高中数学圆锥曲线系统讲解第1讲《点关于直线的对称问题》练习及答案

第1讲点关于直线的对称问题

知识与方法

1.如右图所示，已知点P（x0,y。）和直线/：AA+B），+C=O,求产关于直线/的对称点P

这类问题，通常可以设P的坐标为9力），利用PP'的中点在对称轴/上，以及PP1/来

建立方程组，求解“和b.

2.技巧：当对称轴直线的斜率是±1时，可直接由对称轴方程将x、y反解出来，再将点

P的坐标分别代入即可得出所求对称点的坐标.

典型例题

【例题】已知点A（l,2），则/关于直线/:x-2），-2=0的对称的点A'的坐标为.

【解析】如图，设A，（a,b），则44'的中点为G（字,等），

点G在直线/上，所以四-2•女2-2=0①，

22

6+22

又A4'_L/,所以，-----1=-](2),

a+\.2

------1

2

联立①②可解得：”3,b=-2,所以点A'的坐标为（3,-2）.

【答案】（3,-2）

变式1已知点4（1,2），则:

（1）点Z关于直线《：x-y-1=0对称的点A'的坐标为、

（2）点Z关于直线4：x+y_l=0对称的点A"的坐标为：

1

x=y+l|x=3

【解析】(1)x-y-l=On",，将点N的坐标代入这两个式子的右侧可得八，所

y=x-l[y=o

以A(3,0);

x=l-yfx=-l

(2)x+y-l=On,，点/的坐标代入这两个式子的右侧可得〈八，所以

y=I-x[y=o

【答案】(1)(3,0);(2)(-1,0)

【反思】当对称轴的斜率为±1时，可以使用小技巧来求对称点的坐标，若斜率不是±1,则

不能这样做.

变式2已知直线/:x-y+l=0和点A(2,0)，8(-3,-3)，点P在直线/上，则|FA|+1户冏

的最小值为.

fx=)'_]

【解析】如图，x-y+l=0n-,

[y=x+l

X——

将点/的坐标代入这两个式子的右侧可得.

(7=3

所以N关于直线/的对称点为4(-1,3)，

由图可知|2|=|/>川，从而|「4|+|「8|=|尸4|+|/科，故当P为线段A'B与直线/交点时,

|/>A|+|P8|最小，且最小值为|AB|=2厢.

【答案】2/

变式3—只虫子从原点出发，先爬到直线/:x-y+l=()上的点P,再爬到点A(l,l)，则虫

子爬行的最短路程为.

【解析】问题等价于求直线/上的动点P到原点O和点A的距离之和的最小值,

[x=y-1

如图，1—y+l=0=><.,

[y=x+i

2

x=0

将点Z的坐标代入这两个式子的右侧可得。

y=2

所以点A关于直线/的对称点为4(0,2)，从而1PAl=仍4|，故|「。|+|户川=|「。|+|尸4|，

由图可知当尸为线段A。与/交点时，11Poi+伊川取得最小值，此时|尸6>|+|/%|也最小，且

最小值为2.

【答案】2

【反思】求直线/上的动点P到直线/同侧两定点/、B距离之和的最小值问题的解题步骤

是：(1)求点4关于直线/的对称点A；(2)求AB的长，即为所求最小值.

强化训练

1.点A(2,4)关于直线/：2x+3y-3=0的对称点A'的坐标为.

【解析】设A9,。)，如图，一方面，AA'的中点[等,在直线/上，所以

-Q+2c。+4-八

2-------+3---------3=0@,

22

另一方面，AA'Ll,所以”.(_,)=_[②，

联立①②解得：a=b=-2,所以A'的坐标为(_2,-2).

3

【答案】(-2,-2)

2.点A(3,-2)关于直线/：x—y—1=0的对称点A'的坐标为.

[x=y+1

【解析】x-y-l=0n,

[y=x-l

x=-\

将点A的坐标代入这两个式子的右侧可得=点A'的坐标为

V—2

【答案】(—1,2)

3.(★★★)已知尸是直线/:x+y-2=0上的动点，点A(-3,0)，5(0,-1)，则仍A|+|PB|的

最小值为.

x=2-y

【解析】x+y-2=0n，

y=2-x

x=3

将点5的坐标代入这两个式子的右侧可得’.

b=2

所以点5关于直线,的对称点为？(3,2),从而|PB|=|PB]，所以|PA|+|FM=|PA|+|PB1，

由图可知当/、尸、8'三点共线时，IF+I尸团取得最小值|AB'|=2ji6,所以

(附+附%=2而