第07讲 抛物线 高频考点精讲（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第07讲抛物线(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：抛物线的定义及其应用题型二：抛物线的标准方程题型三：抛物线的简单几何性质题型四：与抛物线有关的最值问题第一部分：知第一部分：知识点精准记忆知识点一：抛物线的定义1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).知识点二：抛物线的标准方程和几何性质标准方程（）（）（）（）图形范围，，，，对称轴轴轴轴轴焦点坐标准线方程顶点坐标离心率通径长知识点三：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：抛物线的定义及其应用典型例题例题1．（2022·贵州·高二期中）设抛物线：的焦点为，点在上，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知，，所以.因为抛物线的通径长，所以轴，所以故选：D.例题2．（2022·全国·高三专题练习）在平面上，到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线【答案】D【详解】解：因为点不在直线上，则到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线；故选：D例题3．（2022·四川省绵阳江油中学高二期中（文））已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于，若，则（

）A．4 B．12 C． D．【答案】B【详解】由题知抛物线：，开口向右，，记准线与轴交于点，因为，根据抛物线定义有：，因为，所以为正三角形，所以，所以因为焦点到准线的距离为，所以，所以，故选：B同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（

）.A． B． C．或 D．4或【答案】C【详解】抛物线开口向左，依题意，抛物线上的点与点间的距离为3，所以，抛物线方程为，令，得，解得，故选：C2．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）已知抛物线：上一点到其焦点的距离等于，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意可知，，故选：C3．（2022·北京市十一学校高二期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到y轴的距离为（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】C【详解】抛物线的准线方程为：，由抛物线的性质可知：点到焦点的距离等于到准线的距离，即，得，抛物线方程为，则焦点坐标为，焦点到y轴的距离为2.故选：C题型二：抛物线的标准方程典型例题例题1．（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由椭圆可得，所以左焦点坐标为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为，故选：C.例题2．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））在平面坐标系中，动点和点满足，则动点的轨迹方程为_____________．【答案】【详解】由题意，由得，化简得．故答案为：．例题3．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线的顶点在原点，准线与其平行线的距离为，则抛物线的方程为______．【答案】或【详解】解：因为抛物线的准线与其平行线的距离为，所以抛物线的准线为或，当准线为时抛物线方程为，当准线为时抛物线方程为.故答案为：或例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，的准线与轴相交于点，为上的一点，直线与直线相交于点，若，，则的标准方程为______．【答案】【详解】如图所示：，，∴，∴，即，∴，∴，不妨令点在第一象限，则直线的方程为，联立，得，即，所以，解得，所以的标准方程为．故答案为：同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【详解】由已知可知双曲线的焦点为,故设抛物线方程为，则，故，所以抛物线方程为,故选:D.2．（2022·天津一中高二期中）已知直线与抛物线：的准线相交于点A，O为坐标原点，若则抛物线的方程为___________.【答案】【详解】对抛物线：，其准线方程为：，又其与直线交于点，故可得点的坐标为，因为，则，解得，则抛物线方程为：.故答案为：.3．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线过点，则抛物线的标准方程为______．【答案】或【详解】∵抛物线过点，且点在第四象限，∴抛物线的开口向右或向下．若开口向右，则设方程为，∵过点，∴，∴抛物线的标准方程为；若开口向下，则设方程为，∵过点，∴，∴抛物线的标准方程为．综上，抛物线的标准方程为或．4．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为______．【答案】或【详解】由于抛物线的准线方程是，而点到准线的距离为6，所以点的横坐标是，于是，代入，得，解得或，故该抛物线的标准方程为或．故答案为：或．题型三：抛物线的简单几何性质典型例题例题1．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）已知圆与抛物线相交于，，且，则（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【详解】因为圆与抛物线相交于M，N，且，由对称性，不妨设，代入抛物线方程，则，解得，所以，故故选：B例题2．（2022·江苏·宝应中学高二期中）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（

）A．2 B．2或4 C．1或2 D．1【答案】B【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，所以，即，代入抛物线方程可得，整理得，解得或.故选：B.例题3．（2022·全国·高二单元测试）已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是______．【答案】5【详解】设，则，，从而．因为点在抛物线上，所以，所以，当且仅当时取等号．故答案为：5同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的对称轴是直线A． B．C． D．【答案】D【详解】因为抛物线：，所以其关于轴对称，即对称轴为直线．故选：D．2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）关于抛物线，下列说法正确的是（

）A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴【答案】AD【详解】对选项A，，开口向左，故A正确；对选项B，，焦点为，故B错误；对选项C，，准线方程为，故C错误；对选项D，，对称轴为轴，故D正确.故选：AD3．（多选）（2022·全国·高二单元测试）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】解：对于A选项，对于曲线上的任意点，其关于轴对称的点满足方程，关于轴对称的点也满足方程，故满足条件；对于B选项，即为，表示焦点在轴正半轴的抛物线，关于轴对称，但不关于轴对称，故不满足；对于C选项，即为，表示焦点在轴上的椭圆，满足既关于轴对称，又关于轴对称，故满足条件；对于D选项，即为，表示圆心为，半径为的圆，其关于轴对称，不关于轴对称，故不满足条件.故选：AC题型四：与抛物线有关的最值问题典型例题例题1．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线焦点的坐标为，为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【详解】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.例题2．（2022·江西抚州·高二期中）已知抛物线：的焦点为，点在上，若点，则的最小值为______.【答案】##3.5【详解】记抛物线的准线为，则：，记点到的距离为，点到的距离为，则.故答案为：.例题3．（2022·北京市十一学校高二期中）已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上一个动点，点，则的最小值为______．【答案】##4.5【详解】如图所示，设抛物线准线交于点，由抛物线第一定义可知，，要使最小，即最小，当三点共线时，取到最小值，,故答案为：同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.【答案】##【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，圆的圆心坐标为，半径为，设点到抛物线准线的距离为，则，故，所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小，此时.故答案为：.2．（2022·重庆长寿·高二期末）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．【答案】5【详解】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，当共线时，和最小；过点向准