高考数学一轮复习精练必备 第28练 双曲线（教师版）

第28练双曲线

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一、单选题

1.双曲线2/_y2=8的渐近线方程是（）

A.y=±gxB.y=±2x

C.y=±x/2xD.y=+^-x

【答案】C

【详解】

由题意，1-（=1的渐近线方程为了=±后犬=±&犬

故选：C

2.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y=±gx,则该双曲线的离心率为

（）

A.—B.6C.厶叵D.亚

252

【答案】D

【详解】

由题知g=所以e=J1+（与=/+（；），=~■

故选：D

3.已知点尸是双曲线》2一片=1的右焦点，点。是双曲线上在第一象限内的一点，且勿

8

与x轴垂直，点0是双曲线渐近线上的动点，则|PQ|的最小值为（）

A*8R°8160n116&

A.2V2+—B.2----C.1---------D.1+-------

3333

【答案】B

【详解】

解：由双曲线方程可得，点尸坐标为（3,0）,将x=3代入双曲线方程，得^=±8,

由于点户在第一象限，所以点〃坐标为（3,8）,

双曲线的渐近线方程为2伝土y=0,点a到双曲线的渐近线的距离为述揑.

。是双曲线渐近线上的动点，所以|PQ|的最小值为囱|d=2竝

故选：B.

4.若直线y=3x-l与双曲线C»2一回/=］的一条渐近线平行，则实数力的值为

11

-9-3

A.9B.C.3D.

【答案】A

【详解】

。:/-%,2=1的渐近线方程满足户±疝外所以渐进线与y=3x-l平行，所以渐近线方

程为y=±3x,故"?=g

故选：A

x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的

直径是4,瓶口和底面的直径都是8,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是

()

B.—-y2=l

4

【答案】D

【详解】

由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4,点（4,3）在该双曲线上.

,>2

设该双曲线的方程为*=

'2a=4,

则,靛不一”32解得a=2,b=B

故该双曲线的标准方程是《-4=1.

43

故选：D.

6.如图，双曲线5-£=1（">08>0）的左、右焦点分别为£，用，"为双曲线右支上一点，

直线历耳与圆/+丁=/相切于点。，则双曲线的离心率为

A.亚B.76C.好D.—

22

【答案】A

【详解】

由题可得忻0=|M用因为|叫=|朋叫,所以忸Q|=|叫卜|此|=。,

则在Rt耳Q0中，（2°）2+/=02,即c=6，即e=£=«.

a

故选：A.

22

7.已知点尸（40,0）是双曲线C:——马=1（。>0力>0）的右焦点，过夕作双曲线C的一条

渐近线的垂线，垂足为物若跖1（点。为坐标原点）的面积为8,则「的实轴长为

（）

A.8B.65AC.6D.46

【答案】A

【详解】

由题意可得/+从=32.取渐近线y易知点/（4&,0）到直线y的距离为。，

\^\\OM\=a,所以入。心=3必=8,联立得。=匕=4.所以「的实轴长为8.

故选：A

8.双曲线C:二-f=1,己知。是坐标原点，/是双曲线。的斜率为正的渐近线与直线

48

x=半的交点，P是双曲线C的右焦点，〃是线段办的中点，若6是圆/+9=1上的一

点，则劭的面积的最大值为()

A2&+6B2瓜+3D•”

C.3

2--

【答案】A

【详解】

根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为y=0x,FQ区0)

f_2_鸣

因此点力的坐标是方否丿点〃是线段在的中点,

贝II直线4?的方程为y=-2V2(X-A/3),

点6是圆V+y2=i上的.点，

点6到直线A9距离的最大值厶也就是圆心。到直线4〃的距离d加上半径，即4+1,

12阈2瓜,2瓜+3

I\DU2।।iiiax232

故选：A

9.已知方程氏O-l)/+(3-My2=(加一1)(3-机)，则总表示的曲线形状是

()

A.若1＜机＜3,则少表示椭圆

B.若总表示双曲线，则"zvl或m＞3

C.若£表示双曲线，则焦距是定值

D.若£的离心率为亚，则机=:

23

【答案】B

【详解】

由题意得，当1＜根＜3时，E:(m-\)x2+(3-〃Dy?=(/?:-1)(3-/n),

3-/72>0

即上+上=1,要表示椭圆，需满足■

加一1>0,解得1<m<3且〃zw2,

3-机m-\

3一帆。机一1

故A错误；

若£表示双曲线，则(加一1)(3-㈤不能为0,

22

故E:(m-l)x2+(3-My?=(加-1)(3一机)化为——+_2_=1,

3-tnm-\

则(机一1)(3-勿2)＜0,即或〃z＞3,故B正确;

由B的分析知，m<1时，c2=3-m+\-m=4-2m,此时。不确定,

故焦距不是定值，C错误；

若月的离心率为立，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，1<3口.机工2,

2

当3-帆>桃-1时，1<m<2,此时a?=3-，w,〃=4-2»?,

,,.4-2m15

则----=-.解得根=：，

3-m23

当一1时，2<從<3,此时/=wi-l,/=3-"?,/=2机-4,

则t2m-4==1,解得机=7（,故D错误，

m-123

故选：B

10.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：E、尸2是

双曲线的左、右焦点，从工发出的光线机射在双曲线右支上一点尸，经点尸反射后，反射

光线的反向延长线过耳；当户异于双曲线顶点时，双曲线在点/>处的切线平分/大尸鸟.若

双曲线c的方程为上三-£=1,则下列结论不正确的是（）

916

A,射线〃所在直线的斜率为3则Ae（-gg）

B.当相丄〃时，|P制•归国=32

C.当"过点Q（7,5）时，光由K到尸再到。所经过的路程为13

D.若7（1,0）,直线P7与C相切,则|叫|=12

【答案】C

【详解】

-52

在双曲线三一x=l中，a=3,6=4,则c=5,易知点片（一5,0）、爲（5,0）,

916

设归用=〃，归周=叽

X224

对于A选项，因为双曲线土-乙v=1的渐近线方程为丁=±彳1，

9163

4

当点夕在第一象限内运动时，随着小的增大，射线〃慢慢接近于直线y=1x,此时

4

3

4

同理可知当点P在第四象限内运动时，<左<0,

当点P为双曲线的右顶点时，k=0,

综上所述，*的取值范围是A对；

对于B选项，当初丄"时，u-v=2a=f)i

u2+v2=(w-v)^+2wv=36+2wv=102,所以，用疗冃=〃u=32,B对；

对于C选项，|f；e|=J(7+5)2+52=13,

故n过点、2(7,5)时，光由尸°到P再到。所经过的路程为

|尸闾+户。=|3|一北+|尸0=旧。-6=7,C错:

S△可』叫』叼=6=3

对于D选项，若7(1,0)由角平分线定理可得

S△叼|「勾低刀42

6+|咱3..

即瑞〒解得I叫1=12,D对.

故选：C.

二、多选题

22

11.已知双曲线二-1=1(a>0,6>0)的左、右两个顶点分别是4、A,,左、右两个

a-b~

焦点分别是月、月，户是双曲线上异于4、4,的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的

有()

A.鹏1=2。

h-

B.直线用八为:，的斜率之积等于定值勺

a

C.使得△必'应为等腰三角形的点。有且仅有8个

b2

D.△例4的面积为-ZAPA,

tan--——-

2

【答案】BC

【详解】

根据双曲线的定义可得：||「"|-归国=2a,A错误；

22j2

设〃（才0，%），则/■一点~=1，即贝）2=靛（％2_/）

•/A(―40),4(a,0),则kp%=—勺一,k%——5

玉)+Q玉)一

•*•kp%kp'=?><%=_2Q_=—,B正确；

x^+axQ-a玉）-aa

不妨〃在第一象限，根据双曲线的定义可知|尸用工「用

若归用=忻闾=2c,结合图象易知忸用>。+。，则满足条件的点存在且唯一

若|P闻=|耳阂=2%结合图象易知|巡卜%则满足条件的点存在且唯一

根据双曲线的对称性可知使得△用月为等腰三角形的点〃有且仅有8个，C正确;

不妨尸在第•象限，则归娟-|尸勾=22闺局=2c

COS尸—+|叫2-闺用2（附卜熙|）2+2|尸林|叫—忸周2

'22|PK|x|P821P用x|尸用

22

4/+2PF、xPF2-4C_\PFt\x\PF2\-2b

2PF、xPF]|P.冈尸用

2从

•♦•I尸耳冈明|=

l—cosN^Pg

则

〃2sin幺陛3々艺

h2sinZfjP^b2

q=^\PFl\x\PF2\xsinZFlPF2_________22

O

P"2l-cos/6尸鸟,f,,24爲1/F\PF?

1-l-20sin——!——tan——1-

I2丿2

D不正确；

故选：BC.

12.己知双曲线例：5-，=1（4>6>0）的焦距为4,两条渐近线的夹角为60。，则下列说法

正确是()

A.財的离心率为2叵B.〃的标准方程为-A

3

C.M的渐近线方程为y=±半X

D.直线x+y-2=0经过M的一个焦点

【答案】ACD

【详解】

根据题意双曲线吋-白=1(a>%>0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°,有

/+庁=/=4,①，双曲线的两条渐近线的夹角为60°,

则过一三象限的渐近线的斜率为G或卜即X或!邛，②

联立①②可得：/=1,〃=3,C2=4或/=3,从=1,C2=4;

因为a>b,所以苏=3,从=1,C2=4,故双曲线的方程为--/=1

3

对A,则离心率为卜斗,故A正确.

2

对B,双曲线的方程为—-/=!,故B错误；

3

对C,渐近线方程为y=±^-x,故C正确；

3

对D,直线x+y-2=0经过M的一个焦点(2,0),所以D正确.

故选：ACD

三、解答题

r2V2

13.设7尸2分别为双曲线C:]-%=ig>0力>0)的左右焦点，且頃也为抛物线

V=8x的的焦点，若点P(0,2/>),耳，鸟是等腰直角三角形的三个顶点.

(1)双曲线C的方程；

⑵若直线厶y=gx-l与双曲线C相交于48两点，求|AB|.

【答案】

3

【解析】(D

解：抛物线V=8x的焦点为*2,0),

所以c=2,即6(-2,0),冋(2,0),又点尸(0,2b),耳，行是等腰直角三角形的三个顶点,

所以2。=2,即b=l,又/=/+〃，所以2=3,

所以双曲线方程为片-丁=1

3

(2)

解:依题意设A(%,yJ,8(孙力)，

V=­x-1

2消去整理得。

由，y*+3>6=

由A=3?-4x(；)x(-6)=15>0,所以玉+£=-12,x1x2=-24,

所以|AB\=J1+/•J(阳+也产-4为.工2

2)2-4X(-24)=105/3.

•>2

14.已知双曲线C：£-£=l(a>0,b>0)过点(2夜,1),渐近线方程为y=土gx,直线/

是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于48两点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设点4,夕的中点为M,求点材到y轴的距离的最小值.

【答案】⑴《一9=1(2)2

4

【解析】(1)

系-戸=1(a=2

由题设可知人।,解得厶,

纟_丄也=1

a2

丫2

贝C--/=1.

4-

(2)

设点"的横坐标为为>0

当直线/斜率不存在时，则直线/：x=2

易知点〃到y轴的距离为X”=2：

当直线/斜率存在时，设/：>=依+，〃(4#±!),A(XQJ,8(%2，%)，

匚2=]

联立｛4>一，整理得(422-1)£+8也氏+4,/+4=0,

y=kx+m

A=64)t2/n2-16(4^2-l)(^2+l)=0,

整理得4k2=m2+1

2

X__2=0

联立｛1一)一,整理得(奴2-1卜2+8切11+4m2=0,

y=kx+m

nil8km8km8knilx,+x?4Z八口口,八

贝1」%+工2=-771~~7=----r=------，WOxM==------＞0,即k%＜0

4K-1mm2m

则其="=4+：＞4,即加＞2

irTm

：.此时点M到y轴的距离大于2；

综上所述，点”到y轴的最小距离为2.

15.已知丹(-布,0),月(遥，0)为双曲线，的两个焦点，点厂(2,-1)在双曲线。上.

(1)求双曲线。的方程；

(2)已知点4,夕是双曲线，上异于尸的两点，直线为，阳与y轴分别相交于MM两点，

若OM+ON=0,证明：直线过定点.

【答案】(1)[-4=1(2)