《余角和补角（1）》名师教案

1/14.3角第三课时(张祖全)余角和补角（一）一、教学目标（一）学习目标1.掌握余角、补角的定义；2.掌握余角、补角的性质及应用.（二）学习重点余角、补角的性质及应用.（三）学习难点余角、补角的性质及应用.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．（2）同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.预习自测（1）已知∠A=65°，则∠A的补角等于_______度，余角等于________度.【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：∠A的补角等于；余角等于.【思路点拨】由余角、补角的定义解答.【答案】（2）的余角与补角之间有何数量关系？【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：的余角+90度=的补角.【思路点拨】由余角、补角的定义知，它们相差90度.【答案】的余角+90度=的补角.（3）如图所示，∠ACB=90°，∠1=∠B，∠2=∠A．则下列说法错误的是()A.∠A和∠B不是互为余角；B.∠1和∠2是互为余角；C.∠2与∠B是互为余角；D.∠1与∠A是互为余角.【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：因为∠ACB=90°，∠1=∠B，∠2=∠A．所以∠1+∠2=90°,∠B+∠2=90°∠1+∠A=90°故A错误.【思路点拨】两个角的和为90度，这两个角互余.【答案】A.（4）下列语句正确的有：（填序号）①两条射线组成的图形叫做角；②直线是一个平角；③若∠AOB=2∠BOC，则射线OC是∠AOB的平分线；④∠AOB和∠BOA是同一个角；⑤若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互余.【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故①错误；直线没有顶点，故②错误；若∠AOB=2∠BOC，没有说射线OC在∠AOB的内部，故③错误；④∠AOB和∠BOA是同一个角，正确；⑤若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互余，错误，因为互余针对两个角而言.【思路点拨】根据定义解答.【答案】④(二)课堂设计1.知识回顾（1）叙述直角、平角的概念.（2）画出直角、平角的图形.2.问题探究探究一探究互为余角、互为补角★●活动①学生自主学习137页.师问：什么叫互为余角？什么叫互为补角？学生举手抢答.师问：若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互余，这种说法对吗？为什么？学生举手抢答.总结：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．互余、互补针对两个角而言，只与数量有关，与位置无关.【设计意图】通过问题解答，要求学生正确理解互余、互补的概念.强调互余、互补针对两个角而言，只与数量有关，与位置无关.探究二探究余角、补角的性质★▲●活动①师问：若∠2，∠3都是∠1的余角，问∠2与∠3的大小有何关系？学生举手抢答.师问：若∠1，∠2都是和的余角，且，问∠1与∠2的大小有何关系？学生举手抢答.师问：将上述问题的“余角”换为“补角”，结论又如何？学生举手抢答.教学活动：上述问题要求学生口述推理过程，教师再板书推理过程并归纳结论.总结：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.【设计意图】通过问题的探讨，师生交流，让学生掌握余角、补角的性质.●活动②反思过程，发现规律师问：你能完成下列推理填空吗？填空：（1），（依据是同角的补角相等）（2），而，（依据是等角的补角相等）学生举手抢答.总结：通过填空，分清什么情况下用同角的补角相等，什么情况下用等角的补角相等，并理解用符号语言表示性质的内容.【设计意图】该问题的设计，目的是让学生用符号语言进一步熟悉余角、补角的性质，为以后的几何推理打基础.探究三运用知识解决问题★▲●活动①例1.点A、O、B在一直线上，射线OD、OE分别平分.图中互余的角有_______对；的补角是___________.【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：(1)由已知，，且，所以互余的角有：与，与，与，与共4对；(2)的补角是.【思路点拨】余角、补角定义及性质应用解答.【答案】（1）4；（2）.练习：如图是一张不规则的纸，先任意折叠，得折痕OC，展开后，通过点O折叠使OA落在OC上，得折痕OD，同样将OB落在OC上得折痕OE，沿着这三条折痕剪开，得到四个角，用其中的两个角拼成一个直角，共有不同的拼法是()1种B．2种C．3种D．4种【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：由已知，，且，所以互余的角有：与，与，与，与共4对；【思路点拨】由互为余角的定义求解.【答案】D.【设计意图】在几何图形中，观察发现互余、互补关系的角，对于复杂图形中的角，常通过相等的角去找余角或补角.●活动2例2.一个角的补角与这个角的余角的和是平角的还多1°，求这个角．【知识点】补角和余角.【数学思想】方程思想.【解题过程】解：设这个角为x°，则它的余角为，补角为，则，解得x=67．答：这个角为67°.【思路点拨】首先根据余角与补角的定义，设这个角为，则它的余角为，补角为，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．【答案】67°.练习：一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，则这个角的度数是．【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：设这个角是．根据题意，得，．故答案为60°．【思路点拨】设这个角是，则它的补角是，余角是．根据一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的列方程即可求解．【答案】60°．【设计意图】此类问题考查余角、补角的定义、表示方法及性质，通过设未知数建立方程求解较简单.●活动3例3将一副三角尺按不同位置摆放（如图），与互余的摆法是；与互补的摆法是；与相等的摆法是．【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：①根据两个直角的位置得：=；②根据三角尺的特点和摆放位置得：+45°=180°，+45°=180°，∴=；③根据平角的定义得：+90°+=180°，∴+=90°，即与互余；④根据图形可知与是邻补角，∴+=180°；综上所述：与互余的摆法是③；与互补的摆法是④；与相等的摆法是①②．故答案为：③；④；①②．【思路点拨】通过三角板拼余角、补角，解决此类问题，一定要充分应用三角板中的特殊角（90度，30度，60度，45度等），结合摆放位置，容易得出和的关系．【答案】③；④；①②．练习：如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠BOC=35°，则∠AOD=°．【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=35°，∴∠BOD=∠COD﹣∠BOC=90°﹣35°=55°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+55°=145°．故答案为：145．【思路点拨】由△AOB与△COD为直角三角形得到∠AOB=∠COD=90°，则∠BOD=∠COD﹣∠BOC=90°﹣35°=55°，然后利用角与角之间的和差关系即可得到∠AOD的度数．【答案】145．【设计意图】通过拼凑三角板，掌握常见的图形度数，进一步理解余角补角的概念及性质应用.3.课堂总结知识梳理（1）了解余角、补角的定义；（2）掌握余角、补角的性质及应用.重难点归纳（1）余角、补角的定义；（2）余角、补角的性质及应用.（三）课后作业基础型自主突破1.如图，∠1的余角可能是()【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：观察图形，图形C满足条件.【思路点拨】根据定义，由两个角的和为90度判断.【答案】C.2.下列说法中正确的是（）A.一个锐角的余角比这个角的补角小B.如果一个角有补角，那么这个角必是钝角C.若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1、∠2、∠3互为补角D.如果和互为余角，与互为余角，那么与也互为余角.【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：一个锐角的余角比这个角的补角小，A正确；锐角、直角、钝角都有补角，故B错误；互补针对两个角，故C错误；如果和互为余角，与互为余角，那么与相等，故D错误.【思路点拨】由余角、补角的定义和性质解答.【答案】A.3．两个角，它们的比是6∶4，其差为36°，则这两个角的关系为_________【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：设角为,,则,，所以,，因为108°+72°=180°，故两个角互补.【思路点拨】通过设未知数，解方程得到具体度数求解.【答案】互补4．若∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1与∠3的关系是（）A.互余B.互补C.相等D.∠1＝90°＋∠3【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，根据同角的余角相等，故选C.【思路点拨】由余角性质解答.【答案】C.5.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，求这个角．【知识点】补角和余角.【数学思想】方程思想.【解题过程】解：设这个角为，则它的余角为，补角为，根据题意，得，解得，答：这个角为40度．【思路点拨】先设出这个角，可表示出其补角和余角，根据题意我们可列出等式，解这个等式即可得出这个角的度数．【答案】这个角为40度．6.如图是直线AB上一点，OE平分∠AOB，∠COD=90°．则图中互余的角有对，互补的角有对．【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：∵OE平分∠AOB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴互余的角有∠AOC和∠COE，∠AOC和∠BOD，∠COE和∠DOE，∠DOE和∠BOD共4对，互补的角有∠AOC和∠BOC，∠DOE和∠BOC，∠COE和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠AOE和∠BOE，∠AOE和∠COD，∠COD和∠BOE共7对．故答案为4；7．【思路点拨】根据余角和补角的定义找出互余和互补的角即可得解．从图中确定余角和补角时要注意按照一定的顺序，找补角时，三个直角就可以有三对补角，这也是本题容易出错的地方．【答案】4；7．能力型师生共研1.如图，∠BOD=90°，∠COE=90°，解答下列问题：（1）图中有哪些小于平角的角？用适当的方法表示出它们．（2）比较∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB的大小，并指出其中的锐角、钝角、直角、平角．（3）找出图中所有相等的角．【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：（1）图中小于平角的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB；（2)由图可知，∠AOC＜∠AOD＜∠AOE＜∠AOB，其中∠AOC为锐角，∠AOD为直角，∠AOE为钝角，∠AOB为平角；(3)∠AOC=∠DOE，∠COD=∠BOE，∠AOD=∠BOD=∠COE．【思路点拨】根据题中所给条件，结合图形：（1）找出图中锐角、直角、钝角即可；（2）直接比较，并且分类即可；（3）利用直角都相等，等角的余角相等列出即可．【答案】（1）图中小于平角的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB；（2）由图可知，∠AOC＜∠AOD＜∠AOE＜∠AOB，其中∠AOC为锐角，∠AOD为直角，∠AOE为钝角，∠AOB为平角；(3)∠AOC=∠DOE，∠COD=∠BOE，∠AOD=∠BOD=∠COE．2.如图，已知∠AOB=90°，OC平分∠AOB，∠BOD=27°．（1）写出图中所有互为余角的角；（2）求∠AOD+∠COD的度数．【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：（1）∠AOC和∠BOC；∠AOD和∠BOD；（2）∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣27°=63°，∵OC是∠AOB的角平分线，∴，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=45°﹣27°=18°，∴∠AOD+∠COD=63°+18°=81°．【思路点拨】（1）根据余角的定义即可解答；（2）首先求得∠AOD的度数，然后根据角平分线的定义求得∠BOC的度数，进而求得∠COD的度数，从而求解．【答案】（1）∠AOC和∠BOC；∠AOD和∠BOD；（2）81°．探究型多维突破1.观察、探究与思考．根据图，求解下列问题：（1）比较∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角．（2）写出∠AOB、∠AOC、∠BOC、∠AOE中某些角之间的两个等量关系．【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：（1）根据图形可得：∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE；锐角的是∠AOB，直角的是∠AOC，钝角的是∠AOD，平角的是∠AOE；（2）根据图形可得：∠AOB=∠AOC﹣∠BOC；∠AOB+∠BOC+∠AOC=∠AOE；【思路点拨】（1）根据一个角在另一个角的内部，则这个角小于另一个角，如图所示：∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE，再根据锐角、直角、钝角、平角的定义，即可得出答案；（2）由图形可得∠AOB=∠AOC﹣∠BOC，∠AOB+∠BOC+∠AOC=∠AOE．【答案】（1）根据图形可得：∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE；锐角的是∠AOB，直角的是∠AOC，钝角的是∠AOD，平角的是∠AOE；（2）根据图形可得：∠AOB=∠AOC﹣∠BOC；∠AOB+∠BOC+∠AOC=∠AOE；2.如图①所示，∠AOB，∠COD都是直角．（1）试猜想∠AOD与∠COB在数量上是相等、互余还是互补的关系．你能用推理的方法说明你的猜想是合理的吗？（2）当∠COD绕着点O旋转到图②的位置时，你原来的猜想还成立吗？为什么？【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：（1）∠AOD与∠COB互补．理由如下：∵∠AOB、∠COD都是直角，∴∠AOB=∠COD=90°，∴∠BOD=∠AOD﹣∠AOB=∠AOD﹣90°，∠BOD=∠COD﹣∠COB=90°﹣∠COB，∴∠AOD﹣90°=90°﹣∠COB，∴∠AOD+∠COB=180°，∴∠AOD与∠COB互补；（2）成立．理由如下：∵∠AOB、∠COD都是直角，∴∠AOB=∠COD=90°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，∴∠AOD+∠COB=180°，∴∠AOD与∠COB互补．【思路点拨】（1）根据直角的定义可得∠AOB=∠COD=90°，然后用∠AOD和∠COB表示出∠BOD，列出方程整理即可得解；（2）根据周角等于360°列式整理即可得解．【答案】（1）∠AOD与∠COB互补．（2）成立．自助餐1.已知是锐角，与互补，与互余，则－的值等于（）A.45°B.60°C.90°D.180°【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：根据余角、补角定义，，故选C.【思路点拨】同角的余角与补角的关系判断.【答案】C.2.如图，点A、O、B在同一条直线上，∠AOC=∠BOC=90°，∠1=∠2，则图中互余的角共有（）A.2对 B.3对 C.4对 D.5对【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：∵∠AOC=∠BOC=90°，∴∠1+∠AOE=90°，∠2+∠FOC=90°，∵∠1=∠2，∴∠FOC=∠AOE，∴∠1+∠COF=90°，∠2+∠AOE=90°，即图中互余的角共有4对，故选C．【思路点拨】由∠AOC=∠BOC=90°，推出∠1+∠AOE=90°，∠2+∠FOC=90°，求出∠FOC=∠AOE，推出∠1+∠COF=90°，∠2+∠AOE=90°，根据余角的定义得出即可．【答案】C．3.如图，AB为直线，∠AOC=∠DOE=90°，则图中互补的角是________．【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：因为∠AOC=∠DOE=90°，所以∠AOD=∠COE,∠COD=∠BOE,图中互补的角有：∠AOC与∠COB,∠AOC与∠DOE,∠COB与∠DOE,∠AOD与∠BOD,∠COE与∠BOD,∠BOE与∠AOE,∠COD与∠AOE.【思路点拨】根据两个角的和为判断.【答案】∠AOC与∠COB,∠AOC与∠DOE,∠COB与∠DOE,∠AOD与∠BOD,∠COE与∠BOD,∠BOE与∠AOE,∠COD与∠AOE.将一长方形纸片，按图中的方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后点E′刚好落在A′B上，则∠CBD的度数为____________【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：根据折叠的性质可知：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∠CBD=∠CBA′+∠E′BD，∴2∠CBD=180°，∴∠CBD=90°．【思路点拨】由折叠的性质可知，∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，根据平角=180°结合∠CBD=∠CBA′+∠E′BD，即可得出2∠CBD=180°，进而即可得出∠CBD=90°，此题得解．【答案】∠CBD=90°．5.如图，将两副直角三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．（1）找出图中一组相等的锐角．并说明理由．（2）求∠AOB+∠DOC的值．【知识点】补角和余角.【数学思想】【解题过程】解：（1）∠AOD=∠C