新人教版圆全章学案

第二十四章圆圆的有关性质圆预习检测1.举出几个生活中使用圆形的例子.2.以2cm为半径画一个圆，能画多少个？3.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做.其固定的端点O叫做，线段OA叫做.4.连接圆上任意两点的线段叫做，经过圆心的弦叫做.过圆内一点可以做条弦，其中最长的弦是.5.连接圆上任意两点间的局部叫做，简称.以A,B为端点的弧记作.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做.的弧叫优弧；的弧叫劣弧.6.能够重合的两个圆叫.半径相等的两个圆是；反之，同圆或等圆的半径.在同圆或等圆中，能够的弧叫等弧.问题思考1.圆是一个“圆面”还是一个“圆周”?确定一个圆的要素有几个？它们分别起什么作用？2.说说弦和直径的关系，弧和半圆的关系.3.半径相等的圆是等圆，那么长度相等的弧是等弧么？为什么？4.平面内，点到圆的最大距离是10，最小距离是2，那么圆的半径是多少？假设平面内，点到圆的最大距离是，最小距离是，那么圆的半径是多少？当堂检测1.以下说法中，结论错误的选项是〔〕A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧2.如图24-1-1，MN为⊙O的弦，∠M=30°，那么∠MON等于〔〕A．30°B．60°C．90°D．120°3.如图24-1-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将其绕B点顺时针旋转一周，那么分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为〔〕A．πB．3πC．9πD．6π4.如图24-1-3将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，那么∠ACO=度．5.如图24-1-4，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，假设∠A=65°，那么∠DOE=度．图图24-1-图24-1-1图24-1-图24-1-图24-1-56.如图24-1-5，是直径是的弦，的延长线交于点，图24-1-5=20°，那么的度数为.图24-1-67.如图24-1-6，是上点是上的两点，且,求证：图24-1-24.1．2垂直于弦的直径预习检测1.圆是对称图形，对称轴是.图24-1-7BADOMC2.如图24-1-7，是的一条弦，沿直径CD对折，那么图24-1-BADOMC⑴图24-1-7是对称图形.其对称轴是.⑵你能发现图中有哪些等量关系:，说一说你的理由．3.如图24-1-7，AB为弦，⑴假设直径⑵假设直径CD平分AB(AB不是直径),那么有结论：；⑶假设弦CD是AB的垂直平分线，那么弦CD必过，是圆的.问题思考1.垂径定理是运用圆的什么性质得到的？其中题设和结论分别有哪些？结合这些题设和结论，你能得到哪些新的命题？试着验证这些命题的正确性.2.命题：“平分弦的直径垂直于弦”是真命题吗？如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例.图24-1-图24-1-1.如图24-1-8，如果为的直径，弦，垂足为，那么以下结论中，错误的选项是〔〕．A.B.C.D.图24-1-92.如图24-1-9，的直径为10，圆心到弦的距离图24-1-那么弦的长是〔〕A.4B.6C.7D.83.如图24-1-10，的半径为5mm，弦=8mm，那么圆心到的距离是〔〕A.1mmB.2mmC.3mm4.如图24-1-11，的半径为6cm，弦垂直平分，那么=cm=．5.如图24-1-12，为的弦，=90°，=a，那么=，点到离=.6.某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如下图24-1-13，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，那么修理人员应准备_____cm内径的管道〔内径指内部直径〕．7.如图24-1-14，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，那么折痕的长为.图图24-1-1图24-1-1图24-1-1图24-1-1图24-1-1图24-1-158.如图24-1-15，是的弦，是上一点，假设=10=4，=5，求图24-1-1半径的长.9.如图24-1-16，为的直径为弦，过分别作、分别交于，请问图中的与是否相等，说明理由．图图24-1-124.1.3弧、弦、圆心角预习检测1.在正三角形、正方形、各边相等时各角也相等，那么，在同一个圆中，将其分成相等的几局部〔弧〕，这些弧所对的弦之间有何关系呢？2.圆既是对称图形，也是对称图形，就是它的对称中心，而且把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形.3.顶点在的角叫做圆心角.4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦也；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等，所对的相等；问题思考1.弧、弦、圆心角之间的关系是根据圆的什么性质得到的？这些命题中的题设和结论分别有哪些？结合这些题设和结论，可以得到哪些正确的命题？2.在弧、弦、圆心角之间的关系中，“在同圆或等圆中”这个条件能否去掉？为什么？3.如图24-1-17，在中，是两条弦，，垂足分别为．图24-1-17⑴如果，那么与图24-1-1⑵如果，那么与的大小有什么关系？与的大小有什么关系？为什么？与呢？⑶根据上面的结果，你能得到哪些结论？当堂检测1.在同圆中，以下四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有〔〕A.4个B.3个C.2个D.1个2.如图24-1-18，的半径，，那么所对的弧的长为〔〕A.B.C.D.3.如图24-1-19，⊙中，如果=2，那么〔〕图24-1-18图24-1-19图24-1-21图24-1-2图24-1-图24-1-图24-1-图24-1-24.如图24-1-20，为的一固定直径，它把分成上，下两个半圆，自上半圆上一点作弦，的平分线交于点，当点在上半圆〔不包括两点〕上移动时，点〔〕A.到的距离保持不变B.等分C.随点移动而移动D.位置不变5.如图24-1-21，和是的直径，弦，假设弦=3，那么弦=．图24-1-226.如图24-1-22，在上，．求证：图24-1-2图24-1-237.如图24-1-23，为的直径，为上的两点，且为的中点，假设=20°，求图24-1-224.1.4圆周角预习检测图24-1-231.如图24-1-23，你能分别指出图24-1-22.顶点在，并且两边都与圆，我们把这样的角叫做圆周角.3.圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的.4.同弧和等弧所对的圆周角.半圆〔或直径〕所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是.问题思考1.圆周角与圆心角有什么区别与联系？2.作一个圆，在同一弧上作一些圆心角及圆周角.通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题．⑴一条弧所对的圆周角有多少个？⑵同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？⑶同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？3.在圆周角定理中，能去掉“同圆或等圆”吗？假设把“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”性质成立吗？4.如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？当堂检测1.如图24-1-25，弦相交于点，假设=27°，=64°，那么等于()．A.37°B.74°C.54°D.64°2.如图24-1-26，三点在上，=100°，那么等于〔〕．A.140°B.110°C.120°D.130°3.如图24-1-27，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是〔〕A.∠4<∠1<∠2<∠3B.∠4<∠1=∠3<∠2C.∠4<∠1<∠3∠2D.∠4<∠1<∠3=∠2图图24-1-25图24-1-26图24-1-27图24-1-图24-1-294.如图24-1-28，是的直径，是的弦，且，那么等于〔图24-1-29A．100°B．110°C．120°D．130°5.如图24-1-29，是的内接正三角形，假设是上一点，那么=_____；假设是上一点，那么=_____．图24-1-306.半径为2的中，弦的长为，那么弦所对的圆周角的度数是________图24-1-307.如图24-1-30，是的直径，都是圆上的点，那么∠1+∠2=_______．图24-1-318.如图24-1-31，是的直径，是的弦，延长到，使，与图24-1-3124.2点、直线、圆和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系图24-2-1预习检测图24-2-11.爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛.他们把靶子钉在一面土墙上，规那么是谁掷出落点离红心越近，谁就胜.如图24-2-1中三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中的成绩最好.2.点和圆有种位置关系，分别是.3.设的半径为，点到圆心的距离，那么有：点在圆内；点P在圆上；点在圆外.注：符号“”读作“等价于”，即从符号的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端.4.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看成是到圆心的距离的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离的点的集合.5.的半径为6，线段OP的长度为8，那么点P与圆的位置关系是.问题思考1.探究以下问题：⑴平面上有一点，经过点的圆有个；⑵平面上有两点，经过点的圆有个，它们的圆心分布在.⑶平面上有三点，经过三点的圆有几个？圆心在哪里？由此，得出结论：.⑷经过三角形的三个顶点可以做个圆，这个圆叫做三角形的.其圆心是三角形三条边的的交点，叫做这个三角形的，它到三角形的距离相等.2.根据上面的探究思考以下问题：⑴经过同一条直线上的三个点能做出一个圆吗？试着说说你的理由.⑵一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？⑶三角形的外心的位置与三角形的形状有何关系？⑷经过任意四个点能作一个圆吗？请举例说明.3.到点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的所有点组成的图形是什么？图24-2-24.如图24-2-2,有三个城市，现在想建一个电力供给图24-2-2当堂检测1.以下说法正确的选项是()．A.三点确定一个圆B.三角形的外心是三角形的中心C.三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点D.等腰三角形的外心在顶角的角平分线上2.的半径为1，点到圆心的距离为假设关于的方程有实根，那么点()．A.在的内部 B.在的外部C.在上 D.在上或的内部3.假设中，=90°，=10，=24，那么它的外接圆的直径为图24-2-34.如图24-2-3，在矩形中，=3，=4，以为圆心，使、三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，那么此圆半径的取值范围是图24-2-35.小明家的房前有一块矩形空地，空地上有三棵树小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.⑴请你帮小明把花坛的位置画出来〔尺规作图，不写作法，保存作图痕迹〕；⑵假设中，=8米,=6米,=90°,试求小明家圆形花坛的面积.直线和圆的位置关系〔一〕预习检测图24-2-4图24-2-42.如图24-2-4中图1，直线与圆公共点，那么这条直线与圆.如图2，直线与圆只有公共点时，那么直线与圆；此时，这条直线叫做圆的，这个公共点叫做.如图3，直线与圆有公共点时，那么直线与圆；此时，这条直线叫做,这两个公共点叫做.3.在上题图中，分别作出圆心到直线的距离，如果设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，通过观察思考：如何根据d与r的数量关系来确定直线与圆的位置关系？填空：直线l与；直线l与；直线l与.问题思考1.如何判断直线与圆的位置关系？跟同学交流你的方法.2.当堂检测1.的半径为5cm,直线l上有一点，=5cm,那么直线l与的位置关系为〔〕A.相交B.相离C.相切D.相交或相切2.直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，那么r的取值范围是〔〕A．r＜6B．r=6C．r＞6D．r≥6图24-2-53.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，假设圆C与直线AB相切，那么r的值为〔图24-2-A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm4.如图24-2-5，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，假设大圆的弦AB与小圆相交，那么弦AB的取值范围是．图24-2-65.在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6cm，以C为圆心，3cm为半径作圆，那么⊙C与AB的位置关系是图24-2-6.如图24-2-6，⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB=45°，点P在x轴上运动，假设过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P〔x，0〕，那么x的取值范围是.图24-2-77.如图24-2-7，∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P．

〔1〕假设r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系；

〔2〕假设⊙P与OB相离，试求出图24-2-8.如图24-2-8，在直角梯形中，90°,=30°,=,=2,试猜测在是否存在一点,使得与线段都相切,如存在，请确定的半径.图图24-2-8直线和圆的位置关系〔二〕预习检测图24-2-91.生活中有很多直线与圆位置关系的例子：例如自行车在公路上行驶，车轮为圆，公路地面为直线，这时直线与圆的位置关系是图24-2-2.如图24-2-9，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为．3.如图图24-2-10，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC．假设∠CPA=20°，那么∠A=图24-2-图24-2-图24-2-111.问题1：如图24-2-11，在中，经过半径的外端点作直线⊥，那么圆心到直线的距离是多少？直线和有什么位置关系？图24-2-由此我们得到切线的判定定理：.问题2：如果将问题1反过来，即如果直线是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线是不是一定垂直呢？说出你的理由.由此我们得到切线的性质定理：.2.总结判断一条直线是圆的切线有哪几种方法？分别是如何判断的？⑴根据直线与圆的公共点的个数如何判断？⑵根据直线与圆心的距离如何判断？⑶根据切线与过切点的半径的位置关系如何判断？2.总结圆的切线有哪些性质？⑴切线和圆有个公共点；⑵切线和圆心的距离等于；⑶切线垂直于过的半径；⑷经过圆心且垂直于切线的直线必过；⑸经过切点垂直于切线的直线必过.当堂检测1.如图24-2-12，分别与相切于点点，为上一点，=65°，那么等于()．A.65° B.50° C.45° D.40°2.如图24-2-13，是的直径，直线切于点，假设=，那么图24-2-12图24-2-13图24-2-14图24-2-16图24-2-15A.=90°－B.=C.=图24-2-12图24-2-13图24-2-14图24-2-16图24-2-153.如图24-2-14，中，=60°，=6，它的周长为16．假设与三边分别切于点，那么的长为()．A．2 B．3 C．4 D．64.如图24-2-15，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，为切点，假设两圆的半径分别为3和5，那么的长为5.如图24-2-16，直线是的切线，为切点交于点，点在上，且=40°，那么=6.如图24-2-17，中，=90°，以为直径的半圆交于，是图24-2-17的中点．求证：直线是半圆图24-2-177.如图24-2-18,是半圆的直径,为圆心是半圆的弦，且(1)判断直线是否为的切线，并说明理由；图24-2-18(2)如果=60°,=，求图24-2-24.2.2直线和圆的位置关系〔三〕预习检测图24-2-191.如下图24-2-19，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地现准备在其中建一小亭供人们休息，要求小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置．〔不写作法，保存图24-2-2.我们把圆外一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的.问题思考图24-2-211.如图24-2-21，是圆的两条切线，切点分别为，在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA图24-2-2∠BPO有什么关系？由此得到切线长定理：.2.如图24-2-22，是圆的两条切线，切点分别为，直线交于，交图24-2-22⑴写出图中所有的垂直关系:图24-2-2⑵写出图中与相等的角:；⑶写出图中所有的全等三角形:；⑷写出图中所有的等腰三角形:；⑸假设=4，=2，求圆的半径图图24-2-233.如图24-2-23，图24-2-24归纳：我们把与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的叫做三角形的内心，它是三角形的交点.它到三角形图24-2-244.如图24-2-24，的内切圆与边分别相切于点图24-2-图24-2-1.既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是〔〕A.矩形B.菱形C.正方形D.矩形或菱形2.如图24-2-25，PA、PB分别切⊙O于A、B，点C和点D分别是线段PA、PB上的动点，并且CD始终保持与圆O相切，假设PA=8cm，那么△PCD的周长是A.8B.12C.16D.不能确定图24-2-263.△ABC中，∠A=50°,假设点I是△ABC的内心，那么∠BIC=;假设点O是△ABC图24-2-26心，那么∠BOC=.4.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么△ABC内切圆半径r=.5.如图24-2-26，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，假设BC=9，AD=4，那么OE的长6.如图24-2-27，分别切于图24-2-27(1)假设=40°，求的度数图24-2-27(2)假设=10，求的周长7.如图24-2-28，在△ABC中，∠ABC=90°，点E在AB上，以BE为直径的⊙O恰好与AC相切于点D，假设AE=2cm⑴⊙O的直径BE的长；⑵计算△ABC的面积.正多边形和圆〔第一课时〕预习检测1.正多边形和圆的关系只要把一个圆分成的一些弧，就可以作出这个圆的，这个圆就是这个正多边形的.2.正五边形的中心角是度,一个内角是度,一个外角是度.正六边形的中心角是度,一个内角是度,一个外角是度.正边形的中心角是度,一个内角是度,一个外角是度.问题思考1.正六边形的半径与边长具有怎样的数量关系？2.正多边形有内切圆吗?如果有,指出它的圆心与半径.内切圆的半径与边心距有什么关系?3.有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积．〔结果保存根号〕当堂检测1.正八边形的一个内角等于，它的中心角等于．2.正六边形的边长为，半径为，边心距为，那么=．3.同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为．4.等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的()．A.3倍 B.5倍 C.4倍 D.2倍5.正方形的周长为，它的外接圆半径为，那么与的函数关系式是()．A. B. C. D.6.有一个边长为12的正六边形，假设要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，那么这个圆形纸片的半径最小是()．A.10B.12C.14D.167.如下图，正六边形内接于，那么的度数是〔〕．A.60°B.45°C.30°D.22．5°第7题图第7题图第8题图第8题图8.如图,四边形为的内接梯形，，为直径，如果的半径等于，=60°,那图中的边长是；的周长是；的度数是．第9题图9.如图,的周长等于6cm,求以它的半径为边长的正六边形的面积.第9题图正多边形和圆〔第二课时〕预习检测1.用两种方法作正边形方法一、方法二、问题思考作正n边形的方法几种？仿照作正六边形的方法作出正十边形.当堂检测1.画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星.2.用等分圆周的方法,画出下面的图形24.4弧长和扇形面积第一课时弧长和扇形面积预习检测设圆的半径为，那么：1.圆的周长可以看作是度的圆心角所对的弧；1°的圆心角所对的弧长是；2°的圆心角所对的弧长是；3°的圆心角所对的弧长是；……°的圆心角所对的弧长是_______．2.圆的面积可以看作度的圆心角所对的扇形；1°的圆心角所对应的扇形面积是；2°的圆心角所对应的扇形面积是3°的圆心角所对应的扇形面积是；……°的圆心角所对应的扇形面积是．问题思考图24-4-1O的圆心角所对的弧长，扇形面积，观察这两个公式，用弧长表示扇形面积=图24-4-1O2.制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图24-4-1所示的管道的展直长度，即弧的长.〔结果精确到0.1〕3.如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为0.6米，截面中有水局部高为0.3m，那么截面中有水局部的面积．〔结果保存小数点后两位〕当堂检测1.半径为5的圆中，假设扇形面积为，那么它的圆心角为．假设扇形面积为15，那么它的圆心角为．2.假设半径为6的圆中，扇形面积为9cm2，那么它的弧长为．3.如图，中，=90°，=8，=6，两等圆外切，那么图中两个扇形(即阴影局部)的面积之和为()．A. B.C. D.4.如图，扇形纸扇完全翻