第7讲分式方程及其应用（讲义）-2024年浙江中考数学一轮复习

第二单元方程（组）与不等式（组）第7讲分式方程其应用复习目标复习目标1.了解分式方程的概念，了解分式方程增根的定义及产生增根的原因；2.会解可化为一元一次方程的分式方程，并能对分式方程的解进行检验，判断方程的解是不是增根；3.会列分式方程解决实际问题.备考指南备考指南考点分布考查频率命题趋势考点1分式方程的解法☆☆中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握．考点2分式方程的增根或无解☆考点3分式方程的应用☆☆☆知识网络知识网络知识清单知识清单1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：(1)基本思路：分式方程转化为整式方程．(2)基本方法和步骤：①去分母：在方程两边同时都乘最简公分母转化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把求得的根代入最简公分母，使最简公分母≠0的就是原方程的根，使最简公分母＝0的就是增根，应舍去．有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验．（3）分式方程的增根：解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一过程中，产生了使原分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，称为增根．（4）分式方程的无解：分式方程无解有两种可能的情况：(1)去分母后的整式方程无解；(2)整式方程有解，但整式方程的解使原分式方程的各分式最简公分母为0，分式方程也无解3．分式方程的应用：（1）列分式方程解应用题的一般步骤：审(审清题意)、设(设未知数)、找(找相等关系)、列(列方程)、解(解出这个方程)、验(既要检验所得的根是否是所列分式方程的根，又要检验这个根是否符合题意)、答(写出答案)．（2）常见类型及数量关系深度讲练深度讲练■考点一解分式方程►

典例1：（2023•西湖区二模）解分式方程：小明同学是这样解答的：解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．去括号，得：x+4＝3x﹣6．移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣10．两边同时除以﹣2，得：x＝5．经检验，x＝5是原方程的解．小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【考点】解分式方程．【答案】x＝1．【思路点拨】根据解分式方程的步骤计算即可．【解析】解：有错误．去分母，得：x﹣4＝3（x﹣2），去括号，得：x﹣4＝3x﹣6，移项，合并同类项，得：﹣2x＝﹣2，两边同时除以﹣2，得：x＝1．经检验，x＝1是原方程的解．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．【变式训练】1.（2023•海南）分式方程的解是（）A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣5【考点】解分式方程．【答案】A【思路点拨】根据解方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1，得出方程的解，注意检验．【解析】解：去分母，得1＝x﹣5，移项，得﹣x＝﹣5﹣1，合并同类项，得﹣x＝﹣6，系数化为1，得x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，∴方程的解是x＝6．故选：A．【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．2．（2022•余杭区一模）把分式方程去分母后化为整式方程为（）A．﹣3＝x﹣2﹣1 B．﹣3＝x﹣2+1 C．3＝x﹣2+1 D．3＝x﹣2﹣1【考点】解分式方程．【答案】C【思路点拨】分式方程变形后，两边同乘（x﹣2）去分母化为整式方程，判断即可．【解析】解：分式方程去分母得：3＝x﹣2+1．故选：C．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．3．（2022•北仑区一模）方程的解为x＝﹣5．【考点】解分式方程．【答案】x＝﹣5．【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：2x+4＝x﹣1，解得：x＝﹣5，检验：把x＝﹣5代入得：x﹣1≠0，∴分式方程的解为x＝﹣5．故答案为：x＝﹣5．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．4．（2022•仙居县二模）解方程：．【考点】解分式方程．【答案】x＝2．【思路点拨】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解析】解：，x﹣x2＝x（x﹣3），解得：x＝0或x＝2，检验：当x＝0时，x（x﹣2）＝0，∴x＝0是原方程的增根，当x＝2时，x（x﹣3）≠0，∴x＝2是原方程的根．【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．5．（2022•定海区一模）阅读下列解题过程．解方程：．解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），方程两边化简，得（x﹣2）+4x＝2（x+2）去括号，移项，得x﹣2+4x﹣2x﹣4＝0解这个方程，得x＝2∴x＝2是原方程的解．你认为此解法是否正确？若不正确，请写正确的解题过程．【考点】解分式方程；分式的混合运算．【答案】x＝．【思路点拨】不正确，写出正确的解题过程即可．【解析】解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2）得：（x﹣2）+4x＝﹣2（x+2），去括号得：x﹣2+4x＝﹣2x﹣4，移项合并得：7x＝﹣2，解得：x＝，检验：把x＝代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝．【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式的混合运算，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．■考点二分式方程的解►

典例2：（2022•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣＝1的解是正数，则m的取值范围是（）A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1【考点】分式方程的解．【答案】C【思路点拨】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．【解析】解：方程两边同时乘以x﹣1得，2x﹣m+3＝x﹣1，解得x＝m﹣4．∵x为正数，∴m﹣4＞0，解得m＞4，∵x≠1，∴m﹣4≠1，即m≠5，∴m的取值范围是m＞4且m≠5．故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．【变式训练】1．（2023•眉山）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是m≥﹣5且m≠﹣3．【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【答案】m≥﹣5且m≠﹣3．【思路点拨】根据解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根据解为非负数和分母不为0即可求解．【解析】解：，去分母得：x+m﹣3（x﹣2）＝1﹣x，去括号移项得：x﹣3x+x＝1﹣m﹣6，合并同类项得：﹣x＝﹣5﹣m，系数化为1得：x＝5+m，∵x﹣2≠0，∴x≠2，即5+m≠2，∴m≠﹣3，∵解为非负数，∴x＝5+m≥0，∴m≥﹣5，∴m≥﹣5且m≠﹣3．故答案为：m≥﹣5且m≠﹣3．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0．2．（2021•浙江模拟）已知关于x的方程无解，则m的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】分式方程的解．【答案】C【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣3＝0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解析】解：去分母得：x﹣1＝m，即x＝1+m，∵分式方程无解，∴x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：1+m＝3，解得：m＝2，故选：C．【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键．■考点三分式方程的应用►

典例3：（2023•盐城）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．（1）若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．（2）若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买m本硬面笔记本（m为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．【考点】分式方程的应用；二元一次方程的应用．【答案】（1）16元；（2）18元．【思路点拨】（1）设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为（x﹣3）元，利用数量＝总价÷单价，结合用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；（2）设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为（y﹣3）元，利用总价＝单价×数量，结合再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，可列出关于y，m的二元一次方程，结合且m，y均为正整数，即可求出结论．【解析】解：（1）设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为（x﹣3）元，根据题意得：＝，解得：x＝16，经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意．答：甲商店硬面笔记本的单价为16元；（2）设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为（y﹣3）元，根据题意得：my＝（m+5）（y﹣3），整理得：5y﹣3m＝15，∴y＝m+3．∵，且m，y均为正整数，∴．答：乙商店硬面笔记本的原价为18元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．【变式训练】1．（2023•兰溪市模拟）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（）A．﹣＝4B．﹣＝4 C．﹣＝0 D．﹣＝4【考点】由实际问题抽象出分式方程．【答案】B【思路点拨】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，依题意得：﹣＝4．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．2．（2023•缙云县二模）“我市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．”根据题意可得方程，则方程中x表示（）A．实际每天铺设管道的长度 B．实际施工的天数 C．原计划每天铺设管道的长度 D．原计划施工的天数【考点】分式方程的应用．【答案】A【思路点拨】根据方程中的实际意义求解即可．【解析】解：由方程可得，方程中x表示实际每天铺设管道的长度．故选：A．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用题，能正确分析题目中的等量关系是解题的关键．3．（2022•北仑区二模）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．（1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？（2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）【考点】分式方程的应用．【答案】（1）甲种图书进阶每本28元，乙种图书进阶每本20元；（2）书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元．【思路点拨】（1）设乙种图书进阶每本x元，则甲种图书进阶为每本1.4x元，由题意：用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．列出分式方程，解方程即可；（2）设书店甲种图书进货a本，总利润为w元，由题意：甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，求出w＝2a+12000，再由新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，列出a的一元一次不等式，解得a≤500，再由一次函数的性质求出最大利润即可．【解析】解：（1）设乙种图书进阶每本x元，则甲种图书进阶为每本1.4x元，由题意得：﹣＝10，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，则1.4x＝1.4×20＝28，答：甲种图书进阶每本28元，乙种图书进阶每本20元；（2）设书店甲种图书进货a本，总利润为w元，由题意得：w＝（40﹣28）a+（30﹣20）（1200﹣a）＝2a+12000，∵28a+20×（1200﹣a）≤28000，解得：a≤500，∵w随a的增大而增大，∴当a最大时w最大，∴当a＝500时，w最大＝2×500+12000＝13000（元），此时，乙种图书进货本数为1200﹣500＝700（本）答：书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．真题演练真题演练1．（2023•义乌市模拟）若分式的值为1，则x的值是（）A．5 B．4 C．3 D．1【考点】解分式方程．【答案】A【思路点拨】根据题意列出分式方程，求出方程的解即可得到x的值．【解析】解：根据题意得：＝1，去分母得：x﹣2＝3，解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解为x＝5．故选：A．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2．（2021•湖州模拟）解分式方程时，去分母正确的是（）A．1﹣4（x﹣3）＝﹣2B．1﹣4（x﹣3）＝2 C．1﹣4（3﹣x）＝﹣2 D．1﹣4（3﹣x）＝2【考点】解分式方程．【答案】A【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．【解析】解：分式方程整理得：，去分母得：1﹣4（x﹣3）＝﹣2．故选：A．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．3．（2022•宁波一模）分式方程的解为（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x1＝1，x2＝3【考点】解分式方程．【答案】C【思路点拨】方程两边都乘x﹣1得出1＝﹣x+2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解析】解：，方程两边都乘x﹣1，得1＝﹣x+2（x﹣1），解得：x＝3，检验：当x＝3时，x﹣1≠0，所以x＝3是原方程的解，即原分式方程的解是x＝3，故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．4．（2022•丽水一模）在如下解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（）x﹣（3﹣x）＝x﹣2……①x﹣3+x＝x﹣2……②x+x﹣x＝﹣2+3……③∴x＝1……④A．①② B．①③ C．①④ D．③④【考点】解分式方程．【答案】B【思路点拨】观察4个步骤，找出根据等式的基本性质即可．【解析】解：x﹣（3﹣x）＝x﹣2……①（等式的基本性质）x﹣3+x＝x﹣2……②（去括号法则）x+x﹣x＝﹣2+3……③（等式的基本性质）∴x＝1……④（合并同类项法则）．故选：B．【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．5．（2022•丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（）A．足球的单价B．篮球的单价C．足球的数量 D．篮球的数量【考点】由实际问题抽象出分式方程．【答案】D【思路点拨】设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个，列出分式方程解答即可．【解析】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个．根据题意可得：＝﹣30，故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，得到相应的关系式是解决本题的关键．6．（2021•舟山）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（）A．B． C． D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【答案】B【思路点拨】若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”列方程即可．【解析】解：若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，根据题意可得：．故选：B．【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．7．（2023•温州二模）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（）A．+3B． C． D．【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．【答案】A【思路点拨】设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，由题意得等量关系：慢马所需的天数＝快马所需的天数+3，根据等量关系，可得方程．【解析】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，根据题意，得+3，故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．8．（2023•萧山区一模）如图，边长为a的大正方形剪去4个边长为x的小正方形，做成一个无盖纸盒．若无盖纸盒的底面积与表面积之比为3：5，则根据题意可知a，x满足的关系式为（）A．B．C． D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【答案】A【思路点拨】根据无盖纸盒的底面积为（a﹣2x）2，表面积为a2﹣4x2，无盖纸盒的底面积与表面积之比为3：5，可得，化简即可得出答案．【解析】解：∵无盖纸盒的底面积为（a﹣2x）2，表面积为a2﹣4x2，无盖纸盒的底面积与表面积之比为3：5，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．9．（2022•金华）若分式的值为2，则x的值是4．【考点】解分式方程．【答案】4．【思路点拨】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论．【解析】解：由题意得：＝2，去分母得：2＝2（x﹣3），去括号得：2x﹣6＝2，移项，合并同类项得：2x＝8，∴x＝4．经检验，x＝4是原方程的根，∴x＝4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要验根，这是容易丢掉的步骤．10．（2023•绍兴）方程的解是x＝3．【考点】解分式方程．【答案】x＝3．【思路点拨】解分式方程得结论．【解析】解：去分母，得3x＝9，∴x＝3．经检验，x＝3是原方程的解．故答案为：x＝3．【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．11．（2023•南湖区模拟）分式方程：的解是x＝5．【考点】解分式方程．【答案】x＝5．【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：3x﹣3＝2x+2，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解，故答案为：x＝5．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．（2023•上城区二模）现有甲、乙两种糖混合而成的什锦糖50千克，两种糖的千克数和单价如表．商店以糖果的平均价格作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，需加入甲种糖10千克．甲种糖果乙种糖果千克数2030单价（元/千克）2515【考点】分式方程的应用．【答案】10．【思路点拨】设需加入甲种糖x千克，利用单价＝总价÷数量，结合要使什锦糖的单价每千克提高1元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解析】解：设需加入甲种糖x千克，根据题意得：，解得：x＝10，经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，∴需加入甲种糖10千克．故答案为：10．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．13．（2023•宁波模拟）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝．若（x﹣1）⊗（x+1）＝，则x的值为x＝2．【考点】解分式方程；实数的运算．【答案】x＝2．【思路点拨】根据题干的新定义，得到．再解这分式方程，进而求得x．【解析】解：由题意得，．去分母，得x+1+x﹣1＝3x﹣2．移项，得x+x﹣3x＝﹣2+1﹣1．合并同类项，得﹣x＝﹣2．x的系数化为1，得x＝2．检验：当x＝2，（x+1）（x﹣1）≠0．∴该分式方程的解为x＝2．故答案为：x＝2．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键．14．（2023•鄞州区校级一模）如果关于x的方程无解，则a的值为2或1．【考点】分式方程的解．【答案】1或2【思路点拨】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【解析】解：去分母得，ax﹣1＝2（x﹣1）ax﹣2x＝﹣1，（a﹣2）x＝﹣1，当a﹣2＝0时，∴a＝2，此时方程无解，满足题意，当a﹣2≠0时，∴x＝﹣，将x＝﹣代入x﹣1＝0，解得：a＝1，综上所述，a＝1或a＝2，故答案为：1或2．【点睛】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．15．（2023•慈溪市一模）对于实数x，y（x≠y），我们定义运算F（x，y）＝，如：F（2，1）＝．则方程F（x，1）＝2的解为x＝3．【考点】解分式方程；实数的运算．【答案】x＝3．【思路点拨】根据新定义，可知F（x，1）＝，可得＝2，解分式方程即可．【解析】解：根据新定义，可知F（x，1）＝，∴＝2，解得x＝3，经检验，x＝3是原分式方程的根，∴方程F（x，1）＝2的解为x＝3，故答案为：x＝3．【点睛】本题考查了解分式方程，新定义，理解新定义是解题的关键．16．（2023•永康市一模）以下是小亮同学在解分式方程的过程：解：去分母得x（x+2）﹣x+1＝1………………①化简得x2+x＝0………………②解得x1＝0，x2＝﹣1……………③经检验，x1＝0，x2＝﹣1是原方程的解………④所以原方程的解为x1＝0，x2＝﹣1根据小亮的解题过程，回答下列问题：（1）小亮的解题过程中第①步开始出现了错误．（2）请你写出正确的解答过程．【考点】解分式方程；分式方程的解．【答案】（1）①；（2）见解析．【思路点拨】（1）根据分式方程的解法进行分析即可得到答案；（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，对方程的解进行检验即可．【解析】解：（1）由题意可知，小亮的解题过程中第①步开始出现了错误，故答案为：①；（2），去分母，得：x（x+2）﹣（x+1）＝x2﹣4，去括号，得：x2+2x﹣x﹣1＝x2﹣4，移项合并同类项，得：x＝﹣3，检验：把x＝﹣3代入x2﹣4≠0，所以原方程的解为x＝﹣3．【点睛】本题考查的是解分式方程，熟练掌握分式方程的解法和步骤是解题关键．17．（2022•嘉兴）解方程：．【考点】解分式方程．【答案】x＝﹣2．【思路点拨】首先去分母化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后验根．【解析】解：去分母得x﹣3＝2x﹣1，∴﹣x＝3﹣1，∴x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解，∴原方程的解为：x＝﹣2．【点睛】本题分别考查了解分式方程，解分式方程的基本方法时去分母．18．（2022•柯城区二模）解分式方程：．【考点】解分式方程．【答案】无解．【思路点拨】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解析】解：，2﹣x+3（x﹣3）＝﹣1，解得：x＝3，检验：当x＝3时，x﹣3＝0，∴x＝3是原方程的增根，∴原方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程，必须检验．19．（2022•衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．燃油车油箱容积：40升油价：9元/升续航里程：a千米每千米行驶费用：元新能源车电池电量：60千瓦时电价：0.6元/千瓦时续航里程：a千米每千米行驶费用：_____元（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用．②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【答案】见试题解答内容【思路点拨】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．【解析】解：（1）由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为：＝（元），即新能源车的每千米行驶费用为元；（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，∴﹣＝0.54，解得a＝600，经检验，a＝600是原分式方程