2022-2023学年湖北省孝感市高三年级下学期4月联考数学试卷及答案解析

2022-2023学年湖北省孝感市高三年级下学期4月联考数学试卷

1.已知复数z=2i-』，则∣z∣=()

A.√5B.2C.3D.√6

2.已知集合M={x∣∕一%一2<o},N-{x∣y=√1-Inx},则MUN=()

A.(-∞,e]B.(0,2)C.(-l,e]D.(-1,2)

3.若b*0,则％=而”是“a,b,C成等比数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若正数X,y,Z满足5*=6》=log7z,则()

A.z>y>XB.z>X>yC.y>z>xD.x>z>y

5.春节期间，小胡、小张、小陈、小常四个人计划到北京、重庆、成都三地旅游，每个人

只去一个地方，每个地方至少有一个人去，且小胡不去北京，则不同的旅游方案共有()

A.18种B.12种C.36种D.24种

6.已知点M(L0),从抛物线∕=4y的准线2上一点P引抛物线的两条切线PA,PB,且4B

为切点，则点M到直线AB的距离的最大值是()

A.√2B.√3C.2D.3

7.在正方体ABCD-4通传15中，48=2,E为棱BBl的中点，则平面AED1截正方体4BCD-

4当ClRl的截面面积为()

579

C4D

A.2-2-2-

8.设0=孚,b=f，乎则()

32π96

A.a>b>cB.c>a>bC.a>ObD.c>b>a

9.将函数f(χ)的图象向左平移着个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原

来的，倍，得到函数g(x)=Λsin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∖φ∖<Tr)的图象.已知函数g(x)的部分

图象如图所示，则下列关于函数/(%)的说法正确的是()

A./(x)的最小正周期为/B.“为在区间［辅］上单调递减

C.f(x)的图象关于直线》=5对称D.f(x)的图象关于点(aO)成中心对称

10.己知α>b>0,c>d>O,则下列不等式成立的是()

A.α+c>b+dB.ʒ>-

dc

C.(ɑ+by>(α+b)dD.ca+b>da+b

11.在平面直角坐标系Xoy中，点P到两个定点6(-1,0),6(1,0)的距离的积等于I，记点P的

轨迹为曲线C,则下列说法正确的是()

A.曲线C关于坐标轴对称B.A0PF2周长的最小值为2+乃

C.∆F1PF2面积的最大值为日D.点P到原点距离的最小值为日

12.如图是四棱锥P-ABCD的平面展开图，四边形ABCD是矩形，ED1DC,FD1DA,DA=

3,DC=2,4B4D=30。.在四棱锥P-ABCD中，M为棱PB上一点(不含端点)，则下列说法

正确的有()

F(P)

G(P)

A.AM+CM的最小值为由磬

B.存在点M,使得。M_LBC

C.四棱锥P-ABCC外接球的体积为等

D.三棱锥M-PAO的体积等于三棱锥M-PCD的体积

13.已知函数/(%)=4%+αχ2,若曲线y=/(%)过点P(1,1)的切线有两条，则实数Q的取值

范围为.

14.已知CoSo=-丝，且。e⅛兀)，则tan28=___.

ɔl

15.己知菱形ABC。的边长为2,4ABC=60°,点E是线段AB上的一点，且BE=3AE,则正•

CD=.

16.2021年国庆长假期间，电影《长津湖》正式上映某单位5位同事小郭、小张、小陈、小

李和小常相约一起去电影院观看，他们各自手上持有的电影票的座位号恰好为8排的5个相邻

的座位编号，若进入影院后，每人随机地选择这5个座位中的其中一个就座，设各人所坐的座

位号与他持有的电影票座位号不同的人数为X，则E(X)=.

17.在AABC中，角4,B,C的对边分别为α,b,c,且aABC的周长为6,sinA+sinB-SinC=

bs∖nA

I-,

(1)求角C的大小；

(2)若。是边AB的中点，且CD=b，求AABC的面积.

18.为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，400名学生物理成绩的频率

分布直方图如图所示.

其中成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],已知成绩在[60,70),

[70,80),[80,90)之间的人数依次构成等差数列.

(1)求图中α,b的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这400名学生物理成绩的中位数(结果保留整数)；

(3)若这400名学生物理成绩各分数段的人数(Xi)与化学成绩相应分数段的人数(%)之间的关

系如下表所示，求化学成绩低于50分的人数.

分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

yιy∑25

期,%之间的关系

73=产'4=产%=%5

=x1-5=%2+2

19.已知数列｛α7l｝的前n项和为3,α1=1,且(Sfl+l)<⅛+ι+S/=0.

(1)求｛arι｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝的前n项和为弓,且瓦=l,hn+ι-6n=(n-2)∙2%.，求证<卯2-2"+i+2.

20.如图，四边形ABCD为菱形，∆ABC=60°,AB=2,平面ABEF_L平面ABC。，EF//AB,

Z.BAF=90o,AF=EF=I,点P在线段CE上(不包含端点).

(I)求证：BD1FC;

(2)是否存在点P,使得二面角P-AB-。的余弦值为学?若存在，则求出M的值;若不存在,

7≡ɛ

请说明理由.

21.已知椭圆。μ+\=1(£1>8>0)的左、右顶点分别为4,A2,∖A1A2∖=4,且过点

(√2,⅞.

(1)求C的方程；

(2)若直线1号=旗％-4)(/£≠0)与(?交于“，N两点，直线与&N相交于点G,证明：点G

在定直线上，并求出此定直线的方程.

22.已知函数/(%)=ex—∣x2—ax—I(Q∈R).

(1)若不等式f(%)≥O在％∈[0,+8)上恒成立，求实数Q的取值范围;

(2)若%>0,求证：(ex—∣x2+l)ln(x÷1)>2x.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查复数的四则运算，考查复数模的理解，为基础题.

【解答】

解：z=2i—2⅞=2i-7⅛⅝=2-亨=33则∣z∣=3.故选C.

1+1Ql+0(1-i)Z

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了并集运算，涉及解一元二次不等式，对数型函数定义域，复合型对数函数，属于基础

题.

【解答】

解：因为M={x∣χ2-X一2<0}=N={x∖y=√1-lnx)=(0,e］，

则MUN=(-l,e］.

故选C.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查充分必要条件的判断，属于基础题.

【解答】

解：因为b=√ΠF,则匕2=ac,且b≠0,

所以α,b,C成等比数列；

若α,b,C成等比数列，贝！］从=αc,即b=±√HF,

所以“b=强”是“a,b,C成等比数列”的充分不必要条件.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查指数、对数中的大小的比较，利用数形结合，即可在图象中发现大小关系.

【解答】

k

解：设5*=6,=l0g7Z=/c>1,则X=IOg5%,y=log6fc»z=7,

在同一坐标系中作出y=logs%，y=∖og6x,y=7*的图象，如图所示，

-Oflkʃ

易得7">log5∕c>log6∕c,即z>X>y.故选B.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了排列与组合的综合应用，属于基础题.

【解答】

由题意，可分为两种情况：

(1)小胡单独一个人旅游，在重庆，成都中任选1个，有2种选法，

再将其他3人分成两组，对应剩下的2个地方，有或掰=6种情况，

所以此时共有2x6=12种；

(2)小胡和小张、小陈、小常中的1人一起旅游，先在小张、小陈、小常中任选1人，与小胡一起在

重庆，成都中任选1个，有第G=6种情况，将

剩下的2人全排列，对应剩下的2个地方，有&=2种情况，

所以此时共有6X2=12种，

综上，不同的旅游方案共有12+12=24种.

故选。.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，点到直线的距离问题，属于中档题.

【解答】

2γ

解：设点P(t,-1),λ(x,y)^B(x,y),对函数y=3求导得y'=5，

112244

所以直线PA的方程为y—y1=:(X-X1),即y-yι=等一争即y=竽一%,

同理可知，直线PB的方程为y=等-72・

由于点P为直线PA、PB的公共点，则仅二盥

所以点4,B的坐标满足方程tx-2y+2=0,所以直线AB的方程为垃一2y+2=0,

所以直线AB恒过定点(0,1),点M到直线48的距离的最大值d=√(l-0)2+(O-I)2=√2.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了几何体截面面积的求解，解题的关键是确定截面是什么形状，考查了空间想象能力与

逻辑推理能力，属于中档题.

取BlCl的中点为M,连接EM,MD1,利用中位线定理和线段的长度关系，得到四边形EMDiA是等

腰梯形，然后利用梯形的面积公式求解即可.

【解答】

解：取BIel的中点为M,连接EM,MD1,则且EM=TBC0则

又正方体中，AB=2,所以MDl=/E=√22+/=6,BCl=TWl=2√Σ

因此EM=；BCl=√Σ

所以平面AEDi截正方体ZBCD-4BιGDι所得的截面为等腰梯形EMDl4,

因此该等腰梯形的高为h=JDIM2一%耳=JTE=苧，

所以该截面的面积为S=ɪ-(AD1+EMYh=I.

故选O.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的单调性比较大小，利用导数判断单调性，属于较难题.

构造函数/(x)=—,X∈(O5),利用/(X)在(0,5)上单调递减，可比较α,b的大小；构造函数g(x)=

sinx+x,x∈(0,≡),由g(x)在(0,今上单调递增，可比较a,C的大小，进而可得答案.

【解答】

解：令f(X)=岁，X∈(0,2),则/(X)=Xcospinx,

令ιz(x)=xcosx-sinx,则u'(x)=cosx—XSinX-cosx=—xsinx<0在(Oq)上恒成立，

所以U(X)在(OE)上单调递减，所以II(X)<u(0)=0,

所以/'(X)<0在(0,今上恒成立，所以/(%)在(Oq)上单调递减，

所以f(l)>/《)，即岑i>孚，即蜉>品即α>b;

令g(x)=sinx+X,x∈(θ,ɪ),易得g(x)在(OW)上单调递增，

所以g(l)<g©),g∣]sinl+l<sin≡+≡

即sinl—空，所以孚一勺色，即c>α,所以c>α>b.

32396

故选员

9.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查由部分图象求三角函数的解析式，正弦函数的图象变换，判断正弦型复合函数的单调性

及对称性，属于中档题.

【解答】

解：由图象可得4=2,T=π,g(-工)=2,

所以3=2,—+=ɪ+2kπ(k∈Z),所以(P=与+2kτr(k∈Z),

由I(Pl<TT,即0=等得g(x)=2sin(2x+争，

将9。)的图象上的所有点的横坐标变为原来的:倍，

再向右平移营个单位长度得到函数/(x)的图象，即f(x)=2sin(3x+≡),

所以/⑶的最小正周期为等故A错误；

当XC皆,勺时，3x+^∈g,¾,所以〃x)=2sin(3x+勺单调递减，故B正确;

yɔONbθ

当X=为时，/(X)取最大值，所以/(X)的图象关于X=5对称，故C正确，。错误•

10.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题.

由已知条件，结合不等式的基本性质与幕函数、指数函数的单调性，即可判断.

【解答】

解：由不等式的基本性质，可得4和8都正确；

取α=[,b=i,则α+b='e(0,l),从而号尸<(沪则C错误；

cι

基函数y=χα+b,在(0,+8)上是增函数，则由c>d>O,即得C+b>c∕α+b,则。正确.故选ABD.

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查曲线的轨迹问题，考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，结

合基本不等式求解是关键，属难题.

由题意得到方程JQ+1)2+y2,Q—1)2+y2=|,结合对称性的判定方法，可判断4表示出

△&PF2周长，结合基本不等式可判断B；利用余弦定理结合基本不等式可判断C；推导出

22

y∕x+y≥竽可判断D.

【解答】

2222

解：设P(X,y),则J(X+1)2+y2j(χ-1)2+y2=Ij即KX+I)+y][(x-I)+y]=以一X

替换X,-y替换y方程不变，所以曲线C关于坐标轴对称，故A正确；

△QPFz的周长CAFIPF2=IFlPl+∖PF2∖+∣F∕2∣=√(x+l)2+y2+√(χ-l)2+y+2≥

2JJ(X+1)2+y2.{(χ—1)2+y2+2=√6+2>当且仅当J(X+1尸+y2=J(X-1严+y2时

等号成立，故B正确；

COSZF1PF2=四叱禽曰产2=巴班+产产-4≥2∣F1Pl∣PF2∣-4=_1当且仅当国Pl=92|

2∣FlPllPF2∣333

时，等号成立，所以当"PF?=割寸，sin“1PF2取得最大值，所以△KPF2的最大面积为S=

-IO

I^i11^21SinzFPF=P故C错误；

L124

由[(x+I)2+y2][(x一I)2+y2]=≤产+DD"产=(%2+、2十1)2,即/+y2+

1≥f,即Jχ2+y2≥),当且仅当J(%+1)2+y2=Ja-Q2+y2时等号成立,故。正确.

4Δ

故选ABD.

12.【答案】AD

【解析】

【分析】

本题考查多面体表面上最短距离问题，外接球体积，棱锥的体积，较难题.

【解答】

解：把平面图形还原得到四棱锥P-ABCD,

如图，由EDlOC,FD1DA,可知PD_LDC,PD1DA,

AB

又DCnLM=D,所以PD_L平面4BCD.

在RtAADP中，/.PAD=30°,DA=3,

故PD=3tan30o=√3,

在Rt△CDP中，PC=√PD2+DC2=√3^+4=√7.

在矩形ABCD中，DA=3,DC=2,

连接DB,W∣JDB=√22+32=√13.

在RtΔPDBψ,PB=√PD2+DB2=√3+13=4.

对于4将平面P4B与平面PBC展开成一个平面，当4,M,C三点共线时，AM+CM最小,

此时，A,P,B,C四点共圆，且直径为PB=4,

H√7+3√3

而sin-IPC=Sina4PB+乙CPB)=，

O

所以AC=4X驾里="答，故A正确；

对于B,假设DMIBC,易证BCJ■平面PBD,则有BCIBD,与已知条件矛盾，故B错误;

对于C,将此四棱锥可以补形成一个长方体，PB为长方体的一条对角线，

同时也是四棱锥P-4BC。外接球的直径，

所以半径R=2,其体积U=gττx23=拳，故C错误；

对于。，因为=罂，I：：；：=罂，而IZe-P4D=Vp-BAD=vP-BCD=VB-PCD，

vB-PADurvB-PCDdγ

所以VrM-PAD=UM-PCD,故。正确.

13.【答案】(一8,-3)U(O,+8)

【解析】

【分析】

本题考查曲线的切线问题，为中档题.

【解答】

解：设切点为4g,4%o+α∕),直线AP的斜率为匕χ∕,(x)=4+2ax,

则k=/'(Xo)=4+2ax0,所以切线方程为y-(4x0+axξ)=(4+2αx0)(x-x0)∙

将(1,1)代入化简得a就-2axo-3=0,所以方程a就-2ax0-3=0有两个不同的实数解,

所以a≠0,且^=(—2a)2—4a(-3)=4a?+12a>0,所以a>0或a<—3>

即实数a的取值范围为(一8,-3)U(0,+∞).

14.【答案】-g

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数的基本关系，考查二倍角公式，属于基础题.

通过角的范围，利用同角三角函数基本关系式求得sin。，tern。，由二倍角正切公式代入求值.

【解答】

解：TCOSe=且。e(?,兀)，

5l

Slne1

tan0λ=--

COSe2,

2tan8

:∙tan2θ=

l-tan20

15.【答案】-1

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积的概念及运算，属于中档题.

【解答】

解：由题意知，^EC=^BC-BE=^BC-⅛,

4

^EC-CD=(BC-IBA).BA=BC-BA-IBA2=2×2×l-l×2^=-1.

16.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的期望，属于一般题.

求出X的所有可能取值和对应概率，即可得期望.

【解答】

解：由题意知X的可能取值是O,2,3,4,5,

P(X=O)=%=i⅛,^=2)=≡l=⅛P(X=3)=*∖

P(X=4)=*看P(X=5)=臂=奈

11-1ɔ11

所以E(X)=OX卷+2Xa+3x^+4xg+5X即=4.

IZUIZOoɔu

17.【答案】解：⑴因为sin4+SinB—SinC=驾竺，由正弦定理可得α+b-c=竽.

又由Q+h+c=6,可得(Q+b—c)(α+b+c)=3αb,

整理得。2+力2-¢2=帅，所以CoSC=Q±Q卫=1.

2ab2

又因为C∈(O,τr),所以C=M

(2)因为。是边的中点，所以2方=刀+而，

即4赤=(CA+CB)2=0A+2CA-CB+^CBi=b2+a2+ab=4×(√3)2=12-

又a+b+c=6,a2+b2—c2=ab,解得a=b=c=2.

所以△ABC的面积S=TabSinC=√3.

【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，三角形的面积公式，向量的运算，属于基础

题.

18.【答案】解：⑴因为成绩在[60,70),[70,80),[80,90)之间的人数依次构成等差数列,

所以a,b,0.02依次构成等差数列，

所以2b=a+0.02.

X(0.005+a+b+0.02+0.005)×10=1,所以a+b=0.07,

联立说Ia1股解得｛广黑

(a+b=0.07,Lb=0.03

(2)设这400名学生物理成绩的中位数为&,则%。∈[70,80].

由(0.005+0.04)×10+0.03X(Xo-70)=0.5,

解得X。≈72.

即这400名学生物理成绩的中位数为72.

(3)先求这400名学生物理成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的人数依次为

400X0.005×10=20,400X0.04×10=160,400X0.03×10=120,400X0.02×10=80,

400×0.005×10=20,

则这400名学生化学成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的人数依次为15,162,

80,100,20,

所以化学成绩低于50分的人数为400-15-162-80-100-20=23.

【解析】本题考查频率分布直方图、利用频率分布直方图求中位数，属于中档题.

19.【答案】(I)解:因为(Sn+l)c⅛+ι+S/=0,所以(Sn+l)(Sft+ι-S")+S∕=0,

整理得S"+1S71+Sn+1-Sn=0,

Il11

等式两边同除以Sn+ιS,得l+∙ξ—τ——0,即-----=1.

nɔndn+lɔn+1ɔn

因为的=1,所以1亲=1白=1,

ɔiaI

所以数列｛2｝是首项为1,公差为1的等差数列.

所以A=l+n-l=n,所以S71=ɪ.

所以当n≥2时，¾=Sn-Sn.1=ɪ-ɪ=

(1,71=1,

所以数列｛ατι｝的通项公式为册=__1_n>?

(n(n-l)^-

(2)证明：因为“+ι-bn=(n-2)∙2%n,

1

所以当n=1时，fa2-61=(1-2)X2X1=-2.

(n-l)∙2π+1-n∙2n2n2n+1

当n≥2时，b-b=-ɪɪ------------，——

。n十+，1nn(n-l)n(n-1)n—1n

所以当Ti≥2时，bn=bn—hn-ι+hn-ι—bn^2b3—b2b2-b1+b1

f----------+±-------J—+・・・+/———+(-2)+1=--------=——1=3-—'

n-2n-1n-3n-22-12I'2-1n-1n-1

1,九=1,

所以%=3--^-,n≥2.

乂n≥2时，⅛n=3-⅛<3-⅛>且仇=1=3-%

所以当neN*时，b<^i-~.

n"-n

所以"=bl+尻+…+%≤3-q+3—5+…+3—1=3n—备+5+…+1）≤3n_

£+田+…+兰）=3"2-2田+2,

17Inn7n

故〃≤3n2-j+'2,当且仅当Tl=I时等号成立.

【解析】本题考查数列中通项公式的求解，考查累加法以及裂项相消法的应用，为中档题.

20.【答案】（1）证明：如图，连接4C,因为四边形ZBCD为菱形，所以AeIBD.

因为4BA尸=90°,所以BAIAF,又平面ABEFj_平面ABCD,平面ABEFn平面力BCD

=AB,AF（∑^ABEF,所以AFJ■平面ABCD.

又BDU平面ABm所以AFlBD.

又AFnaC=4,AF,ACU平面AFC,所以BD1平面4FC.

又FCU平面AFC,所以BDlFC.

（2）解：连接4C,交BD于点、O,取FC的中点G,连接。G.

在AdF中，。，G分别是AC,FC的中点，所以。G〃4£

由（I）知AF_L平面ZBCD,又ZC,BDU平面ABCD,所以力FIZC,AF1BD,

又GGUAF,所以OGJLaC,OG1BD.

以。为原点，以OB,CC,OG所在的直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系.

则A(O,-1,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),F(O所以同=(√5,1,0)，AF=(0,0,1)>

所以平面ZMB的一个法向量是方=(0,0,1)•

设E(α,btC),则屈=(α,6+l,c-l)=∣^=i(√3,LO),

解得a=鸟b=-ɪ,c=l,

即E(1,-9,l),所以正=(-g,∣,-1)∙

设市=4芯=(-袅∣4T)Q∈(0,1)),

所以而=荏+前=怎』,1)+(一袅∣aτ)=(f-yλ,∣+∣λ,l-λ).

设平面P4B的一个法向量为Ti=(x1,y1,z1),

fn∙AB—√3x1÷y1=0,

则卜∙½p=(y-yλ)x1+(1+IRyl+(1-λ)z1=0,

令Xl=1,解得%=7,Zi=*所以n=(1,—6,誓).

所以∣cos(隔五)1=—尸=苧

lχj4+暗2

解得a=W或;I=一1(舍)

所以存在点P,使得二面角P-4B—D的余弦值为亨，此时装=T

【解析】本题考查线线垂直的证明，考查满足二面角的余弦值的点是否存在的判断与求法，考查

空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

21.【答案】(1)解：因为NlA2∣=4,所以2α=4,解得α=2.

因为C过点(√Σ净，所以字+字=1，

解得b=√3,

所以C的方程为4=L

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证明:设

(2)MO⅛,%),W(x2,y2),

所以M：〉=V⅛(χ+2),SN：y=含(久一2).

y—∕c(χ—4),

由/y2⅛S^(3+4∕C2)X2-3