同构函数问题-2024届高考数学拓展含答案

同构函数问题-2024届高考数学

拓展

同构麴数问题

题目|jJ(2023•南宁模拟)已知a,£C_R,则“&+户>0”是,+户>cosa—cos/?”的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

「题耳叵已知①6可，共从工<3则方程d=矿的解的组数为()

A.0B.1C.2D.无穷多个

藏目叵若2°+log2a=a+21og/,则()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<62

题目画设a,b都为正数，e为自然对数的底数，若aeO<bln伉则()

A.ab>eB.6>eaC.ab<eD.b<ea

题目叵(多选)已知a>b>l,若e0—2a=ae0+i—%。，则()

A.ln(a-6)<0B.ln(a+b)>lC.3a+3~b>273D.3a-1<36

题目尼］若/(1)=ze"—a(c+Inx)有两个零点,则实数a的取值范围是.

题目区(2023•邵阳模拟)已知函数/(c)=e"」?+1,g(c)=野+2.

(1)讨论函数g(x)在定义域内的单调性；

(2)若/(⑼恒成立，求实数a的取值范围.

题目］五|(2023・潍坊模拟)已知函数/(力)=e"Tlnx,g(x)=x2—x.

(1)讨论/(力的单调性；

(2)证明：当力G(0,2)时，fQ)Wg3).

题目I包已知函数/(力)=e*+(1—a)x—InQN(Q>0).

(1)当a=1时,求曲线g=/Q)在点(1,/(l))处的切线方程；

(2)若对于任意的力>0,有/Q)>0,求正数a的取值范围.

题目|国3已知函数/(劣)=/lnx.

(1)求/Q)的最小值；

⑵当力>2时，证明：—^—ex>InQ—1).

x—1

题目工口已知Q>0,函数/(2)=/e*—ac.

(1)当Q=1时,求曲线g=/Q)在力=1处的切线方程；

(2)若/(力)>ln/一c+1恒成立，求实数a的取值范围.

同构麴数问题

题目［〔（2023•南宁模拟）已知a,R,则％+6＞0”是,+户＞cosa-cos0”的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】。

题目5）已知①eN,geM力v9,则方程xy=y工的解的组数为（)

A.0B.1C.2D.无穷多个

【答案】B

题目3〕若20+1082。=4匕+21084人则（）

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【答案】8

题目可设即6都为正数，6为自然对数的底数,若&6"＜从11b,则（)

A.ab>eB.6>eaC.aft<eD.b<ea

【答案】8

题目5](多选)已知a>b>1,若ea—2a=aeb+1—如。,则（）

A.ln(a—6)<0B.ln(a+&)>1C.3a+3~b>2A/3D,3a-1<3b

【答案】

［题目6）若/（c）=xex—a{x+Inx）有两个零点,则实数a的取值范围是

【答案】（e,+8）

题目［7］（2023•邵阳模拟）已知函数/（力=e"1—0+1,g（x）=皿+2.

XX

⑴讨论函数g（x）在定义域内的单调性；

（2）若/（力）＞gQ）恒成立,求实数a的取值范围.

【答案】解：⑴•••g3）=巫+2的定义域为（0,+oo）,

X

g'㈤=1•

由g，Q)>0,得0V力Ve,

由g'(①)V0,得出〉e.

/.g(x)在(0,e)上单调递增,

在(e,+00)上单调递减.

(2)由/Q)>gQ),

即e"+一2+1>巫+2,

XX

得a4xex+1—1nx—x=^nx+x+1—(Inx+x+1)+1,

令力=lnx+x+1,tER,

即a4e,—t+1恒成立,

令(p(t)=6t—t+1,tER,

则(pf(t)=e“—1,

当北(一8,0)时，/⑶VO;

当力G(0,+8)时，d(t)>0,

.”⑴在(—co,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增,

9⑴min=0(。)=2,故Q«2.

题目叵（2023•潍坊模拟）已知函数/Q）=e—Inx,g（,x）=^-x.

（1）讨论/（⑼的单调性；

（2）证明：当力G（0,2）时，f（x）<g（c）.

【答案】⑴解：函数/㈤的定义域为（0,+8）,

『㈤=e3"-11]1x+——-

x

=e，T（ln/+'）,

记h^x）=Inx+—x>0,

x9

则h'（x）=--^=尘注，

XX

所以当0VnV1时，"（/）<0,函数h{x}单调递减；

当力>1时，〃3）>o,函数h{x）单调递增，

所以h{x}>无⑴=1,

所以于'（力）=e'T（lnc+工）>0,

所以函数/（2）在（0,+oo）上单调递增.

（2）证明原不等式为e"Tlnxx2—x=x（x—1）,

即证£w在（°，2）上恒成立,

设夕㈤=%,x€(-00,1),

e

贝丘，3)=亘*='匕

ee

所以当力V1时，“(/)>0,0(/)单调递增,

令t{x}=Inx—x+l,xE(0,2),

则t'(x)=—-1=^^,

XX

当0V6V1时，//(力)>0,t{x}单调递增;

当1V6V2时，//(/)<0,t{x}单调递减，

所以力(力)max=%(l)=。,

所以Inx^x—1,

且在区间(0⑵上有[必必：1，

1^—1<1,

所以可得到0(lnx)^<p(x—1),

所以当cG(0,2)时，有『(%)4g(6)成立.

目已知函数/(①)=4+(1—a)x—InQX(Q>0).

⑴当Q=1时,求曲线y=f(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)若对于任意的/>0,有/Q)>0,求正数a的取值范围.

【答案】解：(1)当Q=1时,/(力)=ex—ln/,得(e)=ex—~,

x

切点坐标为(1,e),斜率为7(l)=e—1,

所求切线方程为g—e=(e—1)(%—1),

即(e—l)x—y+l=0.

(2)/3)>0,

即ex+x—ax—\nax0(a>0,rc>0)

0ex+x>arc+Inax[a>0,rc>0)

oex+x>elnQ*+lnax(a>0,x>0).

令g(力)=e'+/,显然g(x)是增函数，

于是上式可化为gQ)>g(lnax),

即n>Inax(a>0,6>0)

<=>Ina^x—ln力(Q>0,N>0).

令9(/)=2—Inx(x>0),

贝ij(pr(re)=1———=———-

xx

易知pQ）在（0,1）上单调递减，在（1,+oo）上单调递增,

故0（C）min=0⑴—1,于是InQ41,

可得0Va《e.故正数a的取值范围为（0,e].

题目ING已知函数/（/）=/lnx-

（1）求/（力）的最小值；

（2）当%>2时，证明：-^-e">ln（x-1）.

x—

【答案】⑴解：/（力的定义域为（0,+oo）,

『（2）=1+Inx,

当cC（0,L）时，（（T）<0,

当力G,+8)时，/3)>0,

“㈤在（0上单调递减,

在（工，+8）上单调递增,

e/e

证明

(2)-：x>2,：.x-l>l9

要证一^~rex>ln(rc—1),

x—1

即证xex>(x—l)ln(rc—1),

即证exlnex>(x—l)ln(rr—1),

即证—

由(1)知/(名)在(―,+8)上单调递增,

且ex>工，/一1>上，即证erc>x—1,

ee

令(p(x)—ex—(x—1)(x>2),

(prQ)=e*—1>0,(p(x)在(2,+oo)上单调递增,

:.(p(x)>0⑵=e2—1>0,

・・・e。*6—1,即证原不等式成立.

题目I11］已知Q>。，函数/(①)—xex—ax.

⑴当a=1时，求曲线4=/（2）在/=1处的切线方程;

（2）若/（力）＞ln/一%+1恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】解：（1）当a=l时，

/(①)=xe—x,

所以fr(%)=(2+l)ex—1,

所以/'(l)=2e—l,/(l)=e—1,

所以切线方程为?/—(e—1)

=(2e-l)(a:-l),

即(2e—l)x—y—e=Q.

(2)由题意得力e”—arc>Inx—x+1,

即xex—lnx+x—l^ax,

因为2>0,所以ce'Tn'+*T>%

X

In力+力