1.6完全平方公式第1课时完全平方公式的认识课件2023-2024学年七年级数学 北师大版

1.6完全平方公式第1课时完全平方公式的认识七年级下

北师大版(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2×3m+9=m2+6m+9观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？新知学习(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)=22+2×3x+2×3x+9x2=4+2×2×3x+9x2

=4+12x+9x2.你发现了什么？前面的几个运算都是形如(a+b)2的多项式相乘.(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2再举两例验证你的发现．（1）（2x+y）2;（2）（3a–2b）2.（1）（2x+y）2

=(2x+y)(2x+y)=2x·2x+2x·y+y·2x+y·y

=4x2+4xy+y2（2）（3a–2b）2=(3a–2b)

(3a–2b)=3a·3a–3a·2b–2b·3a+2b·2b

=9a2–12ab+4b2探究议一议（a–b）2=？你是怎样做的？（a–b）2=（a–b）（a–b）=a2–2ab+b21（a–b）2=[a+（–b）]2=a2+2a（–b）+（–b）2=a2–2ab+b22归纳

对于形如(a±b)2的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2这就是说，两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.简记为：“首平方，尾平方，首尾2倍放中间”完全平方公式特征：1.积为二次三项式；2.积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；3.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗？baabbaba

图1图2思考几何解释:=+++a2ababb2(a+b)2=

.和的完全平方公式：baab图1a2+2ab+b2几何解释:(a-b)2=

.差的完全平方公式：baba=--a2ab图2b2+aba2-2ab+b2例1计算：(1)(2x+3y)2;解：(2x+3y)2

=(2x)2+2·2x·3y+(3y)2=4x2+12xy+9y2；(2)解：归纳在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关键是弄清题目中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b，同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的完全平方公式；应用完全平方公式计算时，应注意以下问题：思考(a+b)2与(-a-b)2相等吗?分析一：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2;分析二：(-a-b)2=[-(a+b)]2=(-1)2(a+b)2=(a+b)2分析一：(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2;(a-b)2与(b-a)2相等吗?分析二：(b-a)=-(a-b)∴(b-a)2=[-(a-b)]2=(-1)2(a-b)2=(a-b)2;1.若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，则a的值为(

)A．3B．±3C．6D．±6C随堂练习2.下列计算正确的是(

)A．(x＋y)2＝x2＋y2B．(x－y)2＝x2－2xy－y2C．(x＋1)(x－1)＝x2－1D．(x－1)2＝x2－1C3.运用完全平方公式计算：解:(4m+n)2=16m2+8mn+n2；(1)(4m+n)2；=(4m)2+2·(4m)·n+n2=y2-y+=y2+-2·y·(2).解：(3)(a+b+c)2解：(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.4.已知x+y=8,x-y=4,求xy.解：∵x+y=8，

∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①;∵x-y=4，

∴(x-y)2=16，即x2+y2-2xy=16②;由①-②，得4xy=48，∴xy=12.5.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图),此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律，例如：(a+b)0=1;(a+b)¹=a+b;(a+b)²=a²+2ab+b²;(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³;(a+b)4=a4+4a³b+6a²b²+4ab³+b4;请你猜想(a+b)9的展开式中所有系数的和是________.

1

1

11211331...512解法提示：(a+b)0=1,系数为1,20=1.(a+b)¹=a+b,系数和为2,21=2.(a+b)²=a²+2ab+b²,系数和为4,2²=4.(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³,系数和为8,2³=8.(a+b)9展开式的系数和为：29=512.

在某市中学生运动会开幕式上，有两个学校要进行方阵变换表演，其中育才中学有两个方阵，分别为a行a列的男生方阵和b行b列的女生方阵，实验中学只有一个(a+b)行(a+b)列的学生方阵.(1)育才中学的男生方阵有多少人？女生方阵有多少人？一共有多少人？a行a列b行b列育才中学男生女生实验中学(a+b)行(a+b)列男生方阵有:a·a=a²人；女生方阵有:b·b=b²人；一共有(a²+b²)人.做一做

在某市中学生运动会开幕式上，有两个学校要进行方阵变换表演，其中育才中学有两个方阵，分别为a行a列的男生方阵和b行b列的女生方阵，实验中学只有一个(a+b)行(a+b)列的学生方阵.(2)实验中学的学生方阵有多少人？a行a列b行b列育才中学男生女生实验中学(a+b)行(a+b)列实验中学的学生方阵有(a+b)²人.做一做

在某市中学生运动会开幕式上，有两个学校要进行方阵变换表演，其中育才中学有两个方阵，分别为a行a列的男生方阵和b行b列的女生方阵，实验中学只有一个(a+b)行(a+b)列的学生方阵.(3)育才中学和实验中学参加方阵表演的人数哪个多？多多少？为什么？a行a列b行b列育才中学男生女生实验中学(a+b)行(a+b)列(a+b)²-(a²+b²)=a²+2ab+b²-a²-b²=2ab＞0所以实验中学人数多，多2ab人.做一做思考怎样计算1022和1972更简便呢？(1)1022；解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)1972.=38809.1972=(200–3)2=40000–1200+9分析：102=100+2可以改写成(100+2)2，197=200-3可以改写成(200-3)2，再利用完全平方式进行求解.

完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2或者(a−b)2

的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．改写成(a+b)2改写成(a-b)2想一想下列式子你是怎样计算的呢？(1)(m+n+1)(m+n

1)(2)(

m+n

1)(m+n

1)=[(m+n)+1][(m+n)

1]=[(n

1)

m][(n

1)+m]=(m+n)2

12

=(n

1)2

m2可通过添括号变形成平方差公式的形式，将其中某一部分看作一项，再利用平方差公式和完全平方公式求解.=m2+2mn+n2

1=n2

2n

m2+1看作一项看作一项典型例题

例2

计算：(1)(x+3)2-x2；

(2)(a+b+3)(a+b-3)；

(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)．

分析：(1)直接利用完全平方公式求解即可.解：(1)原式=(x+3)2-x2=6x+9=x2+6x+9－x2

典型例题

例2

计算：分析：(2)把a+b看作整体(一项)，再利用平方差公式求解即可.解：(2)原式=[(a+b)+3][(a+b)-3]

=(a+b)2-32

=a2+2ab+b2－9.a+b看作整体.(1)(x+3)2-x2；

(2)(a+b+3)(a+b-3)；

(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)．

典型例题

例2

计算：分析：(3)直接利用完全平方公式和多项式乘法展开，再去括号合并同类项即可.解：(3)原式=x2+10x+25-(x2-5x+6)

=x2+10x+25-x2+5x-6=15x+19去括号记得变号.(1)(x+3)2-x2；

(2)(a+b+3)(a+b-3)；

(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)．

典型例题

例3已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a-b)2的值.分析：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，

所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；(a-b)2＝a2＋b2-2ab＝13-2×6＝1.归纳常见的完全平方公式的变形完全平方公式变形(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab

②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)(a－b)2＝a2－2ab＋b2①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab

②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab做一做一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们.如果来1个孩子，老人就给这个孩子1块糖果；如果来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果；如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果……假如第一天有a个孩子一起去看老人.第二天有b个孩子一起去看老人，第三天有(a+b)个孩子一起去看老人，那么第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗？请你用所学的公式解释自己的结论.第一天给出的糖果数：a²块；第二天给出的糖果数：b²块；第三天给出的糖果数：(a+b)²块.(a＋b)2－(a2＋b2)＝2ab所以第三天老人给出去的糖果比前两天给出去的糖果总数多2ab块.1.将9.52变形正确的是(

)A.9.52=92+0.52B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)C.9.52=102-2×10×0.5+0.52D.9.52=92+9×0.5+0.52C随堂练习随堂练习

2.利用整式乘法公式计算：(1)96²；

(2)

(a-b-3)(a-b+3)解：(1)原式=(100-4)2=10000-800+16=9216.=1002-2×100×4+42(2)原式=[(a-b)-3][(a-b)+3]

=(a-b)2-32

=a2-2ab+b2-9.随堂练习3.一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形边长为5cm，如果它的高不变，底面正方形边长增加了acm，那么它的体积增加了多少？解：依题意得：(a+5)2×