第08讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线 高频考点精讲（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第08讲直线与椭圆、双曲线、抛物线(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系题型二：中点弦问题角度1：由中点弦确定直线方程角度2：由中点弦确定曲线方程题型三：弦长问题题型四：直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题第一部分：知第一部分：知识点精准记忆知识点一：直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．知识点二：直线与双曲线的位置关系代数法：设直线，双曲线联立解得：（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若，时，，直线与双曲线相交于两点；时，，直线与双曲线相离，没有交点；时，直线与双曲线有一个交点；相切不存在，时，直线与双曲线没有交点；直线与双曲线相交于两点；知识点三：直线与抛物线的位置关系设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;当时,直线与抛物线相切,有一个切点;当时,直线与抛物线相离,没有公共点.(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.知识点四：直线与圆锥曲线的相交的弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：弦长弦长这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【详解】，在椭圆内，恒过点，直线与椭圆相交.故选：A.例题2．（2022·全国·高三专题练习）直线与椭圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【详解】直线可化为，所以直线恒过点，又，即在椭圆的内部，直线与椭圆的位置关系为相交.故选：A.例题3．（2022·安徽·合肥市第八中学高二期中）已知为双曲线：的左焦点，为的右支上一点，则直线的斜率的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由已知，设直线PF为，联立，消去得根据已知可得方程有一正根一负根，，解得故选：D．例题4．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中）直线与抛物线只有一个公共点，则的值为（

）A．1 B．9 C．1或0 D．1或3【答案】C【详解】由，得，所以，因为直线与抛物线只有一个公共点，所以或，解得，或，故选：C.同类题型归类练1．（2022·北京八中高二期末）若直线与双曲线相交，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【详解】联立直线和双曲线的方程得当，即时，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点.当，即时，，解之得.故选：C.2．（2022·吉林吉林·高二期中）已知直线与双曲线有两个不同的交点，则的取值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【详解】解：双曲线的渐近线方程为，直线与双曲线有两个不同的交点，又直线过原点则则的取值可以是.故选：B．3．（2022·全国·高二课时练习）直线与抛物线的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】A【详解】直线过定点，∵，∴在抛物线内部，∴直线与抛物线相交，故选：A．4．（2022·全国·高三专题练习）直线与椭圆的位置关系是()A．相离

B．相切

C．相交

D．无法确定【答案】C【详解】联立，则所以直线与椭圆相交故选：C题型二：中点弦问题角度1：由中点弦确定直线方程典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）过点的直线交抛物线于两点，当点恰好为的中点时，直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，所以，两式相减得，，因为点为的中点，所以，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，即，联立，所以，，故斜率为符合题意，因此直线的方程为，故选：D.例题2．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）已知直线与椭圆在第二象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，则直线的方程为______．【答案】．【详解】设，则，取中点，由已知也是中点，，设两点的坐标分别为，则，，作差整理可得：，即：，，舍去负根；又，舍去负根；故直线的方程为，经检验，符合题意．故答案为：.例题3．（2022·江苏·高二）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是___________.【答案】【详解】解：设直线的方程为即，两交点分别为、，则，联立方程组，消元得，，解得．直线的方程为：，即．故答案为：．例题4．（2022·山东省临沂第一中学高二期中）已知椭圆，一组平行直线的斜率是1．(1)这组直线与椭圆有公共点时纵截距的取值范围；(2)当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程．【答案】(1)；(2).【详解】（1）设平行直线的方程为，将代入，整理得：，因为直线与椭圆有公共点，所以，解得：；（2）令交点坐标分别为，由（1）知：，而，所以线段中点坐标为，又知当时，中点为坐标原点，故直线的斜率为，∴所在的直线方程：.例题5．（2022·山西·高二期中）已知是双曲线上的两点．(1)若是坐标原点，直线经过的右焦点，且，求直线的方程；(2)若线段的中点为，求直线的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题知：双曲线焦点在轴上，，所以右焦点为，当直线的斜率不存在时，直线为，此时设，,,不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线为，，联立方程，消去得：，所以，因为，所以解得，所以直线的方程为；（2）设，因为在双曲线上，所以，化简得：，所以，所以因为是中点，所以所以，即，所以直线的方程为，即同类题型归类练1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高二期中）过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为中点，则直线的方程为___________.【答案】【详解】椭圆，由，令得：，所以在椭圆内，同时，当直线的斜率不存在，即直线时，，不是线段的中点，所以直线的斜率存在.设，则，两式相减并化简得，即，所以直线的方程为，即.故答案为：2．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的方程是，直线交抛物线于两点，若弦的中点为，则直线的方程为______．【答案】【详解】设，，弦中点为，，，由得：，，即直线的斜率，，即.故答案为：.3．（2022·全国·高二单元测试）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.【答案】8【详解】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，设的方程为，，则由得，，，又，所以，即，，所以．故答案为：8．4．（2022·全国·高二单元测试）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.【答案】(1)(2)（1）解：双曲线的渐近线为，即，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为（2）解：设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.角度2：由中点弦确定曲线方程典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于、两点，若的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：设、，若轴，则、关于轴对称，不合乎题意，将、的坐标代入椭圆方程得，两式相减得，可得，因为线段的中点坐标为，所以，，，因为抛物线的焦点为，所以，又直线过点，因此，所以，，整理得，又，解得，，因此，椭圆的方程为，故选：D.例题2．（2022·全国·高二课时练习）过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是_______________.【答案】【详解】设，，则，，两式相减可得：，所以，因为点是线段的中点，所以，，所以，因为，所以，即，因为，所以，，所以双曲线方程是，故答案为：.【点睛】结论点睛：对于中点弦问题可采用点差法求出直线的斜率，设，为弦端点坐标，为的中点，直线的斜率为，若椭圆方程为，则，若椭圆方程为，则，若双曲线方程为，则，若双曲线方程为，则.例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.【答案】【详解】设点、，由题意可得，，，直线的斜率为，则，两式相减得，所以，由于双曲线的一个焦点为，则，，，因此，该双曲线的标准方程为.故答案为：.同类题型归类练1．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于A、B陃点，若弦中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，所以直线斜率，代入椭圆方程得，两式相减得即，也即，所以，又，所以，所求的椭圆方程为.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设双曲线方程为，则，解得，故双曲线方程为，焦点为；设椭圆方程为，则椭圆焦点为焦点为，故，设，则，两式相减得，整理得，即，解得，故，椭圆方程为.故选：D.3．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】直线的方程为：，即，设双曲线的方程为：，由消去y并整理得：，，因弦的中点为，于是得，即，而，解得，满足，所以双曲线的方程为，即.故选：C题型三：弦长问题典型例题例题1．（2022·福建漳州·高二期中）已知在平面直角坐标系中,点,动点满足,记点的轨迹为.(1)求轨迹的方程;(2)若直线交轨迹于两点,求弦长.【答案】(1)(2)【详解】（1）解:由题知由椭圆的定义可知点的轨迹为焦点在轴上的椭圆,不妨设椭圆方程为,由,可知,则,由,可得,则,故轨迹的方程为;（2）由(1)知椭圆方程为联立,消去得,则或,不妨设,,则.例题2．（2022·贵州·高二期中）在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.(1)求的方程；(2)过点且倾斜角为的直线与交于两点，求的长度.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题知：，轨迹是以点为左､右焦点的椭圆.设轨迹的方程为，则，解得，轨迹的方程为.（2）由题知直线为，即.联立方程消去整理得.设交点，则.的长度为例题3．（2022·江苏南通·高二期中）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，右顶点为，点，，.(1)求双曲线的方程；(2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或或或【详解】（1）由题意，得，解得，，，所以双曲线的方程为.（2）由题意可知，直线的斜率不为0，设：，联立，消，得，由，解得.设，，则.所以，所以的面积，由，化简，得，解得，，，，所以直的方程为或或或.例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）的右焦点为，离心率，虚轴长为.(1)求的方程；(2)过右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于､两点，求.【答案】(1)；(2).(1)由题意可得：，解得：，所以双曲线的方程为.(2)由（1）知：，所以，可得直线的方程为：，设，，由可得：，所以，，所以，所以弦长.例题5．（2022·广东·江门市广雅中学高二期中）已知抛物线的焦点到其准线的距离为4．(1)求的值；(2)过焦点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，求．【答案】(1)；(2)【详解】（1）由抛物线可得焦点，准线方程为，又因为抛物线的焦点到其准线的距离为，所以；（2）由（1）可得抛物线的方程为，所以焦点，则直线的方程为设，联立，整理可得，所以，由抛物线的性质可得．同类题型归类练1．（2022·江苏·盱眙县第二高级中学高二期中）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，又，所以椭圆方程为;（2）过且斜率为1的直线为，将代入，可得，整理得，设，则，∴.2．（2022·广西·南宁三中高二期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为且过点，(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A､B两点，求线段AB的长.【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为：，依题意可得解方程得：，所以椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可知：，所以直线的方程为：，即，代入椭圆方程中，得，所以，方程的判别式，设，，所以，，因此.3．（2022·浙江·元济高级中学高二期中）已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度．【答案】(1);(2).【详解】（1）解：若焦点，其到渐近线的距离，又因为双曲线：经过点，所以，解得，

所以双曲线的方程为；（2）解：设点，，因为是弦的中点，则．由于，则，所以，从而直线的方程为，即．

联立，得，所以，

从而．4．（2022·甘肃白银·高二期末（文））已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为2．(1)求实数p的值；(2)若直线l过C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．【答案】(1)2(2)或．(1)抛物线焦点为，准线方程为，因为点到焦点F距离为2，所以，解得．(2)抛物线C的焦点坐标为，当斜率不存在时，可得不满足题意，当斜率存在时，设直线l的方程为．联立方程，得，显然，设，，则，所以，解得所以直线l的方程为或5．（2022·福建省南平市高级中学高二期中）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求A，B中点坐标及弦长.【答案】(1)(2)，【详解】（1）解：在抛物线上，且，，则，故抛物线的方程为；（2）解：联立，可得．设，，，，，，则，所以A，B中点坐标，．题型四：直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题典型例题例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二阶段练习）已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线相交于、两点，则直线与的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)是定值，【详解】（1）双曲线化为标准形式：，，右顶点A,设抛物线的方程为，焦点坐标为,由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以,所以抛物线的方程；（2）联立，整理得,设,则,,例题2．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习）已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点在椭圆上，，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆的离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)求的面积．【答案】(1)(2)（1）设椭圆C的方程为（），，则椭圆与椭圆具有共同的焦点，则．选①，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．选②，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．选②，由已知可得，则，所以，椭圆的方程为．（2）由椭圆的定义知，①又因为，所以，②由①②可得，解得，因此．例题3．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高二期末（理））已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．(1)求椭圆的方程；(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．【答案】(1)(2)见解析（1）依题意，又，解得，所以椭圆的方程为.（2）设点，而，且，，当时，直线AP：，点，，直线BP：，点，，，当时，，，，所以所以是定值.例题4．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且______．(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线与抛物交于，两点，求的面积．【答案】(1)(2)（1）解：选择条件①，由抛物线的定义可得，因为，所以，解得，故抛物线C的标准方程为．选择条件②，因为，所以，，因为点在抛物线C上，所以，即，解得，所以抛物线C的标准方程为．选择条件③．当轴时，，所以．故抛物线C的标准方程为．（2）解：设，，由（1）知．由，得，则，，所以，故．因为点F到直线l的距离，所以的面积为．例题5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，动圆与圆外切，且与定直线相切，设动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)若直线过点，且与交于，两点，与轴交于点，满足，（，），试探究与的关系．【答案】(1)；(2).（1）解：设，圆的半径为，由题可知，点在直线右侧，因为圆与定直线相切，所以．又圆与圆外切，所以，所以，化简得，即的方程为．（2）解：由（1）得，设直线的方程为，，，则，因为，所以，，因为点在上，所以，即，所以．同理，由，可得，所以，，即，，因为点在上，所以，即，所以．由，得，因为，，所以，即．同类题型归类练1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知双曲线的右焦点为，从①虚轴长为；②离心率为2；③双曲线的两条渐近线夹角为中选取两个作为条件，求解下面的问题.(1)求的方程；(2)过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，为坐标原点，记面积分别为，若，求直线的方程.（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）【答案】(1)(2)或（1）若选①②，可知解得∴C的方程为.若选①③，因为，∴∴∴C的方程为.若选②③，设递增的渐近线的倾斜角为，可知则此时无法确定a，b，c（2），由题意知，直线l斜率不为0，∴设直线.由得，设，，则可知且恒成立，，，∴或.，∴.由，得，∴，∴，满足或.∴直线l的方程为或.2．（2022·湖南·长郡中学高一开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，设抛物线的对称轴与轴相交于点，且.(1)求的值；(2)将抛物线向上平移3个单位，得到抛物线，设点是抛物线上在第一象限内不同的两点，射线分别交直