2021届高三数学（文理通用）一轮复习题型训练：导数的几何意义（二）（含解析）

《导数的几何意义》（二）

考查内容：主要涉及切线方程问题（倾斜角、斜率、切点坐标、过某点和

在某点问题的切线方程等），求参数值（或取值范围），求最小距离等

选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设点P是曲线y=d—氐+g上的任意一点，点p处切线的倾斜角为a,则角

a的取值范围是（）

。弓

A.B.

2.曲线y=（尤3—在点（1,0）处的切线方程为（）

A.2x+y—2—0B.x+2y-l=0

C.x+y-l=0D.4x+y-4=0

3.曲线_y=靖在点（2,e?）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

92e2

A.一/B.2e2C.°2D.—

42

4.已知曲线丁=〃/+%山%在点（1,。£）处的切线方程为丁=2尤+6,则（）

A.a=e,b=—1B.a=e,b=l

C.a=e~l=1D.a=e~x.b=—1

5.过原点引y=e*+r的切线，若切线斜率为工，则/=（）

e

1

A.~eB.-

e

c2

C.2eD.—

e

6.曲线丁=（女+2）/在点（0,2）处的切线方程为丁=-21+6，则必=（）

A.-4B.-8C.4D.8

7.已知曲线y=/在点（a,。）处的切线与直线%+3y+l=。垂直，则。的取值是

）

A.-1B.±1C.1D.±3

8.若曲线y=%2+〃%在点(1,々+1)处的切线与直线y=7x平行，则〃二(

A.3B.4C.5D.6

9.已知函数丁=/(力的图象在点(1,7(1))处的切线方程为x—2y+l=0,则

/(1)+2/'(1)的值为()

1

A.-B.1

2

3

C.-D.2

2

10.若函数/(x)=«x2—；三5＞0)的图象存在与直线X—y+2=o平行的切线，则

实数。的取值范围是()

A.[1,+co)B.(-co,-l]

c.(^0,-1]LD.(-CO,-1]L(1,-HX))

11.若点尸是曲线＞=inx上任一点，则点尸到直线x—y—4=0的最小距离是

()

A.yflB.3C.272D.2A/3

12.已知函数/(%)=必+法的图象在点A(l,/(1))处的切线/与直线3x—y+2=0

平行，若数列＜＞的前n项和为Sn,则S2009的值为()

2007200920082010

A.----B.-----C.-----D.-----

2008201020092011

填空题

13.曲线y=sinx+2x+l在点p处的切线方程是3%-丁+1=0,则切点P的坐标是

14.曲线y=♦一x在(0,0)处的切线方程为.

15.过原点(0,0)作函数/(%)=/+2三图象的切线，则切线方程为.

—%?—2x+3,%(11

16.已知/(%)=〈，若函数y=/(%)—日+大有4个零点，则实数

Inx,x＞12

上的取值范围是.

三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知函数/(x)=x3+x—16.

(1)求曲线y=/(%)在点(2,-6)处的切线的方程.

(2)若直线/为曲线y=/(x)的切线，且经过坐标原点，求直线/的方程及切点坐标.

18.设函数/(x)=取-一，曲线y=/(无)在点(2,/(2))处的切线方程为7x-4y-

X

12=0.

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)证明：曲线y=/(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面

积为定值，并求此定值.

19.已知二次函数/(%)=&+加；_3在x=l处取得极值，且在(0,-3)点处的切线与

直线2x+y=0平行.

(1)求“X)的解析式;

(2)求函数8(%)=犷(%)+4%的单调递增区间.

x

20.已知函数/(x)=—InL(aeR),曲线y=/(x)在点(e,/(e))处的切线方程为

x+a

1

y=一.

e

(1)求实数。的值，并求的单调区间

(2)求证：当x>0时，f(x)<x-l.

21.已知函数/(%)=她二+。曲线y=/(x)在点(1,/(功处的切线方程为

X+1X

%+2y-3=0.

(1)求。力的值;

Inx

(2)证明：当x>0且xwl时，/(%)>——.

X-1

22.已知函数/(x)=(x+l)2-3alnx,aeR..

(1)当a=l时，求〃x)在点(1,/⑴)处的切线方程及函数/(*)的单调区间;

(2)若对任意xe[l,e],/(x)<4恒成立，求实数”的取值范围.

《导数的几何意义》（二）解析

1.【解析】yf=3x2-^>-^3,/.tanor>-A/3»

兀A27rA

«e[0,7T),：.a&0,—Io石，"(故选：B.

2.【解析】7=(3x2-3)-ln^+--(x3-3x),故切线斜率左=乂1=—2

X

故所求切线方程为y=-2(x—1),即2x+y—2=0,故选：A

3.【解析】y'=e、，故切线的斜率为左=e2,故切线方程为：y-e2=e2(x-2),

化简得到y=e2x-e2.令x=0,则丁二飞之；令y=0,则x=l.

故切线与坐标轴所围三角形的面积为Lxlxe?=三.故选：D.

22

Jx

4.【解析】y=ae+lnx+l,k-y'\x=x=ae+\=2,：.a=e

将(1,1)代入V=2x+b得2+b=l,b=-1,故选D.

5.【解析】y=e)又e°=l，故原点不可能是切点，设切点坐标为(毛,为)，

则y'=e"n,%=」+/,

ee

又！=&=^^=_(eT+°n/=_2.故选：D.

ex0x0、'e

6.【解析】因为y=(ox+2)e*,所以y'=e*(ox+2+。)，

故上=>'L=o=2+。=一2,解得。=-4,又切线过点(0,2),

所以2=—2xO+A,解得b=2,所以出?=—8,故选：B

7.【解析】y=/(x)=x3,/'(x)=3x2,直线x+3y+l=0,k=—；,

故/(a)=3/=3,解得a=±l.故选：B.

8.【解析】因为y'=2x+a,所以2+a=7,解得a=5,故选C.

9.【解析】由1—2y+l=0得y=l,因此有/(1)=1,尸(1)=：,二

/(l)+2/'(l)=l+2x1=2.故选D.

10.【解析】f'(x)=2ax-x2,由题意/'(x)=2"一%2=1有正数解，

•.•x〉0,=1，当且仅当x=l时等号成立,

2xlx

a的取值范围是口,+8）.故选：A.

11.【解析】要使点尸到直线x—y—4=。的最小距离，

只需点尸为曲线与直线为-y-4=0平行的切线切点,

即点P为斜率为1的切线的切点，设尸（%,%）,%〉0,

11

y=厂9_lnx,y，匕苑=2%-----=1,解得%=］或％（舍去）,

|1-1-4|

点PQ,1）到直线x—y-4=0的距离为=20,

0

所以曲线丁=必一inx上任一点到直线％—y—4=0距离最小值为2夜.

故选：C.

12.【解析】因为函数/5）=必+法，所以/'（x）=2x+b,

代入x=l,得切线斜率左=2+），因为切线/与直线3x—y+2=。平行,

所以2+A=3,得6=1,所以/(兀)=*+%,

111_1

所以

/(n)/+〃〃n+1

什.111111

所以S=-------1--------1---.-------=--1--———

"1223nn+1n+1

12009

所以S2009=l--------=—故选：B.

20102010

13.【解析】由函数y=sinx+2x+l,贝qy'=cosx+2,

设切点尸的坐标为（%,%）,则斜率k=y'\x=xo=cos无o+2=3,

所以cosx（）=l,解得玉）=2比乃（左eZ）,

当左=0时，切点为（0,1）,此时切线方程为3x—y+1=0；

当归W0,切点为（2左1,4左不+1）（左eZ）,不满足题意,

综上可得，切点为（0』）.故答案为：（0,1）.

14.【解析】对y='一：'x求导得:y'=(-x2+2%-cosx+sin%)ex,

故在(0,0)处切线斜率为左=了_=-l,所以切线方程为丁=一%.

X—v

15.【解析】/(1)=丁+2%2,贝1]-(月=3/+4%，

2

设切点为(玉),为3+2/2)，则切线的斜率k=f'(x0)=3x0+4x0,

2

故切线方程为:丁一(为3+2/2)=(3x0+4x0)(x-x0),

22

因为切线过点(0,0)，所以—(与3+2X0)=(3X0+4x0)(-x0),

32

即2x0+2x0=0=>x0=0或％=-1,

故当/=0时，切线方程为y=0,当天=-1时，切线方程为x+y=0,

故答案为:丁=。或x+y=0.

11

16.【解析】由题意y=/(x)—融+,有4个零点即/(x)=6-万有4个零点，

设g(x)=fcx-g,则g(x)恒过点I。,-；],

•••函数g(x)与/(x)的图象有4个交点，

在同一直角坐标系下作出函数g(x)与“尤)的图象，如图，

由图象可知，当左<(时，函数g(x)与/(x)的图象至多有2个交点；

当函数g(x)过点和(1,0)时，k=g,此时函数g(x)与/Xx)的图象恰有3

个交点；

当函数g(x)与y=lnx(x>l)的图象相切时，设切点为(a,Ina),/=-,

.■-k=-,Alna+2_1,解得a=6,

a-=—

aa

:.k=立,此时函数g(x)与函数的图象恰有3个交悬

e

当上〉立时，两函数图象至多有两个交点；

二若要使函数y=，（x）—日+!有4个零点，贝以e（士立）.

22e

17.【解析】⑴/'(x)=3*+l.

所以在点（2,-6）处的切线的斜率k=/'（2）=13,

切线的方程为y=13x—32；

（2）设切点为（天,阳），则直线/的斜率为/'（%）=3/2+1,

所以直线/的方程为：y=（3/2+1）（X-X0）+XQ+X0-16,

所以又直线I过点（0,0）,0=（3/2+1）（―5）+片+/-16,

整理,得Xg=一8，二无o=一2，

3

Ay0=(-2)+(-2)-16=-26,/的斜率k=13,

.♦.直线/的方程为y=13%,切点坐标为（-2,-26）.

、„7

18.【解析】（1）方程7x—4y—12=0可化为y=—x—3,

4

1b2”3=3

当x=2时，y=—.又？（x）=a+w于是｛匕,，解得

xa+—=—

44

3

故f(x)=x——.

x

3

(2)证明：设P(xo,yo)为曲线上任一点，由？(X)=l+-y知，曲线在点P(xo,yo)处的切

X

333

线方程为y—yo—(1+—2)-(x—xo),即y—(XQ——)—(1+—r)(x—xo).

66

令x=0得，y=——，从而得切线与直线x=0,交点坐标为（0,——）.

%%

令得y=x=2xo,从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2xo,2xo）.

所以点P(xo,yo)处的切线与直线x=o,y=x所围成的三角形面积

16、

为一|——||2xo|=6.曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的

2%

三角形面积为定值，此定值为6.

19.【解析】(1)由/(%)=依2+乐一3,可得/'(X)=2依+Z?.

r(i)=o,2〃+b=0,

由题设有<解得a=lfb——2.

r(o)=-2.b=—2.

所以f(x)=x2-2x-3.

(2)由题意得g(x)=?(%)+4%=%3-2*+x,

所以g'(x)=3%2一4%+1=(3］一1)(1一1).令，(x)=0,得%=g,x2=l.

1

X(f3331(L+x)

+0-0+

所以函数g(x)的单调递增区间为(1,+8).

x+a1a

Iny------Inx

2。.【解析】(I).,小)=不，...八上x，•./(e)=—J

(e+〃)2

又曲线y=/(x)在点(e,7(e))处的切线方程为,=工，则尸(e)=0,即。=0,

e

.e.f\x)=--令/'(x)>0,得l—lnx>0,即0<x<e；

令/'(x)v0,得1—lnx<0,即X>e,

所以/(为的单调增区间是Qe),单调减区间是(e,+8).

(2)当%>0时，要证/(x)Vx-l即证Inx—

令g(%)=Inx-x2+x(x>0),

则g，(x)=4_2x+1=1+x2/=_(上l)(2xj1)

xxx

当0cx<1时，g'(x)>0,g(尤)单调递增；

当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以g(x)<g⑴=。，即当x>0时，/(x)<x-l.

21.【解析】(1)ffr}=

(x+1)-V'

由于直线x+2y—3=0的斜率为—；，且过点(1,1),

/⑴=Lfb=L

1解得a=l,b=1.

一—,

右In%1、lux1fx2-1

(2)由⑴知f(x)=----+一,所以“X)------=-——721nx-------

X+1Xx—11—xIX