2021新高考数学新课程一轮复习学案第一章第1讲集合的概念与运算

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算[考纲解读]1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题.2.理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重点)3.在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．(重点、难点)4.能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算.[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的必考内容．预测2021年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：eq\o(□,\s\up3(01))确定性、eq\o(□,\s\up3(02))互异性、eq\o(□,\s\up3(03))无序性．(2)元素与集合的关系有eq\o(□,\s\up3(04))属于或eq\o(□,\s\up3(05))不属于两种，用符号eq\o(□,\s\up3(06))∈或eq\o(□,\s\up3(07))表示．(3)集合的表示法：eq\o(□,\s\up3(08))列举法、eq\o(□,\s\up3(09))描述法、eq\o(□,\s\up3(10))图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2．集合间的基本关系(1)基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)eq\o(□,\s\up3(01))A⊆B(或eq\o(□,\s\up3(02))B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中eq\o(□,\s\up3(03))AB(或eq\o(□,\s\up3(04))BA)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集eq\o(□,\s\up3(05))A＝B(2)结论①空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，符号表示为∅⊆A，∅B(B≠∅)．②对于任意集合A，A⊆A.③若A⊆B，B⊆C，则eq\o(□,\s\up3(06))A⊆C.3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于Aeq\o(□,\s\up3(01))且属于B的元素组成的集合{x|x∈A，eq\o(□,\s\up3(02))且x∈B}eq\o(□,\s\up3(03))A∩B并集属于Aeq\o(□,\s\up3(04))或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，eq\o(□,\s\up3(05))或x∈B}eq\o(□,\s\up3(06))A∪B补集全集U中eq\o(□,\s\up3(07))不属于A的元素组成的集合{x|x∈U，且xeq\o(□,\s\up3(08))A}eq\o(□,\s\up3(09))∁UA4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔eq\o(□,\s\up3(01))B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔eq\o(□,\s\up3(02))A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝eq\o(□,\s\up3(03))U；A∩(∁UA)＝eq\o(□,\s\up3(04))∅；∁U(∁UA)＝eq\o(□,\s\up3(05))A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为eq\o(□,\s\up3(06))2n个，非空子集个数为eq\o(□,\s\up3(07))2n－1个，真子集有eq\o(□,\s\up3(08))2n－1个，非空真子集的个数为eq\o(□,\s\up3(09))2n－2个．1．概念辨析(1)若1∈{x，x2}，则x＝±1.()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．()(4)对于任意两个集合A，B，总有(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x∈Z|－3＜2x－1≤3}，则A∪B＝()A．{－2,1} B．{0,1,2}C．{－2，－1,0,1,2} D．{－2,0,1,2}答案D解析因为A＝{－2,1}，B＝{x∈Z|－1＜x≤2}＝{0,1,2}，所以A∪B＝{－2,0,1,2}．(2)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}答案B解析因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x＜1}．因为A＝{x|0＜x＜2}，所以A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}，故选B.(3)已知集合A＝{x|x＝3n，n∈N}，B＝{x|x＝6m，m∈N}，则A与B的关系为________．答案BA解析任取x∈B，则x＝6m＝3·2m,2m∈N，所以x∈A，所以B⊆A，又3∈A但3B，所以BA.(4)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)，y))，B＝{0，x2}，且A＝B，则集合A的子集为________．答案∅，{0}，{4}，{0,4}解析由题意得eq\f(8,x)＝x2，y＝0，解得x＝2，所以A＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．题型一集合的基本概念与表示方法1．(2019·厦门一中模拟)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则()A．a∈M，b∈P B．a∈P，b∈MC．a∈M，b∈M D．a∈P，b∈P答案A解析解法一：设x0＝2n＋1，y0＝2k(n，k∈Z)，则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x0y0＝(2n＋1)(2k)＝2(2nk＋k)∈P，故a∈M，b∈P.解法二：由已知得，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合，根据奇数＋偶数是奇数，奇数×偶数是偶数可知a∈M，b∈P.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4答案A解析∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，所以A中元素共有9个，故选A.3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.答案0或1解析因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3，解得a＝0或a＝－1或a＝1.当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意；当a＝－1时，2a－1＝a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上知a＝0或1.1.用描述法表示集合的两个关键点(1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点).(2)看这些元素满足什么共同特征．如举例说明1，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合．如举例说明2，x，y是整数且满足x2＋y2≤3.2.两个易错点(1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a值后应注意检验.(2)忽视分类讨论．如举例说明2，要分x＝－1，x＝0和x＝1三种情况讨论，可以保证不重不漏.1.设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－xA}，则集合B中元素的个数为()A.1B．2C．3D．4答案A解析若x∈B，则－x∈A，所以x只可能取0，－1，－2，－3.而1－xA，逐一检验可知B＝{－3}，只有1个元素.2.已知单元素集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋1＝0}，则a等于()A.0 B．－4C.－4或1 D．－4或0答案D解析因为集合A只有一个元素．所以一元二次方程x2－(a＋2)x＋1＝0有两个相等的实根，所以Δ＝(a＋2)2－4＝0，解得a＝－4或0.题型二集合间的基本关系1.集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系为()A.MN B．NMC.M＝N D．MN且NM答案D解析因为1∈M,1N，所以MN，因为0∈N,0M，所以NM.综上知，MN且NM.2.已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝eq\f(kπ,4)＋eq\f(π,4)，k∈Z，集合N＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝eq\f(kπ,8)－eq\f(π,4)，k∈Z，则()A.MN B．NMC.M＝N D．以上都不对答案A解析∵eq\f(kπ,4)＋eq\f(π,4)＝eq\f(2k＋1,8)π，k∈Z，eq\f(kπ,8)－eq\f(π,4)＝eq\f(k－2,8)π，k∈Z，∴任取x∈M，有x∈N，且eq\f(π,8)∈N，但eq\f(π,8)M，∴MN.3.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________.答案(－∞，3]解析因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.②若B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.条件探究将本例中的集合A改为“A＝{x|x<－2或x>5}”，则实数m的取值范围为________.答案(－∞，2)∪(4，＋∞)解析因为B⊆A，所以①当B＝∅时，即2m－1<m＋1时，m<2，符合题意.②当B≠∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1>5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,2m－1<－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m>4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m<－\f(1,2)，))即m>4.综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞).1.判断集合间关系的三种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．如举例说明1结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．如举例说明2数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．如举例说明32.根据集合间的关系求参数的策略(1)注意对集合是否为空集进行分类讨论因为∅⊆A对任意集合A都成立．如举例说明3中2m－1<m＋1时，B＝∅，B⊆A也成立.(2)借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．如举例说明3，当B≠∅时，由B⊆A，借助数轴，列出关于m的不等式组.(3)注意检验区间端点值，如举例说明3，若将两个集合改为A＝{x|－2<x≤5}，B＝{x|m＋1≤x<2m－1}，若B≠∅，为使B⊆A，m须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1>m＋1，,m＋1>－2，,2m－1≤5.))1.(2020·广州市高三学情调研)已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，则实数a的值为()A.－1B．0C．1D．2答案A解析由x2＋ax＝0，得x(x＋a)＝0，所以x＝0或x＝－a.所以由已知条件可得－a＝1，所以a＝－1.2.已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A.a≥2B．a>2C．a<0D．a≤0答案A解析∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴为使A⊆B，a须满足a≥2.3.满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________.答案7解析集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.题型三集合的基本运算角度1集合的并、交、补运算1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝()A.{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C.{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}答案C解析由x2－x－6<0，得(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3，即N＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}．故选C.2.已知集合A＝{y|y＝eq\r(x2－1)}，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}，则∁R(A∩B)＝()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案D解析因为A＝{y|y＝eq\r(x2－1)}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以A∩B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).3.(2019·合肥模拟)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)＝________.答案{3}解析因为全集U＝{1,2,3,4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，所以A∩(∁UB)＝{3}.角度2知集合的运算结果求参数4.已知集合A＝{x|x2－ax≤0，a＞0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则a的取值范围是()A.(1,2] B．[1,2)C.(0,2] D．(0,1)∪(1,2]答案B解析因为集合A＝{x|0≤x≤a，a＞0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则A∩B＝{0,1}，所以1≤a＜2.所以a的取值范围是[1,2).5.设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则m＝________.答案1或2解析A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A.x2＋(m＋1)x＋m＝0可化为(x＋1)(x＋m)＝0，当m＝1时，B＝{－1}，符合题意；当m≠1时，B＝{－1，－m}，为使B⊆A成立，须有－m＝－2，即m＝2.综上知m＝1或2.1.求集合并集、交集或补集的步骤2.知集合的运算结果求参数问题的两个关键点(1)分析运算结果并进行恰当转换.如举例说明5中，由(∁UA)∩B＝∅，知B⊆A.(2)化简集合为求参数创造有利条件.如举例说明5中，A＝{－2，－1}．当m＝1时，B＝{－1}；当m≠1时，B＝{－1，－m}.1.(2019·天津高考)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝()A.{2} B．{2,3}C.{－1,2,3} D．{1,2,3,4}答案D解析∵A∩C＝{－1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1,2}，∴(A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．故选D.2.(2019·中原名校模拟)集合M＝{y|y＝－x2，x∈R}，N＝{x|x2＋y2＝2，x∈R}，则M∩N＝()A.{(－1，－1)，(1，－1)} B．{－1}C.[－1,0] D．[－eq\r(2)，0]答案D解析由y＝－x2，x∈R得y≤0，所以集合M＝(－∞，0]，由x2＋y2＝2，x∈R得N＝[－eq\r(2)，eq\r(2)]，所以M∩N＝[－eq\r(2)，0]，故选D.3.(2019·辽宁五校模拟)已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是()A.(－2，＋∞) B．(4，＋∞)C.(－∞，－2] D．(－∞，4]答案C解析集合P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2或x>4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2].题型四集合的新定义问题设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M＝{2,3,6}，则∁UM表示的6位字符串为________；(2)已知A＝{1,3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是________.答案(1)100110(2)4解析(1)由已知得，∁UM＝{1,4,5}，则∁UM表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A∪B＝{1,3,6}，而A＝{1,3}，B⊆U，则B可能为{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6)，故满足条件的集合B的个数是4.与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用