2019年全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）

试题及答案解析

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

1、当xf0时，若x-tanx与x"是同阶无穷小，则左=

B.2.

D.4.

【答案】C

3

【解析】x-tanx——,所以选C.

3

TT

2、设函数y=%sin%+2cos%（——%.一）的拐点

22

B.(0,2).

D.（上一当

(兀,一2).

【答案】C.

【解析】令y"=—xsinx=0,可得％=兀，因此拐点坐标为.

3、下列反常积分发散的是

p+oo_2

[Ax

Jo+00X

C.+8arctanx

【答案】D

X.4-00

【解析】「8_____d%=，ln（x'+l）=+oo,其他的都收敛，选D.

Jo2

1+x20

4、已知微分方程y"+ay'+by=cex的通解为y=（Q+C^x）e^x+ex,则a、b、c依次为

1,0,11,0,2

2,1,32,1,4

【答案】D.

【解析】由通解形式知，2=2=—1,故特征方程为（为+1）2=4?+22+1=0,所以

a=2,b=1,又由于y=e"是y'+2y'+y=ce"的特解，代入得c=4.

5、已知积分区域D={(x,j)l|x|+]v|；}，5=乩杆+y2dxdy

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i2=j£sin,I3=cosJ/+y2心力，试比较/?/J的大小

A.I3<I2<B,I1<I2</3

C.I2<I{<I3D.I2<I3<1{

【答案】C

222

【解析】在区域D上0«%2+尸sin7x+v<Vx+/，进而/2</1</3.

6、已知f(x),g(x)的二阶导数在x=a处连续，则lim_黑»=0是曲线

i(x-a)

y=/(x),y=g(x)在x=a处相切及曲率相等的

A.充分非必要条件.B.充分必要条件.

C.必要非充分条件.D.既非充分又非必要条件.

【答案】A

【解析】充分性:利用洛必达法则，有

lim5.=［而/⑴-g'3iim/G)-gG)一0.

x—a(x-d)la2(X-d)x—>a2

从而有f(a)=g(d),f'(a)=g'(d),f'(d)=g'(d)，即相切,曲率也相等.

.ff

11

反之不成立,这是因为曲率K=3，其分子部分带有绝对值，因此/'(a)=g'(a)或

(1+严)5

尸(a)=-gf(<7);选A.

7、设A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个

向量，则A*的秩是()

A.OB.lC.2D.3

【答案】A.

【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则«A)=2,«A)<3,r(A*)=0.

8、设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若A?+A=2E,且|A|=4,则二次型

x1Ax规范形为

22

A.y>+£+¥♦B,y^yTy\

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cy；—y；—D-_y2i_y2ry21

【答案】c

【解答】由A2+A=2E,可知矩阵的特征值满足方程42+丸_2=0,解得，2=1或

2=-2.再由|A|=4,可知2=1,4=2=-2,所以规范形为丁一尸―丫2.故答案选

II123123

二、填空题：9〜14小题，每小题4分，共24分.

9.lim(x+2'尸=_□.

%-o

【解析】lim(x+2¥=e'邈0+2>

%—0

2x%+2%—1

其中lim_ln(x+2)=2lim=2lim(l+2xln2)=2(l+ln2)

x->0xx->0x%-o

2

所以lim(x+2、尸=e2+21n2=4e2

%—0

[x=t-smt3

IO.曲线\,在/=-〃对应点处切线在y轴上的截距.

Ly=l-cos?2'

【解析】3sin/

dx1-cosr

当％=一》时，x=^_7T+l,y=1,二一1

22dx

33

所以在♦=对应点处切线方程为y=-％+_〃+2

22

3

所以切线在y轴上的截距为—九+2

2

y2dzdz

n.设函数/(〃)可导，z=——),贝|」2%<+丁丁=卫.

xdxdy

【解析】

dz_y2,/2yy22y2,y1

―/(——)+W(——)(—)-/(——)+f()

oyxxxxxx

dzdzy2

所以

12.设函数y=lncosx(0x-)的弧长为

6

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p匹.匹

【解析】弧长5=^1+tan2xdx=6.--dr

0,COSX

71

~6Lin3

=In|---+tanx|=In<3=

COSX02

.9

%SHU1

13.已知函数/(x)=%{--------dt，则J0/(x)dx=

xsint2

【解析】设R(x)=(——dt,则£/（%）口=J。%/（%）也

t1

1i221

F(x)dx=[XF(X)]-IxdF(x)

105Jo

2Jo

2

112

1r2E/XJ1f2sinX

=-xF(x)dx=-_Jxdx

"。.2I2%]

xsinx2dx=cosx1’(cosl-1)

2J。

4o4

-100

1-11

14.已知矩阵A=\，A表示|A|中（i,J）元的代数余子式，则

3-22-1ij

0034,

Al—A12==•

1-1001000

-21-11-2-1-11

【解析】A-A=|A|=

H123-22-1312-1

00340034

-1-11-1-11

12-1010=-4

034034

二、解答题：15〜23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、（本题满分10分）

〉0,

已知，（无）=求了'（x）,并求/（%）的极值.

xer+1,x-0,

解:X〉0时J'(0)=(e2-nxy=e2xlnr(2lnx+2)；

x<0时J'(x)=(x+l)ex；

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，/(x)-/(O)e2jclM-l

又工(°)=蚓一^-'却^一

2xInx

=lim=lim21nx=-GO

+U

x->0X%-。+

所以尸（0）不存在，因此

,「2针(1+In%),x>0,

i(S,x<o,

令/'（x）=。,得驻点x=-l,x=[;另外/（x）还有一个不可导点x=0;

13e2

又（-8,-1）为单调递减区间,（-1,0）为单调递增区间,（o,5为单调递减区间,（L+8）为单

调递增区间;因此有极小值=和极小值/（_）=ee，极大值/（0）=1.

ee

16、（本题满分10分）

」-r3%+6

求不定积分f——「-------dx

J（X—i）2（r+x+i）

3x+6232x+l

------------dx=f[-------1-------5-------]dx

(x-l)2(x2+x+1)Jx-1(x-I)2x2+x+1

3

=-2ln|x-1|------Fln(x2+x+l)+C

x1

17、(本题满分10分)

]x2

y=y(x)是微分方程V—孙=—re7满足Xl)=的特解.

(1)求y(x)；

(2)设平面区域D={(x,y}\lr.x2,0yy(x)}，求。绕无轴旋转一周所得旋转体的体

积.

解⑴y(x)=J力，一汕•-e2dx+C]

J2jx

x2X2

—1-r~

=e2(1厂dx+C)=e2(C+C);

'JZ\jx

又由M0)=\[得c=o,最终有

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(2)所求体积

18、已知平面区域。满足Wy,(f+y2)3「y4,求(*dy.

JjD^x2+y2

TT371

解:由4y可知区域。关于y轴对称，在极坐标系中,—0—;将x=rcos6,y=rsin。

1।44

2

代入(£+;/甘,J’得r.sin0；

由奇偶对称性，有

x+yy-sin26»rsin0

s-432

二0dO=-2^1-cos26)2dcos9=120

4~4

19、设〃为正整数，记5力曲线丁二。一*由武0M%兀)与x轴所围图形的面积，求乂，并

求limS力

n->oo

解:设在区间［E,(%+1)兀］a=0,1,2,L,n-l)上所围的面积记为以，则

•(k+l)7i,「(A+l)71_.i

e~x\sinx\dx=(-l)kfexsinxdx；

以二kitJlot

记/=j6rsinxdx，贝U/=-je-Adcosx=-(e"cosx-jcosxde~x)

=-e~xcosx-je-Adsinx=-e-"cosx-(e“sinx-jsinxde~x)

=-e—'(cosx+sinx)-/,

所以/=」e-*(cosx+sinx)+C;

2

](A+l)?l

因此以=(-l)\--)e-\cosx+sinx)=-(e(k+1^+e-kn)；

2尿2

(这里需要注意cosE=(—1)、

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因此

1n

n-1'-kn]e-兀—

5"=2%=刀+口=T+——

k=0Lk=]L

1q—兀-(n+l)7r

limS〃=1+lim1一o匕工

002〃.0°1-e21-e2e-1

分2〃。llZ^T/du

20、已知函数〃(x,y)满足2W-20+3——+3——=0,求o,b的值，使得在变换

dxoyoxoy

M6y)=v(x,丁把血切下，上述等式可化为v(x,y)不含一阶偏导数的等式.

分7/

解：°"=Me3切+vaeax+by,

04_，ax+by，ax+by，ax+by2ax+by

~^Tvxxe+匕〃e+v%〃e+vae

=V：e3^+2aHem+川+a2veax+by

，ax+byax+by°〃，ax+byfax+by2ax+by

+bve

同理，可得K=，记％e+2bvye+Z?ve

将所求偏导数代入原方程，有

ax+byr9pr—2M+(4〃+3)M+(3—4Z?)M+(2/—2Z?2+3〃+3Z?)v]=0,

Lvxxyyxy

33

从而4。+3=0,3—4沙=0,因此。=——0=_.

44

i

21、已知函数/(x,y)在[0,1]上具有二阶导数，且/(0)=0"⑴=1//(x)ck=l,证明:

J0

(1)存在&e(o,i),使得rc)=o；

(2)存在〃e(0,l),使得了"(〃)<—2.

证明:(1)由积分中值定理可知，存在ce(0,l),使得Jo》(x)ck=(l—0)/(c),即/(c)=1.

因此/©=/⑴=1,由罗尔定理知存在&W(GD(U(0,1))，使得/《)=0.

(2)设b(x)=/(x)+x2,则有歹(0)=0,/(。)=1+。2,歹(1)=2；由拉格朗日中值定理可得：

存在〃e(0,c),使得尸(〃_F(C)-F(0)_C2+1

1i)=----------=——

c-0c

存在〃£(C,1),使得尸(〃_F(l)-F(c)

22)一寸C；

1-c

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对于函数F\x)，由拉格朗然中值定理同样可得,存在〃e(7，%(u(0,1))，使得

c2+l1

„F'(q)—F'(q)(c+l)-—l-r

F(哈=4==<0,

%-7i小-7i小Fi

即/'(〃)+2<0；结论得证.

WI”-1]

22.已知向量组(I)a=HLa=iola=i2,

123

4jL4J]/+3

niii「|。]rii

(II)P='11,P='2P='3若向量组(I)和向量组(II)等价,

123

a+31—a/+3

求a的取值，并将03用火，&2,。3线性表示・

【解析】令4=(a,a,a),5=(/?,/,/?),所以,A^l-a2,

123123

因向量组/与〃等价,故穴A)="5)=riA,B),对矩阵(A,5)作初等行变换.因为

1o11o

(1111

x12o2

(A,B)=102-1

a+31aoa1a

44a2+3A--X-

当a=l时，r(A)=r(B)=r(A,B)=2；当a=—1时，r(A)=r(B)=2,但r(A,b)=3；

当aw±l时，r(A)=r(B)=r(A,B)=3.综上，只需aw-1即可.

因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.

|00231故的等价方程

①当〃=1时，(a,a,a,/?)-01-1

12333112233

.00

11]—3—2%3,故/=(3-k)a+(-2+k)a+ka(左为任意常数);

组为

x=-2+x.3123

I23

②当时，力001)

10-1,所以夕—a—a+a.

12333123

0011

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-2121?