高中数学 第四章 三角函数与解三角形 解三角形的实际应用（题型战法）专项训练

第四章三角函数与解三角形

4.4.1解三角形的实际应用（题型战法）

知识梳理

一解三角形的最值问题

1.三角函数法：

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征一一有界性，这是求

解三角最值问题的最常用的方法。另外，在解三角形问题中，两大利器就是正弦定理和余弦

定理，它们两个的基本操作方法无非就是“角化边"或者'‘边化角"，将多元问题降元，转

变成一元问题，再结合三角函数的有界性即可求解出最值。

2.基本不等式法：

利用正弦定理或余弦定理，转化为二元问题，再利用基本不等式及其推论求解最值。

二组合图形问题

1.双-余弦定理

在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中边长比较多可以尝试在两个三

角形内分别使用余弦定理，再根据其中一组角的关系将两个等式联立解方程。

2.双-正弦定理

在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中角度比较多可以尝试在两个三

角形内分别使用正弦定理，再将两式相除，带入条件进行求解。

三中线、角平分线、垂线

1.中线：向量恒等式结论

2.角平分线：等面积法（大三角形面积等于两小三角形面积之和）、角分线定理

3.垂线：等面积法（同一三角形求两次面积相等）

四解三角形的实际应用

1.高度测量问题：仰角、俯角

2.距离测量问题：方位角、方向角

题型战法

题型战法一角、边的最值

典例1.在二43c中，内角AB,C对应的边分别为a,b,c,若。=";且8为钝角.

tanA

(1)求角A与角8的关系；

(2)求sinA+sinB的取值范围.

变式1-1.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且儿=/-c).

(1)若c=G，且A=。，求△ABC的面积；

⑵求cosA+sinC的最大值.

变式1-2.在,ABC中，角A,8,C的对边分别为。,b,c,_§./?=2acosAcosC+2ccos2A.

⑴求角A；

⑵若a=4,求c•-力的取值范围.

变式1-3.已知“力,c分别为ABC三个内角A8,C的对边，〃cosC=(2a-c)cos8.

⑴求B；

⑵若》=G,求c+2a的最大值.

变式1-4.在一ABC中，内角A、B、C的对边分别为。、b、c,fesin^—=asinB,

⑴求角A；

⑵若AB.AC=2,求。的最小值.

题型战法二周长的最值

典例2.在aABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,其面积为S,且

/?(a-/?+c)(sinA+sinB+sinC)=6S.

⑴求角8的大小；

(2)若8=7,求△ABC周长的取值范围.

变式2-1.已知A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若.(请

从①sin,A+sin。B-sin?C=sinAsinB;②2a=百csinA+acosC;③

(2sinA-sinB)a-2csinC+(sinA-2sinB)b这三个条件中任选一个填入上空)

⑴求角C;

⑵若c=6时，求.43C周长的最大值.

变式22在.ABC中，角A,3,C的对边分别为a,"c,其中〃=石，且

(a一sinC)cosB=sinBcosC.

⑴求角5的大小；

⑵求..ABC周长的取值范围.

sinA-sinC_b

变式2-3.在，MC中，角A,B,C的对边分别为a,b,

sinB-sinCa+c

⑴求角A的大小;

(2)若。=2,求.ABC周长的最大值.

变式2-4.在工MC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且满足

(/?+c)sinA-«sinC=\/3acosB.

(1)求B；

(2)若，ABC的面积为也，求ABC周长的最小值.

4

题型战法三面积的最值

典例3.在锐角/3C中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,并且

ab=\/3(Z?cosC+ccosB).

(1)求6的值;

⑵若A=1，求.A3C面积的取值范围.

变式3-1.在ABC中,已知向量次=(sinB+sinC,sin2A+sinBsinC),n=(sinB+sinC,-l),

旦mLn•

⑴求A;

⑵若BC=3,求.ABC面积的最大值.

变式3-2.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c-b=acosB-bcosA.

⑴求A;

(2)若°ABC是锐角三角形，且a=4,求一ABC面积的取值范围.

变式3-3.-43c的内角A,B,C的对边分别是。，h,c,^sinylcosB=sinB(2-cosA).

⑴若b+C=G“，求A;

(2)若a=2,求一AfiC的面积的最大值.

变式3-4.在①(a—c)sin(A+3)=(a-8)(sinA+sinfi)；@2S=^BABC；③

bc°sC=a-@csinB；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，

3

问题：在二ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且___________.

⑴求角B的大小；

(2)点。在84的延长线上，且A为8。的中点，线段CD的长度为2,求AABC的面

积的最大值.

题型战法四组合图形问题

典例4.如图，在一ABC中，B=p48=8,点。在边BC上，cosZADC=1,CD=

2.

⑴求的值;

(2)求空的值.

变式4-1.如图，在二ABC中，AB=2,OC=13cosA=M4，a5的垂直平分线交边AC于点

D.

A

(1)求AE＞的长;

(2)若A£>>AB,求sin/ACB的值.

3

变式42如图，在四边形AB8中，32/B,AD=2DC^,sinZB=-.

(1)求AC的长；

(2)若A43C的面积为6,求sin/CARsin/ACB的值.

变式4-3.如图，在锐角ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,已知

ccos/l+csinA-^-a-b=O

5

(1)求cosC的值;

7T

(2)在BC的延长线上有一点。，使得/D4C=?,AQ=10,求AC,CZ).

变式4-4.如图，直角lABC中，点M,N在斜边8C上(M,N异于B,C,且N在

JT

M,。之间)，A8=3,AC=364MAN=7,设ZBAM=6.

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⑴若2理，求MN的长;

⑵求,AMN面积的最小值.

题型战法五中线、角分线、垂线

典例5.己知在.ABC中，B=45°,AC=V10,cosC=y.

⑴求BC边的长；

(2)求43边上的中线的长.

变式5-1.锐角一ABC中，角A、8、C所对的边分别为“、b、c,且"^=tanB+tanC.

ccosn

⑴求角C的大小；

(2)若边c=2,边A3的中点为。，求中线C力长的取值范围.

变式5-2.在①即sin'十1②(a+2b)cosC+ccosA=0；③6asin"+'=csinA,

sinBsinAab2

这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在”ABC中，角A,B,C所

对的边分别为a,b,c,且—.

⑴求角C的大小；

⑵若c=4,求AB的中线8长度的最小值.

变式5-3.记ZiABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且也c=>/3acosB-asinB.

⑴求A的大小；

(2)若A的角平分线交BC于。，且AO=3,求AABC面积的最小值.

变式5-4.在AABC中，设内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且c=G.

(1)若4，b,c成等比数列，求证：8460。；

(2)若cos2A=-g(A为锐角)，sinC=g.求AAfiC中45边上的高儿

题型战法六解三角形的实际应用问题

典例6.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为15。的观礼台的某

一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60。和

30°,第一排和最后一排的距离为10直米(即图中线段以>),旗杆底部与第一排在

同一水平面上.

(1)求旗杆长度；

(2)若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗?

变式6-1.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某

学生选8,C两处作为测量点，测得BC的距离为50m,ZABC=45°,ZBCA=W5°,

在C处测得大楼楼顶。的仰角a为75.

⑴求力。两点间的距离；

(2)求大楼的高度.(第(2)问不计经纬仪的高度，计算结果精确到1m.参考数据:

友n1.414,当日.732,J6»2.449)

变式62已知村庄8在村庄A的东偏北45方向，且村庄AB之间的距离是4(6-1)

千米，村庄C在村庄A的北偏西75方向，且村庄C在村庄