课后培优练：8.4 三元一次方程组的解法（解析版）

姓名：班级8.4三元一次方程组的解法全卷共24题，满分：100分，时间：60分钟一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021·全国·八年级专题练习）下列方程组中是三元一次方程组的是（

）．A．B．C．D．【答案】D【分析】三元一次方程组中共含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，每个方程都是整式方程，由此进行判断即可．【详解】解：A、a的最高次数是2，选项错误；B、x、y、z的最高次数都是2，选项错误；C、每个方程都是分式方程，选项错误；D、符合题意，选项正确．故选：D【点睛】本题考查三元一次方程组的识别，牢记定义是解题的切入点．2．（2022·江苏·七年级专题练习）解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（

）A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x【答案】B【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案．【详解】解：由②3+③得：11x+10z=35，∴转化为二元一次方程组为，故选：B．【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．3．（2022·江苏·七年级专题练习）已知方程组，则的值是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】三个方程相加即可得到的值．【详解】解：方程组，三个方程相加得：，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查三元一次方程组的解，解得关键是明确解三元一次方程组的解答方法．4．（2021·福建泉州·七年级期中）三元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将①+②+③，得，再利用加减消元法求出方程组的解即可．【详解】解：①+②+③，得：，即④，把①代入④，得：，把②代入④，得：，把③代入④，得：，所以原方程组的解为．故选：A．【点睛】本题考查了三元一次方程组，利用加减消元的思想是解题的关键．5．（2022·江苏·七年级专题练习）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（

）A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元【答案】B【分析】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，根据“购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元”建立三元一次方程组，然后将两个方程联立，即可求得的值．【详解】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，根据题意得：，②–①可得：．故选：B．【点睛】本题考查三元一次方程组的实际应用，解题关键是根据两个等量关系列出方程组，而利用整体思想，把所给两个等式整理为只含的等式．6．（2021·全国·七年级课时练习）一个三位数各位数字的和是14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，若把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则这个三位数是（

）A．635 B．653 C．563 D．536【答案】A【分析】设个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，则原来的三位数为：100z+10y+x，新数表示为：100y+10z+x，根据题意列三元一次方程组求解即可．【详解】解：设个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，由题意得：，解得：，∴原三位数为：635．故选：A．【点睛】本题考查了数字问题在三元一次方程组中的应用，正确理解题意、列出相应的三元一次方程组是解题的关键．7．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期末）已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（

）A．k B．k C．k D．k【答案】A【分析】根据得出，，然后代入中即可求解．【详解】解：，①+②得，∴③，①﹣③得：，②﹣③得：，∵，∴，解得：．故选：A．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，根据题意得出的代数式是解题的关键．8．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，已知两个天平都处于平衡状态，那么四个小球的重量等同于小正方体的个数为（）A．15个 B．14个 C．13个 D．12个【答案】A【分析】设一个小球的重量为x，一个小正方体的重量为y，一个小圆柱的的重量为z，根据题意列出方程组即可求得结果．【详解】解：设一个小球的重量为x，一个小正方体的重量为y，一个小圆柱的的重量为z，则根据题意得：，整理得：，∴，即4个小球的重量等于15个小正方体的重量，故选：A．【点睛】本题主要考查三元一次方程的应用，根据题意列出方程，找到等量关系代还是解题的关键．9．（2021·全国·八年级专题练习）一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】设这对夫妇的年龄的和为x，子女现在的年龄和为y，这对夫妇共有z个子女；根据本题中的三个等量关系为：此夫妇现在的年龄和=6×其子女现在的年龄和；此夫妇两年前的年龄和=10×其子女两年前的年龄和；此夫妇6年后的年龄和=3×其子女6年后的年龄和．可列出方程组，解方程组即可．【详解】设现在这对夫妇的年龄和为x岁，子女现在的年龄和为y岁，这对夫妇共有z个子女，则，解得这对夫妇共有3个子女．故选C．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组并解方程组是解题的关键．10．（2022·江苏·七年级专题练习）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（

）A．12种 B．14种 C．15种 D．16种【答案】B【分析】设A种买x个，B种买y个，C中买z个，据题意列三元一次方程，找出这三元一次方程的正整数解的个数就是购买方案的种类数．【详解】解：设A种买x个，B种买y个，C中买z个，依题意得，得，由于x、y、z只取正整数，所以需使被2整除且为正数，且，当，，，8种，当，，，6种，∴的正整数解有14组．，所以购买方案共有14种．故选：B．【点睛】本题考查三元一次方程的应用，会求解三元一次方程的正整数解是关键．二、填空题（每题3分，共24分）11．（2021·内蒙古赤峰·七年级期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，14，16．当接收方收到密文9，9，24，28时，则解密得到的明文为__．【答案】5，2，5，7【分析】设解密得到的明文为，，，，加密规则得出方程组，求出，，，的值即可．【详解】解：设明文为，，，，由题意得：，解得：，则得到的明文为5，2，5，7．故答案为：5，2，5，7．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．12．（2022·江苏·七年级专题练习）把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组_______．【答案】【分析】利用加减消元法消掉未知数化成关于x、y的二元一次方程组．【详解】解：，①②得：，②③得：，方程组为：，故答案为：．【点睛】本题考查了三元一次方程组、二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法．13．（2021·山东烟台·七年级期中）在代数式中，当，1，2时，代数式的值依次是4，2，4，则当时，代数式的值等于______．【答案】8【分析】根据题意得出方程组，解方程组即可．【详解】解：由题意得，②﹣①得2b＝﹣2，解得：b＝﹣1，③﹣①得3a+3b＝0，即：a+b＝0，把b＝﹣1代入a+b＝0，得：a＝1，把a＝1，b＝﹣1代入①得：c＝2，∴ax2+bx+c＝x2﹣x+2，当x＝﹣2时，x2﹣x+2＝（﹣2）2﹣（﹣2）+2＝4+2+2＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握用加减法解方程组的方法是解题的关键．14．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）方程组的解是______________．【答案】【分析】将三元降为二元，再将二元降为一元求解即可．【详解】∵∴①＋②得x+z=3④，③-④得，4z=4，解得z=1，把z=1代入④，得x=2，把z=1代入③，得y=-1，∴原方程组的解为，故答案为：．【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练运用消元法求解是解题的关键．15．（2021·广东阳江·七年级期末）如图，每条边上的三个数之和都等于16，么a，b，c这三个数按顺序分别为________．【答案】5，6，4【分析】根据题意可列方程组，应用解三元一次方程组的解法进行求解即可得出答案．【详解】解：根据题意可得，，①﹣②得，a﹣c＝1④，④+③得，a＝5，解得，a，b，c这三个数按顺序分别为5，6，4．故答案为：5，6，4．【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解，根据题意列出方程组及熟练应用三元一次方程组的解法进行求解是解决本题的关键．16．（2021·福建南平·二模）《孙子算经》上有一著名问题就是“物不知数问题”．原文是这么说的：“有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二．问物几何？”把这个问题翻译为：一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，求这个数？请你写出符合条件的一个数是_______________．【答案】23【分析】设x=3m+2=5n+3=7b+2，可得，可知5n+1是21的倍数，可求n=4时m=7，b=3即可【详解】解:设x=3m+2=5n+3=7b+2∴∴5n+1是21的倍数∴n=4时m=7，b=3这个数是x=23．故答案为：23．【点睛】本题考查带余除法，用字母表示数，三元一次方程组，掌握三元一次方程组，用含字母表示的代数式是解题关键．17．（2022·重庆黔江·九年级期末）在2022新春佳节即将来临之际，某商家拟推出收费定制个性新春礼品，礼品主要包含三种：对联、门神和红包，如果定制对联副、门神副、红包个，需付人民币元；如果定制对联副、门神副、红包个，需付人民币元；某人想定制副对联、副门神、个红包共需付人民币_______元．【答案】41【分析】设定制1副对联需要元，1副门神需要元，1个红包需要元，根据“如果定制对联3副、门神2副、红包5个，需付人民币31.5元；如果定制对联2副、门神1副、红包1个，需付人民币22元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，利用①②，即可求出定制4副对联、3副门神、9个红包所需费用．【详解】解：设定制1副对联需要元，1副门神需要元，1个红包需要元，依题意得：，①②得：．故答案为：41．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出三元一次方程组．18．（2021·浙江台州·七年级期末）一个水池有，两个水口，其中为进水口，水口可进水也可出水（水口进出水速度相同）．已知单独打开进水口，需要小时将水池由空池注满．若将，两个水口同时打开进水，小时将水池由空池注满；若将水口打开进水，同时水口打开出水，小时将水池由空池注满，则______．【答案】【分析】设进水口速度为，进水口、出水口速度为，水池容量为，由题意，列出方程组求解即可．【详解】解：设进水口速度为，进水口、出水口速度为，水池容量为，由题意得：，由②③得：，解得：，将代入①得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了列方程组及求解，解题的关键是找准题中等量关系列出方程组即可．三、解答题（19-20题每题7分，其他每题8分，共46分）19．（2021·上海市民办新世纪中学期末）解方程组：．【答案】【分析】根据解三元一次方程组的步骤即可求得．【详解】解：，由②得，将代入①中得：，则，由①+③得：，则，解得，，，所以方程组的解为：．【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，灵活运用加减消元或代入消元法解方程组是解决本题的关键．20．（2021·全国·八年级课时练习）某校初中三个年级共有651人，八年级的学生比九年级的学生人数多10%，七年级的学生比八年级的学生人数多5%．三个年级各有多少学生？【答案】七年级有231人，八年级有220人，九年级有200人．【分析】设七年级的学生有x人,八年级的学生有y人,九年级的学生有z人,根据等量关系三个年级共有651人，八年级的学生比九年级的学生人数多10%，七年级的学生比八年级的学生人数多5%．列方程组解方程组即可．【详解】解：设七年级的学生有x人,八年级的学生有y人,九年级的学生有z人,根据题意得：，整理得：，把②③代入①得，解得，把代入②③得，答七年级的学生有231人,八年级的学生有220人,九年级的学生有200人．【点睛】本题考查列三元一次方程组解应用题，掌握列三元一次方程组解应用题的步骤与解法，抓住等量关系列方程组是解题关键．21．（2021·吉林·长春市第二实验中学七年级阶段练习）解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．（1）解方程组解：（1）把②代入①得：把代入②得：所以方程组的解为（2）已知，求的值．解：（2）①+②得：③所以【类比迁移】（1）直接写出方程组的解．（2）若，求的值．【实际应用】打折前，买36件商品，12件商品用了960元．打折后，买45件商品，15件商品用了1100元，比不打折少花了多少钱?【答案】（1）；（2）x＋y＋z＝1；实际应用，比不打折少花了100元．【分析】（1）把②代入①中即可求出答案；（2）用①−②即可得出答案；实际应用，设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，由题意可得关于x，y的二元一次方程，变形可得45x＋15y＝1200，用原价减现价即可得少花钱数．【详解】（1），把②代入①中，得：3×2＋4＝2a，解得：a＝5，把a＝5代入②中，得b＝3，∴方程组的解为．（2），①−②得：4x＋4y＋4z＝4，∴x＋y＋z＝1．实际应用，设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，根据题意得：36x＋12y＝960，两边同时乘以，得：45x＋15y＝1200，1200−1100＝100（元），答：比不打折少花了100元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点．22．（2022·广东深圳·八年级期末）小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？【答案】上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米【分析】本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程不变．题中的等量关系是：从家到学校的路程为3.3千米；去时上坡时间+下坡时间+平路时间=1小时；回时上坡时间+下坡时间+平路时间=44分，据此可列方程组求解．【详解】解：设去时上坡路是x千米，平路是y千米，下坡路是z千米．依题意得：，解得．答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，本题有三个未知量，还需注意去时是上坡路回时是下坡路，回来时恰好相反，平路不变．23．（2021·浙江省诸暨市牌头中学九年级）某班参加一次智力竞赛，共，，三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题满分20分，、题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29；答对题的人数与答对题的人数之和为25；答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少．【答案】42分【分析】设、、分别表示答对题、题、题的人数，根据“答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20”，即可得出关于、、的三元一次方程组，解之即可得出、、的值，由、、的值结合a、b、c三题的分值可求出全班总得分，由、、的值结合答对两题及答对三题的人数可求出全班总人数，再利用平均分＝总分÷人数，即可求出结论．【详解】解：设、、分别表示答对题、题、题的人数，由题意可得：①②③①+②+③得：④④-①得：，同理，，∴答对一题的人