新教材高中数学人教A版学案1-3第1课时并集交集

1.3集合的基本运算第1课时并集、交集[目标]1.理解两个集合的并集和交集的定义，明确数学中的“或”“且”的含义；2.能借助于Venn图或数轴求两个集合的交集和并集，培养学生直观想象和数学运算两大核心素养；3.能利用交集、并集的性质解决有关参数问题，培养学生逻辑推理的核心素养．[重点]两集合并集、交集的概念及运算．[难点]两个集合并集、交集运算的应用及数形结合思想的渗透．知识点一并集[填一填]1．并集的定义文字语言表述为：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B，读作A并B.符号语言表示为：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分．2．并集的运算性质(1)A∪B＝B∪A；(2)A∪A＝A；(3)A∪∅＝A；(4)A∪B⊇A，A∪B⊇B；(5)A⊆B⇔A∪B＝B.[答一答]1．“或”的数学内涵是什么？提示：“x∈A，或x∈B”包括了三种情况：①x∈A，但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A，且x∈B.2．A∪B的元素等于A的元素的个数与B的元素的个数的和吗？提示：不一定，用Venn图表示A∪B如下：当A与B有相同的元素时，根据集合元素的互异性，重复的元素在并集中只能出现一次，如上图②③④中，A∪B的元素个数都小于A与B的元素个数的和．知识点二交集[填一填]1．交集的定义文字语言表述为：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作A交B.符号语言表示为：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．图形语言(韦恩图)表示为如图所示的阴影部分．2．交集的运算性质对于任何集合A，B，有(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩A＝A；(3)A∩∅＝∅；(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B；(5)A⊆B⇔A∩B＝A.[答一答]3．如何理解交集定义中“所有”两字的含义？提示：①A∩B中的任意一个元素都是A与B的公共元素；②A与B的所有公共元素都属于A∩B；③当集合A与B没有公共元素时，A∩B＝∅.4．当集合A与B没有公共元素时，A与B就没有交集吗？提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合的交集仍存在，即此时A∩B＝∅.5．若A∩B＝A，则A与B有什么关系？A∪B＝A呢？提示：若A∩B＝A，则A⊆B；若A∪B＝A，则B⊆A.类型一集合的并集运算[例1](1)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}[解析](1)集合M，N都是以列举法的形式给出的，根据并集的定义，可得M∪N＝{－1,0,1,2}．(2)将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示．可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．[答案](1)B(2)A当求两个集合的并集时，对于用描述法给出的集合，首先明确集合中的元素，其次将两个集合化为最简形式；对于连续的数集常借助于数轴写出结果，此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集，此时要注意端点处是实心点还是空心点；对于用列举法给出的集合，则依据并集的含义，可直接观察或借助于Venn图写出结果，但要注意集合中元素的互异性.[变式训练1](1)满足条件{1,3}∪B＝{1,3,5}的所有集合B的个数是(D)A．1B．2C．3D．4解析：由条件{1,3}∪B＝{1,3,5}，根据并集的定义可知5∈B，而1,3是否在集合B中不确定．所以B可能为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故B的个数为4.(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1，或x>a，a≥4}，求A∪B.解：∵A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>a，a≥4}，如图所示．故A∪B＝{x|x≤3，或x>a，a≥4}．类型二集合的交集运算[例2](1)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|eq\r(x)≤4，x∈Z}，则A∩B＝()A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x≤2}C．{0,2} D．{0,1,2}(2)若集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅[分析]化简A、B，然后利用交集的定义或数轴进行运算．[解析](1)∵|x|≤2，∴－2≤x≤2，即A＝{x|－2≤x≤2}．∵eq\r(x)≤4.∴0≤x≤16.又∵x∈Z，∴B＝{0,1,2,3，…，16}，∴A∩B＝{0,1,2}．(2)∵A＝{x|－1≤x≤1}，又B＝{x|x≥0}，所以A∩B＝{x|－1≤x≤1}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x≤1}．[答案](1)D(2)C1.求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果.2.在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰.此时数轴上方“双线”即公共部分下面的实数组成了交集.[变式训练2](1)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝(C)A．{2,1} B．{x＝2，y＝1}C．{(2,1)} D．(2,1)(2)若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈N}，B＝{x|x≤2，x∈N}，则A∩B＝(D)A．{3} B．{x|1≤x≤2}C．{2,3} D．{1,2}解析：(1)(2)由题意，知A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，结合如图所示的Venn图可得A∩B＝{1,2}，故选D.类型三并集、交集的综合运算命题视角1：与参数有关的交集、并集问题[例3]已知集合A＝{x|0<x≤2}，B＝{x|x≥a，a>0}，求A∪B，A∩B.[解](1)当0<a<2时，如图(1)所示．所以A∪B＝{x|x>0}，A∩B＝{x|a≤x≤2}．(2)当a＝2时，如图(2)所示．所以A∪B＝{x|x>0}，A∩B＝{2}．(3)当a>2时，如图(3)所示．所以A∪B＝{x|0<x≤2或x≥a}，A∩B＝∅.含参数的集合进行并集与交集的基本运算时，要注意参数的不同取值对相关集合的影响，此类问题应根据参数的不同取值进行分类讨论.如该题中，应依据a与2的大小关系分为三类.若无a>0的限制条件，则应根据a与0，2的大小分为五类.[变式训练3]设集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，求实数a，b，c的值．解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈A，且－3∈B，将－3代入方程x2＋ax－12＝0得a＝－1，∴A＝{－3,4}，又A∪B＝{－3,4}，A≠B，∴B＝{－3}．∵B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，∴(－3)＋(－3)＝－b，(－3)×(－3)＝c，解得b＝6，c＝9，则a＝－1，b＝6，c＝9.命题视角2：并集、交集的性质运用[例4]设集合A＝{－2}，B＝{x∈R|ax2＋x＋1＝0，a∈R}．若A∩B＝B，求a的取值范围．[解]由A∩B＝B，得B⊆A，因为A＝{－2}≠∅.所以B＝∅或B≠∅.(1)当B＝∅时，方程ax2＋x＋1＝0无实数解，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ<0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,1－4a<0，))解得a>eq\f(1,4).(2)当B≠∅时，①当a＝0时，方程变为x＋1＝0，即x＝－1.所以B＝{－1}，此时A∩B＝∅，所以a≠0.②当a≠0时，依题意知方程ax2＋x＋1＝0有相等实根，即Δ＝0，所以1－4a＝0，解得a＝eq\f(1,4).此时方程变为eq\f(1,4)x2＋x＋1＝0，其解为x＝－2，满足条件．综上可得a≥eq\f(1,4).求解“A∩B＝B或A∪B＝B”类问题的思路：利用“A∩B＝B⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B”转化为集合的包含关系问题.当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视，从而引发解题失误.[变式训练4]已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，且A∪B＝A，求实数m的取值范围．解：∵A∪B＝A，∴B⊆A.∵A＝{x|0≤x≤4}≠∅，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，有m＋1>1－m，解得m>0.当B≠∅时，用数轴表示集合A和B，如图所示．∵B⊆A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤1－m，,0≤m＋1，,1－m≤4，))解得－1≤m≤0.检验知m＝－1，m＝0符合题意．综上所得，实数m的取值范围是m>0或－1≤m≤0，即m≥－1.1．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则A∪B＝(B)A．{1,6,5,6,8} B．{1,5,6,8}C．{6} D．{1,5,8}解析：求两集合的并集时，要注意集合中元素的互异性．2．设S＝{x|2x＋1>0}，T＝{x|3x－5<0}，则S∩T＝(D)A．∅B．{x|x<－eq\f(1,2)}C．{x|x>eq\f(5,3)}D．{x|－eq\f(1,2)<x<eq\f(5,3)}解析：S＝{x|2x＋1>0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2)))))，T＝{x|3x－5<0}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<\f(5,3)))))，则S∩T＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(5,3))))).3．若集合A＝{1,2}，B＝{1,2,4}，C＝{1,4,6}，则(A∩B)∪C＝(D)A．{1} B．{1,4,6}C．{2,4,6} D．{1,2,4,6}解析：由集合A＝{1,2}，B＝{1,2,4}，得集合A∩B＝{1,2}．又由C＝{1,4,6}，得(A∩B)∪C＝{1,2,4,6}．故选D.4．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)))，B＝{y|y＝x2，x∈A}，A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)，4，\f(1,4))).解析：∵B＝{y|y＝x2，x∈A}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，4，\f(1,4)))，∴A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)，4，\f(1,4))).5．已知A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，求x的值及集合B.解：∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴x2＝4或x2＝x.解得x＝±2或x＝0或x＝1.经检验知，x＝1与集合元素的互异性矛盾，应舍去．∴x＝±2或x＝0，故B＝{1,4}或B＝{1,0}．——本课须掌握的两大问题1．对并集、交集概念的理解：(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，