2023-2024学年河南省区域联考高二年级上册期末考试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年河南省区域联考高二上册期末考试数学

模拟试题

一、单选题

1.若直线"?x-4y+l=0与直线x+2y-3=0平行，则实数〃?

B.-2

【正确答案】B

【分析】根据直线平行的关系计算求解即可.

【详解】解：两直线的斜率分别是：，由两直线平行可知?=-5，解得机=-2.

4242

故选：B.

2.已知数列｛《,｝满足％=3,a„+]=l-y-(neN*j,则％=().

【正确答案】C

【分析】根据递推关系直接求解即可.

【详解】解：因为q=3,«„+1=1-—(

故选：C

标准方程是().

正一位=1D.虻一止=1

13131313

【正确答案】A

Y22

【分析】由题设双曲线C的方程为土-V匕=4,进而待定系数求解即可.

1612

Y22

【详解】解：由双曲线C与双曲线土-匕v=1有相同的渐近线，故可设双曲线C的方程为

1612

又因为c过点卜"㈣，所以2-*71，解得石弓

所以，双曲线C的标准方程是«=1.

故选：A.

4.若曲线^=色山在点(La)处的切线与直线/：2x-y+5=0垂直，则实数。=().

X

13一

A.-B.1C.-D.2

22

【正确答案】C

【分析】函数求导，计算K=/'(I),利用切线与直线/：2x-y+5=0垂直，求得。值.

【详解】因为,

X

所以曲线了=叱上在点(1,。)处的切线的斜率为尢=/'(1)=1-。，直线/的斜率院=2,

X

由切线与直线/垂直知左K=T，即2(1-4)=-1,解得。=方

故选：C.

5.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：

尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求.必须牢固树

立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展.某市为了

改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计

4

第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的§倍;第一年的旅游收入为20万元,

以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为

().

A.781万元，60万元B.525万元，200万元

C.781万元，200万元D.1122万元，270万元

【正确答案】C

【分析】根据等差数列和等比数列前〃项和求解即可.

4

【详解】由题意知这五年投入的资金构成首项为81,公比为3,项数为5的等比数列,

所以这五年投入的资金总额是=781(万元).

由题意知这五年的旅游收入构成首项为20,公差为10,项数为5的等差数列,

5x4

所以这五年的旅游收入总额是2。、5+丁><*2。。(万元).

故选：c.

6.如图，在平行六面体/5CD-48CQ中，底面Z8C。是菱形，侧面44)。是正方形,

且乙4/8=120。，ND4B=60°,48=2,若尸是与C。的交点，贝〃尸=().

C.3D.V7

【正确答案】D

【分析】由题知万益+而+3羽,进而根据计算向量的模得答案.

【详解】解：在平行六面体/8CD-44G。中，四边形QRGC是平行四边形，又尸是G。，

CA的交点,

所以P是CQ的中点,

所以，A丽

又方•通=2，AB-AA}=-2,AD-AAt=O,

所以万2=;而+诟+;布)

1--Q--21

=-AB+AD+—石2+"75+而•羽C方即"="

44

故选:D.

7.已知直线，：2x+y-4=0与x轴，y轴分别交于P,。两点，点/是圆

?2「515

C:(x-3)2+(y-3)2=+>0)上的动点，若△4尸。的面积的取值范围是-,y,贝!J”

).

「2^5

A亚B.当D.逑

434

【正确答案】B

【分析】运用两点间距离公式求得归。|,由三角形面积范围可得〃范围及圆与直线相离，进

而可求得r的值.

【详解】由题意知P(2,0),0(0,4),C(3,3),

所以=百+(0-4)2=2岔，点C到直线I的距离d=口3；4|=下,

爽

设点A到直线/的距离为h,则S=^\PQ\xh=叵,

「5151rrH,F75375'

因为打板石，所以〃£工-，行-,

所以直线/与圆C相离，所以/7€[d-r,d+r],即〃[石-厂,6+1,

石一尸=号「

所以<_)解得叩支..

将一还2

I2

故选：B.

8.已知a,be(0,+co),且M上二荷-加-/+方」，则下列不等式一定成立的是().

2a3

A.2a+b<1B.2a+b>lC.b>2aD.b<2a

【正确答案】D

【分析】利用对数运算把式子化为〃-b+lnb<(2a)2-2a+ln2“，构造函数，利用导数判断

单调性，利用单调性求解不等式.

【详解】由In：=4/—2^7+b—；，得ln6-ln2a=(2a)~—Za-b?+6一1,

即b2-h+\nb=(2a)2-2a+\n2a-}&j-2a+In勿,

4>/(x)=x2-x+lnx,则/。)<〃24).

/'(X)=2X-1+-!-=2X3-X+1>0，所以/(x)在(0,+0上单调递增，

XX

又2”,6e(0,a),/仅)</(2")，所以6<2a.

故选:D.

二、多选题

9.已知圆C:f+V+6x-4y+8=0,则（）.

A.圆C关于直线x+3y-3=0对称B.圆C的面积是257t

C.点（-1,4）在圆C外D.直线3x-4尸8=0与圆C相切

【正确答案】AC

【分析】根据圆的一般方程写出圆心坐标与半径，对于选项A,判断圆心是否在直线上即可;

对于选项B,运用圆的面积公式计算即可；对于选项C、D,运用几何法判断点与圆、直线

与圆的位置关系即可.

【详解】由x2+/+6x-4y+8=0,得（x+3y+（y-2）2=5,所以圆心为C（-3,2）,半径为正，

因为圆心C（-3,2）在直线x+3尸3=0上，所以圆C关于直线x+3尸3=0对称，故A正确;

因为半径为石，所以圆C的面积是5兀，故B错误；

当x=-l,y=4时，x2+j?+6x-4y+8=l+16—6-16+8=3>0,所以点（一1,4）在圆C外,

故C正确：

因为圆心C（-3,2）到直线3x-4y-8=0的距离为"=上舒，1=5＞石，

所以直线3x-4y-8=0与圆C相离，故D错误.

故选：AC.

10.已知数列｛叫满足q=l,a„+l=3^+l（n€N-）,｛%｝的前〃项和为，则（）.

A.卜“-曰是等比数列

B.是等比数列

、3"13"+2--1

八Q”=--------D.=

"224

【正确答案】BC

【分析】根据给定的递推公式，变形并构造数列，求出通项，再逐项判断、计算作答.

【详解】数列｛%｝中，〃GN*,%+]=3%+1,贝11—+：=3（见+；）,又％+1=工

/乙2.2.

13

因此数列｛%+点是以1为首项，3为公比的等比数列，A错误，B正确;

17T1

a,+-=-x3,,-1=—,即有C正确；

"222"22

3

〃=3"」,D错误.

S“=2+f+L+马-L二

22221-32-4

故选：BC

11.已知抛物线C:/=i2x的焦点为产，准线为/,直线/与x轴交于点P,过点尸的直线

与抛物线C交于M,N两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）.

A.若M,N的横坐标之和为8,则|MN|=14

B.以MN为直径的圆与直线/相交

C.OMON=^21

D.直线PM,PN关于x轴对称

【正确答案】ACD

【分析】运用抛物线定义分析选项A,运用梯形中位线性质分析选项B,运用韦达定理代入

57•丽计算分析选项C,运用韦达定理代入原M计算分析选项D.

【详解】如图，过M,N作准线/的垂线，垂足分别为“I，N\,

设线段MN的中点为0,。在准线/上的射影为Q.

\MN\=\MF\+|所|=|+“闯=X”+0+p=8+6=14,故A正确;

在梯形A/WdN中，=WN1）=:（阿卜版1>?视I，

因此以MN为直径的圆与直线/相切，故B错误：

由题意知尸（3,0）,设“臣,必］,加佟,/，直线"N的方程为x=my+3,

x=my+3

由得丁——36=0,所以必+y=12m=-36,

y2=12x2

所以丽・丽=(；£)U3-27,故C正确；

,、k=--12M,=」_=,12%

由题意知尸(—3,0),则一及+3-疗+36,川一及+3-月+36,

\2+-12+

所以

_12%12%12]必(竟+36)+%(才+36)]_12(必+%)(必％+36)°

H"+'1必2+36+£+36-(/+36)(^+36)(^2+36)(^+36)

所以直线PM,PN的倾斜角互补，即直线PM,PN关于x轴对称，故D正确.

故选：ACD.

12.已知函数/(x)=e=asinx,则下列说法正确的是().

A.当°=0时，过原点作曲线y=/(x)的切线/,则/的方程为V=ex

B.当a=l时，/(x)在(0,+8)上单调递增

C.若“X)在(一卦)上单调递增，贝期〈技<

D.当。=-1时，/(x)在\兀上有极小值点

【正确答案】ABD

【分析】设切点坐标并求导及导数的几何意义可求得切线方程，运用导数研究函数的单调性、

极值点.

【详解】当a=0时,f(x)=e,设切点为(m,e)r(x)=e\k=e'",

所以=em(x-w),

又/过原点，则-e'〃=e'〃(-m),解得〃?=1,所以/的方程为^二皴，故A正确；

当〃=1时，/(x)=e、-sinx,/r(x)=ev-cosx,

当%>0时，ex>1,-1<cosx<l,所以

所以/(x)在(0,+8)上单调递增，故B正确;

f'(x)=e-aCOSx,若/(x)在卜卦J上单调递增，

则八x)±0在(_工)上恒成立，即〃4工在上恒成立，

V227cosxI22J

令贴)上，则〃(力士注2

cosxcos-X

令〃(x)=0,得x=-：,当时，"(x)<0,“X)单调递减,

当xe(w］时，”(x)>0,Mx)单调递增，

所以〃(》"小力,?:应/,所以aw&e出故C错误；

当a=-1时，/(x)=eY+sinx,/'(x)=ev+cosx,

令？(%)=/'(x),则“(x)=e'-sinx,

当工£(一兀,一|")时，sinx<0,所以”(x)=e'-sinx>0,

所以9(x)=/"(x)在卜兀,-£|上单调递增，

又r(F)=e-l<0,/,f-^=e^>0,

所以由零点存在定理可知，存在唯一的兀,-£|,使得/(为)=0,

，

当XG(-7C,Xo)时，/(XO)<O,/(X)单调递减，

当日/,用时，/(x0)>0,/(x)单调递增，

所以/(x)在，兀，-5)上有极小值点，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.已知等差数列｛《,｝的前"项和为S,,若%+%=5,贝24=.

【正确答案】35

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质结合前”项和公式求解作答.

【详解】因为｛““｝是等差数列，4+心=%+%=5,所以几J"％)=35.

故35

14.滑县木版画是河南安阳最传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史

了，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物

造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色.小华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假

期间小华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元/套，每月的销售量/(x)(单

位：套)与销售价格x(单位：元/套)近似满足关系式/(x)=(x-90『，其中30<X<90,

则当A系列木版画销售价格定为元/套时，月利润最大.

【正确答案】50

【分析】根据题意可得月利润为g(x)=(x-90)2(x-30),xe(30,90),求导，利用导数判断

函数单调性，进而可求最值点.

【详解】设A系列木版画的月利润为g(x),贝IJg(x)=〃x)(x-30)=(x-90)2(x-30),

30<x<90,

,2

nT^g(x)=2(x-90)(x-30)+(x-90)=3(x-90)(x-50),

令g'(x)=0,则x=50,

当xe(30,50)时，g,(x)>0,当xe(50,90)时，

g(x)在(30,50)上单调递增，g(x)在(50,90)上单调递减，

所以当x=50时，利润g(x)取到极大值，也是最大值，

即当A系列木版画销售价格定为50元/套时，月利润最大.

故50.

15.己知椭圆C：=+^=l的左顶点为4右焦点为G斜率为左的直线/过点R若直线

43

/上存在点〃满足|西+R而卜2,则实数k的取值范围是.

【正确答案】一半，半

【分析】根据题意结合向量的线性运算分析可得|即同=1,转化为N到直线/的距离

^<|w|=i,利用点到直线的距离公式运算求解.

【详解】由题意可得“=2,6=6,。=，廿-62=1，

则4(-2,0),F(1,0),取力厂的中点N，；,0

uuurUUUTiIUUUIj._____.

-IAM+FM\=\INM\=2,则=即直线/上存在点〃，使得忸而1=1,

所以N到直线/的距离两1=1,

又..•直线/的方程为y=《(》一1),即h-y-力=0,

则Ji/L，解得-拽4”咨

“心』“'262后

故答案为.--—,―

+%=d±(〃GN*),数列［2区］的前〃项和为北，若

16.已知数列｛q｝满足q+"+L

n2v'1叭+)

〃(黑心€")，则4的最大值为-

【正确答案】43

［分析］根据明与5„的关系可求得a„=n2,利用裂项相消法求生丑|的前n项和为Z,，

aa

［„»+iJ

结合恒成立问题运算求解.

2

【详解】因为q+&+L+%=UZL(〃eN*),

2n2v7

当〃22时，贝Uq+^+L+也」“Tf+Sf,

12n-\2

两式相减得,%=〃，即%=/;

n

I2।1

令及=1,贝1《=•----=1.满足

12

综上所述：an=n~,”eN*.

2〃+1_2〃+1_J_____1_

则，“〃+1)2«2("+1『’

1111,I1,1

所"=［齐+K-7+L+”淳yj昕,

又F(翳(i)即1_<2022

L(2+1『,砺，

整理得(4+1)2<2023,解得不<J2023-1，

且我N*,V2023-1£(43,44),所以人的最大值为43.

故43.

方法点睛：

1.裂项相消的规律

(1)裂项系数取决于前后两项分母的差.

(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多.

2.数列与不等式的综合问题的常见题型

数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等

式知识解决数列中的相关问题.

四、解答题

17.已知直线4：2x+y-8=0,/2：x-3y+3=0的交点为尸，直线/经过点尸与点0(-3,-1).

(1)求直线/的方程：

(2)若直线/与圆C:(x-l『+(y+2)2=9交于4,8两点，求/8C的面积.

【正确答案】(l)x-2y+l=0

18

⑵M

【分析】(1)求出两直线交点坐标，运用斜率公式及直线点斜式方程即可.

(2)运用几何法求圆内的弦长，进而求得三角形的面积.

人.+y-8=0fx=3/、

【详解】(1)由题意知，-。即P3,2.

[x—3y+3=0[y=2

2-(-1)1

因为直线/经过点P,Q,所以直线/的斜率左=「＞《=彳，

3-曰2

所以直线/的方程为y-2=；(x-3),即x-2y+l=0.

(2)圆C:(x-l)2+(y+2『=9的圆心为C(l,-2),半径/'=3,

所以圆心C到直线/的距离d="+廿"=述,

V55

\AB\=2y/r2—cl2=~~~，

11Q

所以△/BC的面积5=-^AB\-d=—.

18.已知函数/(》)=/-62+乐+]在工=3处取得极值一26.

(1)求a,b的值；

⑵若存在xe[-4,4],使得〃x)T>0成立，求实数f的取值范围.

【正确答案】(l)a=3,b=-9

⑵(-8,6)

"<3)=0

【分析】(1)根据已知条件可知得，:、“求解即可.

1/(3)=-26

(2)运用分离参数求最值解决存在性问题，再运用导数研究函数的最值即可.

【详解】(1)/'(x)=3/-2亦+6,

因为函数/(切=/-凉+云+1在x=3处取到极值-26,

[7"(3)=0[27-6«+A=0\a=3

所以公、2即，7。*।»，解得八0.

[j(3)=-26[27-9。+36+1=-26[b=-9

经检验，当。=3,6=-9时，/(x)在x=3处取到极值，所以a=3,b=-9.

(2)因为存在xe[-4,4],使得〃x)T>0成立，所以f</(x)二,

由(1)知〃x)=d-3*-9x+l,/'(X)=3X2-6X-9=3(X+1)(X-3),

令/'(x)=0,得x=-l或x=3,

当xe[-4,-l)时，*(x)>0,〃x)单调递增；

当xe(-1,3)时，r(x)<0,/(x)单调递减，

当x«3,4]时,*(x)>0,/㈤单调递增.

所以“X)极郎=〃T)=6.

又〃4)=79,所以/(x)1rax=6,所以f<6.

所以实数f的取值范围是(7,6).

19.如图，在四棱柱48co-44GA中，底面/8CD是矩形，平面平面/BCD,

点E是2。的中点，AXA=AtD=AD=2AB=2.

(1)求证：平面4E8_L平面N5C。；

(2)求直线4。与平面48c所成角的正弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵李

4

【分析】(1)根据面面垂直的判断定理和性质定理分析证明；

(2)建系，利用空间向量求线面夹角.

【详解】(1)因为点E是4。的中点，所以4E_L/。，

又平面44Q。，平面/BCD,平面4QOC平面Z8CD=N£>,4£<=平面<44£>0,

所以4E_L平面/8S,

又平面同防，所以平面4E8,平面Z8C0.

(2)取8c的中点尸，连结EF,则四边形CAEE为正方形，

所以EFJ.AD,

以£为坐标原点，EF,ED,后4所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如

图所示,

贝ij8(1,—1,0),C(l,l,o),0(0,1,0),4(0,0,6),

所以浅=(0,2,0),54=(-1,1,73),4D=(0,l,-V3).

in-BC=2y=0

设平面48c的法向量所=（x,y,z）,则

in-§4=-1+V+V3z=0

令z=l,则，=0,x=后,

所以平面48c的一个法向量玩=（G,0,。,

设直线4。与平面4BC所成角为o,

则sin*ks低而）|=嗯=芭L正，

।'A叫Q2x24

即直线仲与平面4BC所成角的正弦值为B.

4

2

20.已知数列｛4｝的前〃项和为S„,2S„-n=（2M+l）a„（M€N-）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设bn=-an-3册（〃GN，）,求数列论,｝的前〃项和7；.

【正确答案】（1）4=-"

⑵7H3+2〃

4・3〃

【分析】（1）由题意结合。“与S〃的关系分析可得数列｛4｝是首项为-1,公差为T的等差数

列，根据等差数列的通项公式运算;

(2)可得”=〃•(；)，利用错位相减法分析运算.

【详解】(1)当〃=1时，2%-1=3%,所以4=-1；

当〃22时，由2S,,-"2=(2〃+I”“，则25,1-(〃-1)2=(2〃一1,3,

可得2a“=(2〃+l)a“,

整理得a”-a”T=T，

所以数列｛6｝是首项为-1，公差为-1的等差数列，

故=一1一(〃-1)=一〃.

(2)由(1)可得：”=—%="•(；),

则7>1X>2><、J+3X(；J+L+/H，

1=lx（；）+2《）+3x|）j+L+"曾'

两式相减得:

!L

231-

2T133

-T”=—1-

3"3'4-4

gr-p.733+2〃

所以小二百

21.已知椭圆C：S+，=l(a>6>0)的左、右焦点分别为片，F2,离心率为孝，点M是

C上任意一点，且AM片乙的周长为8+4后.

(1)求椭圆C的方程;

(2)点P是椭圆C上一点且在第四象限，PFJFE，过点尸作倾斜角互补的两条不同直线

分别与椭圆C交于点/,B(J,8与P不重合)，试判断直线N8的斜率是否为定值，并证

明你的结论.

【正确答案】(1)二+或=1

168

（2）是，证明见解析

【分析】（1）依题意可得£=",2a+2c=8+4应，即可求出。、。，再求出6,即可得

a2

解；

（2）设尸（2五，儿）（凡<0）,代入椭圆方程，求出尸点坐标，设直线/P的方程为

y+2=k（x-2y/2},联立直线与椭圆方程，求出乙，同理求出乙，再由如=匕?计算可

XA~XB

得.

【详解】（1）解：由离心率为也，得£=",即0="。，

2a22

由△M/第的周长为8+4&,得2a+2c=8+40，

所以a=4,c=2^2>

所以b=Va?=2/，

所以椭圆C的方程为片+己=1.

168

（2）解：直线的斜率是定值，证明如下：

因为P是椭圆C上一点且在第四象限，PF2LF.F2,

所以设尸（2丘,为）（4<0）,代入椭圆C的方程，得先=-2,

即尸（2灰,-2）.

设直线力尸的方程为>+2=左1-2后），与椭圆C的方程联立,

得(1+2公卜2-(8瓦2+我卜+16抬+16近-8=0,

168+16后一84及H+8k-2亚

所以2缶」—-'即Hn“—U2P—

因为Q4,PB的倾斜角互补，所以直线8P的方程为丁+2=-《》-2、后卜

同理得与/后「8"2近

B1+2公

因为"+2=后&-26），为+2=-左18-26），

所以3夕二为一为二虫—2忘）+女卜厂2月

XA-XB匕-/

/厂、8而

_仆孙+x=-4j2)_2J72F_巫

~X「XB-16无一~'

1+2公

因此直线AB的斜率为定值-1.

2

22.已知函数/(X)=G?_[nx-l,g(x)=/(x)+(a-2)x,aeR.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若对任意的x«0,+8),g(x)>0恒成立，求整数〃的最小值.

【正确答案】⑴当时，函数/(X)的单调递减区间为(0,+8)：当。>0时，函数/(x)的

单调递减区间为(o,吟)，单调递增区间为萼，+8

(2)2

【分析】(