面点A处

测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45。，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测

得P点的俯角为18°,求该风力发电机塔杆PO的高度.（参考数据：sinl8°«0.309,

cosl8°«0.951,tan18°之0.325)

【答案】该风力发电机塔杆PO高度为32米

【解析】

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【分析】过点尸作。;•'，钻广点足延长。。交AC延长线于点后先根据含30°角直角三

角形的性质得出。E=8,设尸D=x米，则P£=PQ+DE=（8+x）米，进而得出

A£=（8+x）米，证明四边形£4£P为矩形，则PF=AE=（8+x）米，AF=P£=（8+x）

RF

米，根据线段之间的和差关系得出8/=AB-AE=s（45-x）米，最后根据标=tan18°,

列出方程求解即可.

【详解】解：过点〃作PE_LAB于点凡延长交AC延长线于点发

根据题意可得：AB，PD垂直于水平面，ZDCE=3O°,ZPAC=45°,ZGBP=18°,

二PEA.AE，

'：8=16米，

/.DE=-C£）=16xl=8（米），

22

设PQ=x米，则尸£=9+。七=（8+犬）米，

VZE4C=45°.PE上AE，

PE,、

AE=--------=（8+x）米，

tan45°v7

VAB1AE，PELAE<PF±AB^

.••四边形E4£P为矩形，

P/=AE=（8+x）米，AE=PE=（8+x）米，

•ZA3=53米，

8尸=回一AE=53—（8+x）=（45—x）米，

NGBP=18°,

ZBPF=18°,

BF45-x

A—=tanl8°,即二0.325,

PF8+x

解得：x*32,

答：该风力发电机塔杆尸。高度为32米.

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【.点;睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直

角三角形，熟练掌握解直角三知形的方法和步骤.

20.【问题背景】

如图1,数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形A8C。进行如下操

作：①分别以点良C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作

2

直线EE交BC于点。，连接A。；②将ABO沿AO翻折，点8的对应点落在点。处，

作射线AP交CO于点Q.

【问题提出】

在矩形ABC。中，AD=5,AB=3,求线段CQ的长.

【问题解决】

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连接OQ,如图2.经过推理、计算可求出线段CQ的长;

方案二：将ABO绕点。旋转180°至△RCO处，如图3.经过推理、计算可求出线段CQ

的长.

请你任选其中一种方案求线段CQ的长.

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【答案】线段CQ的长为一.

12

【解析】

【分析】方案一：连接。。，由翻折的不变性，知AP=AB=3,OP=OB=25,证明

△QPgZ\QCO(HL),推出PQ=CQ,设PQ=CQ=x,在Rt^AOQ中，利用勾股

定理列式计算求解即可；

方案二：将A8O绕点。旋转180°至△/?(%)处，证明NQAQ=NR,推出QA=QR,

设CQ=x,同方案一即可求解.

【详解】解：方案一：连接。。，如图2.

图2

•.•四边形ABC。是矩形，

AAB=CD=3,AD=BC=5,

由作图知8。=OC=」BC=2.5,

2

由翻折的不变性，知AP=AB=3,OP=OB=25,ZAPO=ZB=90°,

：.OP=OC=2.5,NQPO=NC=90°,又OQ=OQ,

：.△QPC^AQCO（HL）,

：.PQ=CQ,

设PQ=CQ=x,则AQ=3+x,DQ=3—x,

在RtZ\AQQ中，AD2+QD2=AQ2,即5?+（3—x）:=（3+x））,

25

解得x=­，

12

25

线段CQ的长为W；

12

方案二：将ABO绕点。旋转180°至△RCO处，如图3.

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•..四边形A8C。是矩形，

AB=CD=3,AD=BC=5,

由作图知8O=OC=，8C=2.5,

2

由旋转的不变性，知CR=AB=3,NBAO=NR,NB=NOCR=90°,

则ZOCR+ZLOCD=90。+90。=180°,

...£)、C、R共线，

由翻折的不变性，知N84O=NOAQ,

NQAQ=NR,

:.QA=QR,

设CQ=x,则QA=QR=3+x,DQ=3-x,

在RtZ\AQQ中，AD2+QD2=AQ2,即夕+(3—x):=(3+x)),

25

解得x=一,

12

25

线段CQ的长为巴.

12

【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角

形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

21.中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》、《周髀算经》是我

国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单

3

价的一，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本.

4

(1)求两种图书的单价分别为多少元？

(2)为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的

《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图

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书均按八折出售.求两种图书分别购买多少本时费用最少？

【答案】（1）《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元：

（2）当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总

费用为2316元.

【解析】

3

【分析】（1）设《周髀算经》单价为X元，则《孙子算经》单价一X元，根据“用600元

4

购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解：

（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出勿的取

值范围，根据勿的取值范围结合函数解析式解答即可.

【小问1详解】

解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是3“元，

4

600600

依题意得，~=~+',

-X

4

解得x=40,

经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，

3

二x40=30,

4

答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；

【小问2详解】

解：设购买的《周髀算经》数量加本，则购买的《孙子算经》数量为（80-〃?）本，

依题意得，加2；（80—〃?），

解得加226^,

3

设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），

依题意得，y=40x0.8/77+30x0.8（80-ni）=8〃?+1920,

•・・k=8>0,

・・・y随加的增大而增大，

・・・当加=27时，有最小值，此时y=8x27+1920=2316（元），

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80-27=53（本）

答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费

用为2316元.

【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实

际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键.

22.如图，在菱形ABC。中，对角线4c,8。相交于点E,。经过A,。两点，交对角线

4c于点E，连接OF交AO于点G,且AG=GD.

（1）求证：A8是。的切线；

（2）已知O的半径与菱形的边长之比为5:8,求tanNAOB的值.

【答案】（1）见解析（2）tanZADB^2.

【解析】

【分析】（1）利用垂径定理得OF_LA。，利用菱形的性质得/64了=/84/，利用半径

相等得/。4/=/。月4,即可证明NOA/^+NBAbugO。，据此即可证明结论成立；

（2）设AG=GO=4a,由题意得。4:AG=5:4,求得。4=5〃，由勾股定理得到

OG=3a,求得FG=2a,利用菱形的性质求得NAO8=NAAG,据此求解即可.

【小问1详解】

证明：连接。4,

VAG=GD,由垂径定理知

ZOG4=ZFG4=90°.

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•..四边形ABC。是菱形，

，ZGAF=ZBAF,

Z.GAF+ZAFG=90°=ZBAF+ZAFG，

'：OA=OF,

ZOAF=ZOFA,

ZOAF+ZBAF=ZOAB=90°,

又为。的半径，

•••A8是。的切线；

【小问2详解】

解：•••四边形A6c。是菱形，AG=GD,

...设AG=G£>=4a,

VO的半径与菱形的边长之比为5:8，

二在RtZkOAG中，OA:AG=5A,

*'•0A=5a,OQ=-JQ42—AG2=3a1

FG=OF-OG=2a,

•.•四边形ABC。是菱形，

ABD±AC,即NOE4=90o="G4,

:.ZADB=ZAFG,

AG4〃

tanZADB=tanZAFG=——=——=2.

FG2a

【点睛】本题考查了菱形的性质，垂径定理，切线的判定，求角的正切值，勾股定理，解答

本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

23.如图，点C为线段A8上一点，分别以AC8C为等腰三角形的底边，在A8的同侧作

等腰ACD和等腰BCE,且NA=NC8£.在线段EC上取•点/，使£f=AD,连

接BF,DE.

//F\\

/\\///\\

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（1）如图1,求证：DE=BF;

（2）如图2,若AD=2,8尸的延长线恰好经过OE的中点G,求8E的长.

【答案】（1）见解析⑵BE=2+6.

【解析】

【分析】（1）证明CD//BE,推出ZDCE=NBEF,利用SAS证明Z\DCE@\FEB即

可证明结论成立；

（2）取C/的中点〃，连接G“，证明G”是FCD的中位线，设BE=a，则F"=,。一2,

2

证明△r得到丝=也，即^—4〃一4=0,解方程即可求解.

BEEF

【小问1详解】

证明：•.•等腰ACD和等腰BCE,

:.AD=CD,EC=EB,ZA=ZDCA,

•：ZA=NCBE,

/.ZDCA=NCBE,

:.CD〃BE,

：.NDCE=NBEF,

EF=AD，

EF=CD,

CD=EF

在△OCE和FEB中，,NOCE=NFEB,